摘 要：多項(xiàng)式綜合除法是高等函數(shù)中矩陣算法的簡(jiǎn)單化，能夠有效幫助學(xué)生求解多項(xiàng)式函數(shù)，但是理解難度較大，想要學(xué)生轉(zhuǎn)變函數(shù)思想來(lái)接受多項(xiàng)式綜合除法的解題方式較為困難，但只要學(xué)生接受了多項(xiàng)式綜合除法的使用，將會(huì)優(yōu)化解題方式，有助于加深對(duì)函數(shù)的理解。筆者從多項(xiàng)式綜合除法的角度出發(fā)，明確了綜合除法的概念以及用于中學(xué)函數(shù)的一般解題步驟，探究多項(xiàng)式綜合除法在多種題型中的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：多項(xiàng)式綜合除法；高中函數(shù)；矩陣算法

在中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，函數(shù)作為學(xué)習(xí)難度較大的部分，也是高考考察的重點(diǎn)，應(yīng)引起學(xué)生的高度重視。由于部分多項(xiàng)式函數(shù)求解難度較大，而高中生接觸到的數(shù)學(xué)解題方法較為繁瑣，因此要結(jié)合高等函數(shù)的解題方法，在一定的程度上對(duì)中學(xué)函數(shù)解題方式進(jìn)行優(yōu)化。從本質(zhì)上來(lái)看，多項(xiàng)式綜合除法運(yùn)用了矩陣算法，將多項(xiàng)式函數(shù)運(yùn)算進(jìn)行了簡(jiǎn)單化，進(jìn)而達(dá)到良好的解題效果。對(duì)于高中生來(lái)說(shuō)，善用數(shù)學(xué)思維并巧用解題方法，能夠大大提高解題效率，提高學(xué)生的得分率。因此，對(duì)多項(xiàng)式綜合除法的研究具有重要意義。筆者從多項(xiàng)式綜合除法出發(fā)，對(duì)其在高中函數(shù)中的應(yīng)用進(jìn)行深入探究，為現(xiàn)代高中生學(xué)習(xí)提供借鑒。

一、 多項(xiàng)式綜合除法概述

綜合除法是一種相對(duì)簡(jiǎn)單的除法運(yùn)算，通過(guò)乘法與加法兩種方式可以得到多項(xiàng)式處以（x-a）的商式與余式。運(yùn)算的過(guò)程中，除式通常為一次式的快速除法并按照原式、計(jì)算式、結(jié)果式、商式、余式進(jìn)行排列。具體的做法為首先將函數(shù)的系數(shù)進(jìn)行分離，缺少的項(xiàng)系數(shù)為0，并排列最后寫出除式的根c。而后，將最高次項(xiàng)系數(shù)1直接寫在結(jié)果列第一個(gè)，而后根據(jù)除式商的根，在得到的系數(shù)放在計(jì)算列的位置，最后將原式列與計(jì)算列進(jìn)行相加，得到結(jié)果列。結(jié)果是按照列的順序依次算出，在進(jìn)行相加之后，再乘以除式的根，將結(jié)果放在計(jì)算列右上的位置，直到計(jì)算完成。如果結(jié)果列最后一位為余數(shù)，也會(huì)作為f（c）的值，且該值的上一個(gè)值為商的系數(shù)。為了避免將系數(shù)與除式根之間計(jì)算混淆，一般在計(jì)算得過(guò)程中會(huì)添加區(qū)分記號(hào)，在余數(shù)與商之間也是一樣，同樣會(huì)用區(qū)分記號(hào)標(biāo)記。此時(shí)并沒(méi)有計(jì)算完全，只是完成了一半，要根據(jù)一個(gè)特定的綜合除法定理，來(lái)計(jì)算（ax-b）除式。如果除式為（ax-b）的商等于除式為（x-a）的商，則余數(shù)相同。利用該定理來(lái)對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行計(jì)算，就能夠快速得到真正的商值，達(dá)到快速計(jì)算的目的。如果在進(jìn)行計(jì)算的過(guò)程中，一個(gè)多項(xiàng)式除以另一個(gè)多項(xiàng)式的余數(shù)為0，則認(rèn)為該多項(xiàng)式可以被除式整除。

通過(guò)對(duì)以上計(jì)算過(guò)程以及定理進(jìn)行分析，能夠得到多項(xiàng)式綜合除法的一般步驟，為了讓高中生更加容易理解以及掌握該計(jì)算方法，具體將計(jì)算過(guò)程分為以下四步：

1. 對(duì)原式與除式按照某個(gè)字母進(jìn)行優(yōu)化排列，按照該字母的降冪依次寫出，并用系數(shù)0補(bǔ)出缺少的項(xiàng)。

2. 從排列好的第一項(xiàng)開始，用除式去除原式，并得出商式。

3. 用除后的商式去乘除式，將得到的結(jié)果寫在原式下面對(duì)齊，而后從原式中，減去得到的乘積。

4. 將減去乘積后的差，作為新的原式，重復(fù)1～3的計(jì)算步驟，繼續(xù)對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行推演，直到余式為0，或者余式的次數(shù)低于除式的次數(shù)。此時(shí)，原式等于除式乘以商式加上余式。

二、 多項(xiàng)式綜合除法的應(yīng)用

通過(guò)對(duì)多項(xiàng)式綜合除法的計(jì)算過(guò)程以及涉及的定理進(jìn)行概述，能夠看出采用多項(xiàng)式綜合除法，對(duì)高中生函數(shù)學(xué)習(xí)來(lái)說(shuō)，能夠優(yōu)化部分多項(xiàng)式的計(jì)算，節(jié)省解題時(shí)間。多項(xiàng)式綜合除法在計(jì)算多項(xiàng)式的值、分解因式、求解函數(shù)值、求解高次方程、多項(xiàng)式的變形、有理函數(shù)積分等均可以應(yīng)用。以下對(duì)多項(xiàng)式綜合除法的計(jì)算應(yīng)用方法進(jìn)行簡(jiǎn)單介紹。

（一） 求解函數(shù)值

部分多項(xiàng)式在計(jì)算的過(guò)程中，運(yùn)算量較大，尤其是對(duì)于高次冪多項(xiàng)式來(lái)說(shuō)，會(huì)耗費(fèi)大量的解題時(shí)間，且在大量的計(jì)算過(guò)程中很容易出錯(cuò)，降低分值。因此，針對(duì)在對(duì)多項(xiàng)式函數(shù)f（c）的值進(jìn)行計(jì)算的時(shí)候，可以采用綜合除法，將f（x）寫成（x-c）的多項(xiàng)式形式，得到的余式就是所求f（c）的函數(shù)值。采用綜合除法來(lái)計(jì)算多項(xiàng)式的值能夠大大減少計(jì)算量，培養(yǎng)高中生更好的矩陣算法思維，對(duì)其他數(shù)學(xué)題型的計(jì)算也具有一定的幫助。

（二） 因式分解

因式分解在函數(shù)解題中至關(guān)重要，然而對(duì)于高次冪多項(xiàng)式的因式分解來(lái)說(shuō)，簡(jiǎn)單的十字交叉法，采用多項(xiàng)式綜合除法以及其中的定理，能夠快速解決高次冪多項(xiàng)式求解問(wèn)題。同時(shí)，可以利用多項(xiàng)式綜合除法來(lái)解決多項(xiàng)式中求解有利根的問(wèn)題。

（三） 求解整系數(shù)多項(xiàng)式

在除式為高次項(xiàng)多項(xiàng)式的時(shí)候，想要采取簡(jiǎn)單的計(jì)算方法難以進(jìn)行，因此可以將綜合除法中對(duì)（x-c）除式計(jì)算的方法進(jìn)行推廣，使其能夠提高多項(xiàng)式求解的可操作性，便于高中生求解整系數(shù)多項(xiàng)式。

三、 結(jié)論

筆者通過(guò)對(duì)多項(xiàng)式綜合除法的解題步驟以及應(yīng)用方向進(jìn)行探究，為現(xiàn)代高中生解題提供了良好的思路與解題方法，能夠大大提高部分題型的解題速度，培養(yǎng)高中生良好的矩陣算法思維，為高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

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作者簡(jiǎn)介：

蔣艷燕，中學(xué)二級(jí)，浙江省金華市，浙江省東陽(yáng)市南馬高中。