【摘 要】在微觀經(jīng)濟學(xué)中，分析雙寡頭壟斷市場的產(chǎn)量決策時，假設(shè)雙方都已知自己和對方的成本函數(shù)，都知道市場的需求函數(shù)的前提下，可以達到古諾納什均衡產(chǎn)量，但現(xiàn)實社會中一方是很難知道對方的成本函數(shù)的，本文就是在放寬這個假設(shè)的條件下，用水晶球軟件的蒙特卡洛模擬功能來說明是否還會達到古諾納什均衡。

【關(guān)鍵詞】雙寡頭壟斷；成本函數(shù)；古諾納什均衡；蒙特卡洛模擬

一、雙寡頭壟斷市場的古諾納什均衡

古諾模型是早期的寡頭模型，它是由法國經(jīng)濟學(xué)家古諾在1838年最先提出的。古諾模型是一個只有兩個寡頭廠商的簡單模型，因此該模型也被稱為“雙寡頭模型”。微觀經(jīng)濟學(xué)中，雙寡頭壟斷市場是分析兩家寡頭壟斷廠商生產(chǎn)—種相同的產(chǎn)品時在寡頭壟斷市場中的行為。這一寡頭壟斷模型假定：每家廠商都不會力求去控制或有意地算計對方，或者說，寡頭壟斷廠商在追求自身的利潤最大化時，都將作為其競爭者的寡頭壟斷廠商的產(chǎn)量看作是不受自己產(chǎn)量決策影響的。兩個寡頭經(jīng)過博弈形成的均衡為古諾均衡，也叫古諾納什均衡。

王禮剛、楊紅（2005）對比完全信息和不完全信息的靜態(tài)古諾均衡，認為古諾均衡介于，雙方合謀的溝通均衡和完全競爭市場條件下的競爭均衡之間。

張旭平、林勇（2010）利用博弈論分析了完全信息條件下靜態(tài)古諾模型，得出納什均衡時產(chǎn)量和利潤，認為如果兩個廠商合謀，聯(lián)合決定產(chǎn)量，比雙方只考慮自身利益做出決策而得到的利潤要高。并利用博弈論中囚徒困境分析了雙方只要是考慮自身利潤最大化，就不會選擇合謀，而達到古諾納什均衡。接下來對不完全信息古諾模型進行分析，假設(shè)：兩寡頭進行同時決策的產(chǎn)量競爭，市場需求為市場總產(chǎn)量線性函數(shù)，廠商A的成本函數(shù)為正比例函數(shù)即無固定成本，邊際成本固定，這是兩廠商的共同知識。而廠商B的成本函數(shù)為正比例函數(shù)，有兩種可能的情況：一種是高產(chǎn)量，一種是低產(chǎn)量，廠商B自己知道實際是哪一種，廠商A只知道兩種情況的概率。對這個靜態(tài)貝葉斯博弈作分析，得到這個博弈的貝葉斯—納什均衡的產(chǎn)量和利潤，并對比完全信息條件下古諾納什均衡的產(chǎn)量。最后對完全信息古諾模型做了無限次數(shù)博弈，即動態(tài)分析，認為雙方仍然會陷入囚徒困境，最終采取靜態(tài)下古諾模型的產(chǎn)量。

在現(xiàn)實社會里，由于信息不完全，一方只可能知道自己的成本函數(shù)，假設(shè)市場的需求函數(shù)是公開的信息，那么它就可以知道自己的利潤函數(shù)，但通常是不可能知道對方的利潤函數(shù)的，所以他只能根據(jù)對方的本期的產(chǎn)量來對自己下次的產(chǎn)量進行決策，同樣的對方也會是這樣決策，那么在這個假設(shè)條件下雙方動態(tài)調(diào)整會達到古諾納什均衡嗎？如果雙方恰好在第一期各自選擇了其古諾納什均衡的產(chǎn)量，很顯然在第二期及之后他們會一直均衡在這個最優(yōu)產(chǎn)量水平下，但是如果他們初期沒有恰好選擇了其古諾納什均衡產(chǎn)量，那么經(jīng)過幾期的動態(tài)調(diào)整會出現(xiàn)古諾納什均衡嗎？這就是我們本文要考慮的問題。

二、蒙特卡洛模擬

蒙特卡洛（Monte Carlo），又稱隨機抽樣或統(tǒng)計試驗，屬于計算數(shù)學(xué)的一個分支，它是在二十世紀(jì)四十年代中期發(fā)展起來的。蒙特卡洛方法能夠真實地模擬實際物理過程，故解決問題與實際非常符合，可以得到很圓滿的結(jié)果。這是以概率和統(tǒng)計理論方法為基礎(chǔ)的一種計算方法，將所求解的問題同一定的概率分布相聯(lián)系，使用隨機數(shù)（或更常見的偽隨機數(shù)），用電子計算機實現(xiàn)統(tǒng)計模擬或抽樣，以獲得問題的近似解，來解決很多計算問題的方法。

當(dāng)所要求解的問題是某種事件出現(xiàn)的概率，或者是某個隨機變量的期望值時，可以通過試驗的方法，得到這種事件出現(xiàn)的頻率分布，或者這個隨機變量的平均值，并用作為問題的解，這就是蒙特卡洛方法的基本思想。蒙特卡洛方法，利用數(shù)學(xué)方法來加以模擬，即進行一種數(shù)字模擬實驗。它是以一個概率模型為基礎(chǔ)，按照這個模型所描繪的過程，通過模擬實驗的結(jié)果，作為問題的近似解。蒙特卡洛方法主要有三個主要步驟：構(gòu)造或描述概率過程；從已知概率分布抽樣；得出各種估計量的概率分布。本文的蒙特卡洛模擬是借助于安裝在Microsoft excel軟件上的水晶球軟件實現(xiàn)。

三、信息不完全下雙寡頭壟斷市場蒙特卡洛模擬

本文是在信息不完全條件下，雙寡頭壟斷市場中的兩個寡頭僅僅知道自己的成本函數(shù)，而不知道對方的成本函數(shù)，并且成本函數(shù)為更接近實際情況邊際成本遞增的二階非線性函數(shù)，雙方都是在一定的產(chǎn)量范圍內(nèi)，隨機進行第一期的決策，在動態(tài)條件下分析二者的產(chǎn)量動態(tài)變動。

雙寡頭壟斷市場中有兩個供應(yīng)者，他們的產(chǎn)量取決于對方的產(chǎn)量，雙方的產(chǎn)量共同供給消費者。為了下一步的蒙特卡洛模擬，現(xiàn)在假設(shè)兩個供應(yīng)者為A寡頭和B寡頭（下面簡稱A、B），市場的需求函數(shù)是P（Y1，Y2）=60-Y1-Y2，其中P是市場價格，Y1和Y2分別是A和B的產(chǎn)量；A和B的成本函數(shù)分別是C（Y 1）=Y 12和C（Y 2）=15Y 2+Y 22，他們的利潤函數(shù)分別是π1=PY 1-C1=（60-Y1-Y2）×Y1-Y12和π2=PY2-C2=（60-Y1-Y2）*Y2-15Y2-Y22，其中π1和π2分別表示A和B利潤。

首先看完全信息下靜態(tài)古諾納什均衡的情況。

接下來看信息不完全下雙寡頭壟斷市場的蒙特卡洛模擬情況。

首先在excel電子表格中建立該經(jīng)濟模型，然后利用水晶球軟件定義雙方的第一期產(chǎn)量為假設(shè)單元格，產(chǎn)生隨機數(shù)，進行蒙特卡洛模擬。定義雙方隨后若干期的產(chǎn)量為預(yù)測單元格，最后分析模擬結(jié)果。

首先在excel電子表格中建立模型，除第一期外，A的當(dāng)期的產(chǎn)量取決于B的上期產(chǎn)量，B的當(dāng)期產(chǎn)量取決于A的上期產(chǎn)量，如此進行20期生產(chǎn)，并且第一期我們假定雙方的產(chǎn)量是隨機的，由市場的需求函數(shù)可知，Y 1的定義域是[0，60]，所以假設(shè)A的第一期產(chǎn)量服從在[0，60]里的均勻分布，同樣的假設(shè)B的第一期產(chǎn)量也是服從在[0，60]里的均勻分布。我們利用水晶球軟件，將第1期的A，B的產(chǎn)量都定義為[0，60]里服從均勻分布的假設(shè)單元格，把雙方第3期，第5期，第10期和第20期的產(chǎn)量，定義為預(yù)測單元格，然后進行5000次的隨機模擬，觀察預(yù)測單元格的統(tǒng)計變量。關(guān)于20期的選定，結(jié)合后面模擬結(jié)果統(tǒng)計數(shù)據(jù)可以知道期數(shù)已經(jīng)足夠長，沒有必要再做更多期的模擬。關(guān)于5000次隨機模擬選取，如果A和B的產(chǎn)量為整數(shù)，那么在0到60中，雙方各有61種選擇，可以組合出61×61= 3721種組合，5000次模擬差不多可以覆蓋各種組合情況。

如圖1，在excel中，列B表示A寡頭，列C表示B寡頭，行表示第幾期的生產(chǎn)，從單元格B2到C21表示相應(yīng)的產(chǎn)量，在單元格B2，C2中任意輸入兩個符合定義域的數(shù)（注，由水晶球軟件和蒙特卡洛模擬的特性，輸入任何定義域之內(nèi)的數(shù)字都不會對結(jié)果有影響的。）如B2為20，C2為30。在單元格B3中輸入公式“=15-C2/4”相當(dāng)于A寡頭的反應(yīng)函數(shù)Y1=15-Y2/4，同樣的，在單元格C3中輸入“=（45-B2）/4”相當(dāng)于B寡頭的反應(yīng)函數(shù)Y2=（45-Y1）/4，以次類推，在單元格B21中輸入“=15-C20/4”，在單元格C21中輸入“=（45-B20）/4”。接下來，用水晶球軟件的Define Assumption鍵來定義假設(shè)單元格B2，如圖2，定義為[0，60]的均勻分布，同樣的C2定義為[0，60] 的均勻分布。再用水晶球軟件中的Define Forecast鍵來定義B4單元格為預(yù)測單元格，名稱為A寡頭第3期產(chǎn)量，C4為B寡頭第3期產(chǎn)量，同樣定義單元格B6，C6，B11，C11，B21和C21為預(yù)測單元格，并定義相應(yīng)的名稱。

在設(shè)置好模擬的參數(shù)后，就可以用水晶球軟件開始進行蒙特卡洛模擬了。本文將模擬次數(shù)設(shè)置成5000次，其他模擬參數(shù)均為軟件的默認設(shè)置。5000次模擬后出現(xiàn)如下結(jié)果，兩個寡頭第3期和第5期的產(chǎn)量分布用圖3至圖6模擬結(jié)果的頻率頻數(shù)輪廓圖來描述，第10期和第20期的產(chǎn)量情況用表1模擬結(jié)果的統(tǒng)計量圖來描述

圖3和圖4，圖中橫坐標(biāo)為產(chǎn)量，左側(cè)縱坐標(biāo)為相應(yīng)產(chǎn)量的概率，右側(cè)縱坐標(biāo)為頻數(shù)，我們可以看出，在第3期的時候，A寡頭的產(chǎn)量已經(jīng)集中在12.23到15.93之間了，B寡頭集中在7.53到11.23之間了，都比雙方初始的區(qū)間[0，60]集中了很多，并且明顯有向著各自的古諾納什均衡點集中的趨勢

如圖5和圖6，看第5期的產(chǎn)量圖，A寡頭的產(chǎn)量已經(jīng)集中在12.95到13.18之間了，B寡頭集中在7.97到8.20之間了，A和B的產(chǎn)量均比第3期的產(chǎn)量有進一步向著古諾納什均衡點集中的趨勢。

到了第10期，如表1，看A寡頭第10期的產(chǎn)量的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，A寡頭的產(chǎn)量的平均值和中值為13.00，方差標(biāo)準(zhǔn)差為0，最大值和最小值都是13.00，注意到眾數(shù)是不存在的，這些統(tǒng)計數(shù)據(jù)表明A寡頭的產(chǎn)量已經(jīng)非常接近于其古諾納什均衡產(chǎn)量13.00了，但還不準(zhǔn)確為13.00，這里面的方差標(biāo)準(zhǔn)差為0，最大值最小值都是13.00應(yīng)該是非常近似的值，否則眾數(shù)應(yīng)該是存在的。同樣由B寡頭產(chǎn)量的統(tǒng)計數(shù)據(jù)也可知B寡頭的產(chǎn)量已經(jīng)非常接近于其古諾納什均衡產(chǎn)量8.00了，但還不確切為8.00。

到了第20期，看A寡頭第20期的產(chǎn)量統(tǒng)計數(shù)據(jù)，平均值和中值為13.00，方差標(biāo)準(zhǔn)差為0，最大值最小值都是13.00，同時眾數(shù)也是13.00，這些統(tǒng)計指標(biāo)已經(jīng)確切表明A寡頭的產(chǎn)量已經(jīng)等于其古諾納什均衡產(chǎn)量13.00了。同樣的，第20期B寡頭的產(chǎn)量也等于其古諾納什均衡產(chǎn)量8.00了。由雙方的反應(yīng)函數(shù)可知，第21期雙方的產(chǎn)量將和第20期的產(chǎn)量完全相同，也就是說，在其他情況都不變的條件下，A和B的產(chǎn)量就繼續(xù)穩(wěn)定在他們的古諾納什均衡產(chǎn)量組合（13.00，8.00）了。

四、結(jié)論

經(jīng)過對水晶球5000次蒙特卡洛模擬的結(jié)果分析，在雙寡頭壟斷市場條件下，兩寡頭已知市場需求函數(shù)，自己的成本函數(shù)和利潤函數(shù)的前提下，在不知道對方的成本函數(shù)和利潤函數(shù)信息不完全的情況下，經(jīng)雙方多期（本文可以認為至多經(jīng)過20期）按照自己的反應(yīng)函數(shù)進行動態(tài)產(chǎn)量調(diào)整，最終還是會均衡在雙方都知道對方成本函數(shù)和利潤函數(shù)，完全信息靜態(tài)條件下得到的古諾納什均衡產(chǎn)量的。

（浙江廣廈建設(shè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院，浙江東陽 322100）

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作者簡介：劉曌（1975 —），男，黑龍江牡丹江人，浙江廣廈建設(shè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院經(jīng)外學(xué)院講師，碩士，主要從事商業(yè)經(jīng)濟 應(yīng)用經(jīng)濟學(xué)研究。