方蘇陽,趙勇

(1.安徽理工大學(xué) 測繪學(xué)院,安徽 淮南 232001;2.華東有色測繪院,江蘇 南京 210000)

0 引 言

隨著GPS技術(shù)逐漸成熟,GPS被廣泛運(yùn)用到人們生產(chǎn)和生活的各個部門[1-2],在測繪領(lǐng)域的運(yùn)用更是廣泛。GPS技術(shù)集數(shù)據(jù)采集、處理、傳輸、分析于一體[3-4],在測繪領(lǐng)域主要由于其高精度的定位而被運(yùn)用到建立各級平面控制網(wǎng)中,卻不能在高程測量中得到很好的運(yùn)用。由于GPS高程測量是在大地高系統(tǒng)下以參考橢球?yàn)榛鶞?zhǔn)面,而生活中需要用到的高程是在正常高系統(tǒng)系下以大地水準(zhǔn)面為基準(zhǔn)面測得[5],由于不同的基準(zhǔn)面,GPS高程測量所得到的大地高不能在工程中直接使用。針對上述問題,眾多國內(nèi)外學(xué)者對GPS高程擬合深入研究,獲得豐碩的研究成果。例如田曉[6]針對高程擬合模型不同的特點(diǎn),研究了適用于不同地形特征的GPS高程擬合模型,經(jīng)試驗(yàn)表明,該模型相對于其他模型具有更高的擬合精度,所得出的殘差更穩(wěn)定;史俊莉[7]通過分析地形對GPS高程擬合精度影響問題,將地形改正引入到了GPS高程擬合中,有效解決因短波分量的計(jì)算問題,提高了擬合精度;魏宗海[8]改進(jìn)了BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法,通過不同的指標(biāo)評價(jià)擬合結(jié)果,實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,不同算法改進(jìn)BP網(wǎng)絡(luò)模型能夠有效地提高擬合精度和效率。

由于不同的GPS高程擬合模型普適性低,在不同環(huán)境下具有一定局限性,難以將模型優(yōu)勢充分利用?？紤]到上述問題,本文研究多種GPS高程擬合模型,通過實(shí)例分析研究模型在高程擬合方面的應(yīng)用及其對應(yīng)的局限性,總結(jié)出了針對不同情況下獲取的數(shù)據(jù)所采取的不同擬合方法,以獲得高精度的高程轉(zhuǎn)換。研究成果對GPS高程測量在不同環(huán)境下的工程項(xiàng)目中的推廣具有較好的參考價(jià)值。

1 GPS高程擬合模型研究

1.1 二次多項(xiàng)式曲線擬合法

多項(xiàng)式曲線擬合[9]將測區(qū)認(rèn)定為不規(guī)則分布曲線,利用m次的代數(shù)多項(xiàng)式插值處理,將測線方位作為X軸,將測線垂直方位作為Y軸,令高程異常為ζi,利用下列m次多項(xiàng)式擬合。

ζi(xi)=a0+a1xi+a2xi2+…+amxim,

(1)

式中,xi為擬合點(diǎn)至參考點(diǎn)(x0,y0)直線距離。

(2)

各高程控制點(diǎn)的已知高程異常與其擬合值之差i被稱為離差:

ri=ζi(xi)-ζi,i=1,2…，n.

(3)

即在已知點(diǎn)處的離差ri的平方和最小:

(4)

這樣的條件下求解ai,接著求出各點(diǎn)的ζ,從而獲得正常高。

1.2 多面函數(shù)擬合法

多面函數(shù)擬合法[10]本質(zhì)是數(shù)學(xué)曲面逼近的方法,基本思想是用數(shù)學(xué)表面逼近所測區(qū)域的大地水準(zhǔn)面。利用數(shù)學(xué)模型所建立的水準(zhǔn)面面精度高,能夠有效地代替真實(shí)水準(zhǔn)面,利用數(shù)學(xué)模型在各插值點(diǎn)之間建立函數(shù)關(guān)系,并將函數(shù)疊加,組成多面函數(shù),由于這是每個插值點(diǎn)與已知數(shù)據(jù)建立的函數(shù)關(guān)系,因此多面函數(shù)具有計(jì)算最佳擬合值的特點(diǎn),因此多面函數(shù)曲面擬合法就能夠更準(zhǔn)確地?cái)M合出未知點(diǎn)的高程擬合值。

多面函數(shù)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

(5)

式中：ai為待定系數(shù)；Q(x,y,xi,yi)為核函數(shù)；x,y為待求點(diǎn)的坐標(biāo)；xi,yi為已知點(diǎn)坐標(biāo),是核函數(shù)中心所在地方。

理論上核函數(shù)是可以任意構(gòu)造的,在實(shí)際應(yīng)用中,較常用對稱性的距離函數(shù),通常用以下幾種函數(shù)來充當(dāng)核函數(shù):

1) 錐面:

Q(x,y,xi,yi)=C+[(x-xi)2+

(y-yi)2]2.

(6)

2) 雙曲面:

Q(x,y,xi,yi)= [(x-xi)2+(y-yi)2+

(7)

3) 倒曲面:

Q(x,y,xi,yi)= [(x-xi)2+(y-yi)2+

(8)

4) 三次曲面:

Q(x,y,xi,yi)=C+[(x-xi)2+

(9)

上面幾種函數(shù)中,x,y表示內(nèi)插點(diǎn)坐標(biāo),xi,yi為已知點(diǎn)的坐標(biāo),(x-xi)2+(y-yi)2為內(nèi)插點(diǎn)到已知點(diǎn)的水平距離,式中的參數(shù)δ為光滑系數(shù)。當(dāng)已知待求點(diǎn)的點(diǎn)數(shù)時(shí),任意一點(diǎn)ζp為

ζp=QpQ-1ζ

=(Q1p,Q2p,…,Qnp).

(10)

式中,Qij=Q(x,y,xi,yi) .

(11)

當(dāng)已知點(diǎn)數(shù)少于待求點(diǎn)數(shù)時(shí),

ζp=Qp(QTQ)-1QTζ.

(12)

已知點(diǎn)的高程異常值ζ為直接關(guān)系到未知點(diǎn)的高程異常值ζp的計(jì)算結(jié)果,因此,如果想要更好地結(jié)算出未知點(diǎn)的高程異常值,必須認(rèn)真選取已知點(diǎn),并且使所選的已知點(diǎn)的高程異常值相差比較大,因?yàn)檫@些點(diǎn)能最好地描述地形變化特征,即高程異常值的分布特征。這些特征點(diǎn)的選擇一般在地勢高和地勢較低的地方。在選擇多面函數(shù)求解測區(qū)內(nèi)點(diǎn)的高程異常值的時(shí)候,需要注意的是核函數(shù)的選取問題,由于其取值是自主取值,為了能達(dá)到擬合最佳效果,就要逐步地試驗(yàn)改進(jìn),然后選定一個最佳取值(本文經(jīng)多次反復(fù)實(shí)驗(yàn),選擇三次曲面函數(shù)作為核函數(shù))。

1.3 二次曲面擬合法

多項(xiàng)式曲面擬合常用于測區(qū)控制點(diǎn)大面積面狀分布,利用二次曲面擬合模型[11]進(jìn)行擬合,可得到公共點(diǎn)上的高程異常與平面坐標(biāo)之間的關(guān)系，其表達(dá)式為

(13)

式中:a0,a1,a2,a3,a4,a5為待定參數(shù)。

1) 區(qū)域內(nèi)只有6個公共點(diǎn)。

ζ=XA,

(14)

其中,

求解待定點(diǎn)的高程異常值關(guān)鍵在于確定多項(xiàng)式的系數(shù),常用的方法為高斯消元法。確定完多項(xiàng)式,將待定點(diǎn)代入多項(xiàng)式中,求出高程異常值,繼而求解正常高Hr.

2) 當(dāng)公共點(diǎn)多于6個時(shí),則可列出相應(yīng)的誤差方程:

a5xiyi-ζi,i=1,2…，n.

(15)

寫成矩陣形式為

V=XA-ζ.

(16)

在離差的和∑V2為最小值的條件下,根據(jù)最小二乘法原理可求得A,然后就可以求出任一點(diǎn)的高程異常值ζ,從而求出Hr.

1.4 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)通過大量觀測數(shù)據(jù)構(gòu)成的樣本集的學(xué)習(xí)與仿真,保證了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對沉降數(shù)據(jù)預(yù)測的準(zhǔn)確性,BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是具有三層(及以上)神經(jīng)元的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò),其中有輸入層、隱含層以及輸出層[12-14]。輸入層輸入樣本集,每一個樣本集組成一個神經(jīng)元,神經(jīng)元激活值通過隱含層正向傳播至輸出層,學(xué)習(xí)過程中反復(fù)修改神經(jīng)元權(quán)值,若輸出的結(jié)果滿足期望,則認(rèn)為學(xué)習(xí)過程結(jié)束,可以進(jìn)行數(shù)據(jù)預(yù)測,若與期望存在一定差距,則需要調(diào)整神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相應(yīng)參數(shù)。結(jié)合高程擬合的BP網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖如圖1所示。

圖中,輸入層為GPS高程擬合點(diǎn)平面坐標(biāo),學(xué)習(xí)信號為已知點(diǎn)的高程異常ζ′,輸出層為所求GPS高程擬合點(diǎn)的高程異常ζ.

對于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來說,選擇隱含層節(jié)點(diǎn)數(shù)十分重要,隨著隱含層節(jié)點(diǎn)的增加,網(wǎng)絡(luò)能夠更好地解決非線性問題,但同時(shí)也會引起網(wǎng)絡(luò)收斂速度慢,增長網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)時(shí)間,所以隱含層存在一個臨界節(jié)點(diǎn)數(shù)。選擇隱含層節(jié)點(diǎn)個數(shù)十分復(fù)雜,目前常用的方法有如下幾種:1) 通過輸入層節(jié)點(diǎn)數(shù)確定。2) 根據(jù)輸入層與輸出層節(jié)點(diǎn)個數(shù)確定。

BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法可以分為以下幾個部分:

1) 初始化BP網(wǎng)絡(luò),確定輸入層、隱含層、輸出層節(jié)點(diǎn)數(shù),分別設(shè)為n、i、m;初始化各層連接權(quán)值,令隱含層與輸入層連接權(quán)值為ωij、隱含層與輸出層之間的連接權(quán)值ωjk;分別初始化各層神經(jīng)元的閾值,設(shè)隱含層閾值為aj(j=1,2，…),輸出層閾值為bk(k=1,2，…)。給定學(xué)習(xí)數(shù)據(jù)集,即提供輸入向量(學(xué)習(xí)樣本)以及期望輸出向量(高程異常)。

2) 計(jì)算出隱含層輸出M.

(17)

式中，f函數(shù)表示激勵函數(shù)。

3) 根據(jù)計(jì)算得出的隱含層輸出M,計(jì)算出輸出層輸出S.S為BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法學(xué)習(xí)輸出的高程異常(未檢核)。

(18)

4) 計(jì)算均方誤差ε,

ε=Yk-Sk.

(19)

5) 反復(fù)更新權(quán)值與閾值,根據(jù)上述所求得的高程異常預(yù)測誤差ε,更新連接權(quán)值ωij、ωjk以及閾值aj、bk公式為

i=1,2…,j=1,2，…,

(20)

ωjk=ωjk+μMjek,j=1,2，…,k=1,2，… ,

(21)

j=1,2，… ,

(22)

bk=bk+ek,k=1,2，… .

(23)

6) 最后是判斷過程,若算法輸出高程異常值滿足精度要求則結(jié)束迭代,若未滿足要求則返回2) 繼續(xù)迭代。

通過反復(fù)迭代,利用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行GPS高程擬合具有很高的精度。

2 工程實(shí)例應(yīng)用

2.1 研究區(qū)概況

將某市GPS工程控制網(wǎng)數(shù)據(jù)為高程擬合實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。該地區(qū)地形平緩,以平原為主。該控制網(wǎng)控制點(diǎn)數(shù)為270個,控制點(diǎn)分布不均勻,選取測區(qū)內(nèi)共有30個GPS水準(zhǔn)聯(lián)測點(diǎn),該測區(qū)幾何水準(zhǔn)測量為四等水準(zhǔn)測量。選取該測區(qū)中精度高低不等且分布均勻的25個GPS控制點(diǎn)作為本次試驗(yàn)處理數(shù)據(jù),點(diǎn)位分布以及具體數(shù)據(jù)如圖2和表1所示。

點(diǎn)名XY水準(zhǔn)高程/mGPS高程/m高程異常ζ A1518 919.0643 645 477.49344.275 656.585 712.310 1 A2521 948.2063 644 145.27453.642 565.917 912.275 4 A3527 095.7713 649 661.43929.450 541.741 912.291 4 A4526 079.4523 645 417.60645.754 158.049 712.295 6 A5525 975.1213 642 769.16136.426 348.732 712.306 4 A6526 306.9373 641 029.06136.785 649.106 912.321 3 A7528 106.6653 641 090.28134.333 846.646 312.312 5 A8528 424.8153 637 219.91639.979 552.260 812.281 3 A9527 646.7233 633 978.78934.004 846.31912.314 2 A10529 423.2513 639 409.85837.523 749.807 312.283 6 A11528 937.9823 642 910.63135.054 747.362 612.307 9 A12530 686.2243 649 840.06329.042 941.340 212.297 3

表1(續(xù))

2.2 高程擬合

實(shí)驗(yàn)檢核點(diǎn)為A4、A6、A8、A11、A16、A17、A19、A21、A23、A24,另15個點(diǎn)作為實(shí)驗(yàn)擬合點(diǎn)。通過本文前述四種擬合模型進(jìn)行擬合實(shí)驗(yàn),并進(jìn)行精度計(jì)算,對擬合結(jié)果進(jìn)行對比分析,具體數(shù)據(jù)分析如表2、圖3、表3所示。(BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)擬合法所確定的隱含層個數(shù)為6,BP網(wǎng)絡(luò)為3-6-1模型)。

表2 四種高程擬合方法對比

二次多項(xiàng)式曲線擬合/m多面函數(shù)擬合/m二次曲面擬合/mBP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)擬合/m 內(nèi)符合精度: μ=[VV]/(n-1)±0.014 3±0.014 3±0.014 3±0.001 2 外符合精度: M=[VV]/(m-1)±0.016 4±0.013 9±0.014 8±0.001 1

2.3 分析與比較

根據(jù)擬合計(jì)算結(jié)果表3和擬合殘差圖3可知:四種擬合方法進(jìn)行實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)高程擬合都可以滿足四等幾何水準(zhǔn)的要求。采用不同的擬合方法,進(jìn)行擬合后的結(jié)果不同,其中的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)擬合法較其他方法可以達(dá)到較高的精度。

通過二次曲面擬合與二次多項(xiàng)式曲線擬合進(jìn)行比較可以得出結(jié)論:對于測區(qū)點(diǎn)為面狀分布時(shí),采用曲面擬合法,更能反映測區(qū)的似大地水準(zhǔn)面狀況,其精度高于基于曲線的曲線擬合法。

通過多面函數(shù)擬合與二次曲面擬合進(jìn)行比較可以得到結(jié)論:測區(qū)并不完全是一個規(guī)則的起伏面,對二次曲面擬合可能有較大的影響,對測區(qū)采用了多面函數(shù)的方法進(jìn)行擬合,多面函數(shù)擬合的效果比二次曲面擬合的效果要好,內(nèi)符合精度和外符合精度都得到了較大的提高。

通過BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)擬合與二次多項(xiàng)式曲線擬合、多面函數(shù)擬合、二次曲面擬合進(jìn)行比較可以得出結(jié)論: BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)擬合法的擬合精度高于曲線、曲面擬合法的擬合精度。運(yùn)用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)擬合法進(jìn)行平原區(qū)域的GPS高程擬合,具有較高的擬合精度,其數(shù)據(jù)較好地貼近似大地水準(zhǔn)面。故而在位于平原區(qū)域的測區(qū)進(jìn)行GPS高程擬合時(shí),可利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)擬合法的特點(diǎn),獲得高精度的正常高。

3 結(jié)束語

本文通過高程擬合實(shí)驗(yàn)分析對比四種GPS高程擬合方法,研究表明,針對不同測區(qū)選擇適當(dāng)?shù)母叱虜M合模型能夠提高高程擬合精度;高程異常變化明顯的地區(qū)曲線曲面擬合方法精度較低,宜采取多面函數(shù)擬合法;BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)擬合模型在本次實(shí)驗(yàn)中精度高于其余三種擬合模型,可以認(rèn)為在地形平緩地區(qū),BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)擬合方法能夠高精度地進(jìn)行高程擬合。