陳光平，肖鐵忠

(四川工程職業(yè)技術(shù)學(xué)院 四川省裝備制造業(yè)機(jī)器人應(yīng)用技術(shù)工程實(shí)驗(yàn)室，四川 德陽 618000)

0 引言

電主軸是數(shù)控成形磨齒機(jī)的重要功能性部件。在長(zhǎng)時(shí)間高速運(yùn)轉(zhuǎn)過程中，其內(nèi)部軸承、主軸、轉(zhuǎn)子等零部件會(huì)由于摩擦、功率損耗而產(chǎn)生大量的熱。雖然一部分熱會(huì)散發(fā)到空氣中，一部分會(huì)被循環(huán)冷卻液帶走，但仍有相當(dāng)一部分熱量會(huì)傳遞給電主軸本身，使其各部分的溫升不均勻、出現(xiàn)溫度場(chǎng)并產(chǎn)生相應(yīng)的熱變形，從而對(duì)電主軸乃至整個(gè)機(jī)床的形態(tài)精度和加工精度造成顯著影響。研究表明，高速數(shù)控機(jī)床的熱變形是影響機(jī)床加工精度的重要因素，最高可占機(jī)床總體誤差的70%[1]。

與成形磨齒過程中機(jī)床所受到日照輻射、環(huán)境溫度、切削熱、摩擦熱等多種熱源相比，電主軸是整個(gè)機(jī)床最大的熱誤差源，也是影響齒面加工精度的關(guān)鍵因素之一[2]。為了探明電主軸的熱變形機(jī)理、減小其熱誤差，國(guó)內(nèi)外學(xué)者進(jìn)行了大量的研究工作并建立了多種熱誤差理論模型[3-4]。雷春麗等提出了一種綜合了自回歸分析理論和灰色系統(tǒng)預(yù)測(cè)理論的電主軸熱誤差預(yù)測(cè)模型，通過采用模糊邏輯選取權(quán)值，使各單項(xiàng)預(yù)測(cè)模型能夠揚(yáng)長(zhǎng)避短從而增強(qiáng)組合預(yù)測(cè)模型的泛化能力[6]。Wang等運(yùn)用時(shí)序分析方法建立了電主軸熱誤差模型并通過熱誤差補(bǔ)償實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)了模型的精度，取得了較好的效果[6]。Creighton等利用有限元方法分析了微型電主軸系統(tǒng)溫度場(chǎng)分布特性并建立了軸向熱誤差關(guān)于轉(zhuǎn)速以及運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)間的指數(shù)模型[7]。Raksiri等提出了基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)理論的電主軸溫度—熱誤差建模方法，并依據(jù)該模型對(duì)電主軸熱誤差進(jìn)行預(yù)測(cè)和在線補(bǔ)償，從而取得了較好的加工效果[8]。Wang等將數(shù)據(jù)挖掘理論運(yùn)用于電主軸的溫度—熱誤差建模方法之中，既增強(qiáng)了熱誤差模型對(duì)于不同工況條件的適應(yīng)性又進(jìn)一步提高了電主軸熱誤差補(bǔ)償效率[9]。代貴松等通過對(duì)電主軸結(jié)構(gòu)及溫度場(chǎng)的分析，提出了一種基于自然指數(shù)的數(shù)控機(jī)床電主軸熱誤差建模方法，具有很好的魯棒性和很高的準(zhǔn)確性[10]。

目前，多元線性回歸法是應(yīng)用較廣泛的多變量自回歸建模方法之一，具有運(yùn)算量小、算法簡(jiǎn)單、模型直觀、易于理解、便于實(shí)現(xiàn)等諸多優(yōu)點(diǎn)，在電主軸熱誤差建模方面得到了廣泛應(yīng)用。但其模型精度往往相對(duì)較低，不太適用于成形磨齒機(jī)等精密、高精密的數(shù)控加工設(shè)備。因此，為了探明工況條件下的電主軸溫度變化規(guī)律，進(jìn)一步提升電主軸熱誤差建模精度和機(jī)床加工精度，以某成形磨齒機(jī)的電主軸為研究對(duì)象，通過進(jìn)行基于工況條件的熱誤差實(shí)驗(yàn)從而獲得電主軸主要部位的溫升與其軸向、徑向的熱變形狀況。在實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，提出了由多元二次回歸理論—最小二乘法原理建立電主軸徑向與軸向熱誤差預(yù)測(cè)模型的建模方法，從而對(duì)電主軸熱誤差進(jìn)行精確性較高地預(yù)測(cè)。

1 多元二次回歸建模方法

假設(shè)因變量y與m個(gè)自變量x1,x2,…,xm存在非線性關(guān)系，依據(jù)多元二次回歸理論，由實(shí)驗(yàn)檢測(cè)到的n組樣本數(shù)據(jù)(xt1,xt2,…,xtm；yt)，t為時(shí)間序列號(hào)，t=1,2,…,n，那么這些數(shù)據(jù)存在如下數(shù)學(xué)關(guān)系：

(1)

則因變量y與自變量x的多元二次回歸模型可表示為：

y=α·x+β·x2+ε

(2)

其中，α0,α1,…,αm,β1,β2,…,βm為2m+1個(gè)待估計(jì)的回歸參數(shù)；x1,x2,…,xm為m個(gè)檢測(cè)到的樣本變量；ε1,ε2,…,εn為n個(gè)相互獨(dú)立并且服從于同一個(gè)正態(tài)分布N(0,σ)的隨機(jī)變量。

依據(jù)最小二乘法基本原理，為得到估計(jì)參數(shù)α和β，可假設(shè)a0,a1,…,am,b1,b2,…,bm分別為α0,α1,…,αm,β1,β2,…,βm的最小二乘估計(jì)參數(shù)，則方程組(2)可轉(zhuǎn)化為：

(3)

對(duì)于估計(jì)參數(shù)a和b，需使y的殘差平方和達(dá)到最小值，即

(4)

若其在最小值處的偏導(dǎo)數(shù)為零，那么

(5)

由方程組(5)即可解得估計(jì)參數(shù)a和b，并將其代入方程(3)，即可得到因變量y與自變量x的、基于最小二乘估計(jì)的多元二次回歸模型方程。

2 電主軸熱誤差實(shí)驗(yàn)

以某數(shù)控成形磨齒機(jī)的電主軸為研究對(duì)象，其內(nèi)部包含前、中、后三組滾珠軸承。在長(zhǎng)時(shí)間高速運(yùn)轉(zhuǎn)過程中，這三處位置的溫升較為明顯，也是電主軸的主要熱源，故在這些軸承的主軸殼體外表面處安裝三個(gè)溫度傳感器，記為Ti(i=1,2,3)。另外，在成形磨齒過程中，砂輪與工件沿機(jī)床坐標(biāo)系Z方向的相對(duì)位置誤差Δz僅僅影響齒面在齒輪圓周上的位置分布，而對(duì)工件齒面本身不會(huì)造成任何誤差[11]。由于會(huì)對(duì)齒面加工精度產(chǎn)生顯著影響的主要是電主軸分別沿機(jī)床坐標(biāo)系X、Y方向的徑向、軸向位置誤差，故分別在電主軸的徑向與軸向位置安裝激光位移傳感器，分別記為S1和S2，并將檢測(cè)到的熱變形量分別記為Δx和Δy。電主軸熱誤差檢測(cè)過程中的溫度、熱變形測(cè)量點(diǎn)位置如圖1所示，熱誤差實(shí)驗(yàn)如圖2所示。

圖1 電主軸溫度與熱變形測(cè)量點(diǎn)示意圖

圖2 電主軸熱誤差實(shí)驗(yàn)

溫度檢測(cè)系統(tǒng)采用的是自帶熱電阻(PT100)傳感器的MIK5010A數(shù)據(jù)記錄儀，經(jīng)過標(biāo)定的熱電阻傳感器的溫度檢測(cè)精度為±0.01℃；熱變形檢測(cè)系統(tǒng)采用LTS-25-02型激光位移傳感器，其標(biāo)定后的檢測(cè)精度為0.01μm。實(shí)驗(yàn)期間，車間的環(huán)境溫度為20±0.2℃，電主軸的工作轉(zhuǎn)速為2500r/min。通過每2min采集一次溫度、位移數(shù)據(jù)，從而得到了電主軸溫升變化曲線以及其徑向、軸向熱誤差隨時(shí)間t的變化曲線，分別如圖3和圖4所示。

圖3 電主軸溫升變化曲線圖

圖4 電主軸的徑向和軸向熱誤差變化曲線圖

由圖3可以看出：在前3個(gè)小時(shí)內(nèi)，電主軸的徑向、軸向熱誤差曲線隨著運(yùn)行時(shí)間t的增加而快速增長(zhǎng)；然后在第3至第4個(gè)小時(shí)內(nèi)，熱誤差曲線的增長(zhǎng)速度出現(xiàn)了逐漸變緩的趨勢(shì)，表明電主軸越來越接近熱平衡狀態(tài)；在第4個(gè)小時(shí)以后，熱誤差曲線趨近于直線、基本不再增長(zhǎng)，從而表明電主軸已經(jīng)達(dá)到了熱平衡狀態(tài)，其熱變形量基本穩(wěn)定。此外，還可以看出，工況條件下的電主軸徑向、軸向熱誤差曲線的變化趨勢(shì)與溫升密切相關(guān)，溫升越快，其熱變形速度也越快。同時(shí)，電主軸熱誤差曲線無突變、斷崖等現(xiàn)象且連續(xù)性較好，說明其產(chǎn)品設(shè)計(jì)與結(jié)構(gòu)性能較好，有利于建立精度高、穩(wěn)定性強(qiáng)的熱誤差模型。

3 電主軸熱誤差模型的建立與應(yīng)用

運(yùn)用多元二次回歸理論與最小二乘估計(jì)原理，將實(shí)驗(yàn)檢測(cè)到的電主軸溫度值T1、T2、T3與熱變形數(shù)據(jù)Δx、Δy代入式(5)，解得估計(jì)參數(shù)a和b并將其代入式(3)，即可得到關(guān)于電主軸徑向熱誤差Δx與溫度變量T的多元二次回歸模型方程為：

Δx=-336.833+9.774T1+3.009T2+

(6)

同理，電主軸軸向熱誤差Δy與溫度變量T的多元二次回歸模型方程為：

Δy=-231.644-13.007T1+2.137T2+

(7)

依據(jù)式(6)和式(7)，即可得到電主軸徑向和軸向熱誤差的預(yù)測(cè)曲線Δx′、Δy′以及模型預(yù)測(cè)值與實(shí)驗(yàn)測(cè)量值之間的誤差曲線εx、εy，如圖5所示。由圖中可知，當(dāng)電主軸達(dá)到熱平衡狀態(tài)后，由回歸模型計(jì)算得到的徑向、軸向熱誤差分別為33.808、25.307μm，與實(shí)驗(yàn)測(cè)量值的最大相對(duì)誤差分別為1.56%和1.83%，兩者均小于1.9%，說明電主軸徑向、軸向熱誤差回歸方程的性能可靠、擬合精度高。同時(shí)也說明多元二次回歸理論對(duì)電主軸熱誤差建模的適用性好，所建立的回歸模型具有較好的預(yù)測(cè)精度。

圖5 電主軸徑向、軸向熱誤差預(yù)測(cè)曲線及擬合誤差曲線圖

4 結(jié)論

電主軸零部件眾多、內(nèi)外部環(huán)境熱源眾多且復(fù)雜。以某成形磨齒機(jī)的電主軸為研究對(duì)象，通過進(jìn)行熱誤差實(shí)驗(yàn)以獲得電主軸溫升與其徑向、軸向的熱變形狀況。在實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，提出了基于多元二次回歸理論與最小二乘法原理的電主軸徑向與軸向熱誤差預(yù)測(cè)模型的建模方法。該方法可以有效解決電主軸熱誤差建模過程中所遇到的非線性問題并對(duì)電主軸熱誤差進(jìn)行高精確性地預(yù)測(cè)。結(jié)果表明，回歸模型計(jì)算值與實(shí)驗(yàn)測(cè)量值的最大相對(duì)誤差均小于1.9%。在探明電主軸熱誤差的變化規(guī)律的同時(shí)，也為促進(jìn)數(shù)控成形磨齒機(jī)加工精度的進(jìn)一步提升奠定了基礎(chǔ)。