王 林，李研彪*，孫 鵬，羅怡沁，徐夢(mèng)茹，鄭 航

(1.浙江工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，浙江 杭州 310032；2.浙江工業(yè)大學(xué) 特種裝備制造與先進(jìn)加工技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，浙江 杭州 310032)

0 引 言

并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有結(jié)構(gòu)緊湊、承載能力強(qiáng)、運(yùn)動(dòng)慣性小等優(yōu)點(diǎn)，故廣泛應(yīng)用于各種擬人關(guān)節(jié)[1-6]。由于并聯(lián)機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)方程是非線性多輸入多輸出系統(tǒng)，存在多種分配組合來實(shí)現(xiàn)運(yùn)動(dòng)[7-10]。在穩(wěn)定外載荷作用下，合理地優(yōu)化分配各驅(qū)動(dòng)可以有效降低能耗、減少驅(qū)動(dòng)力。

目前，主要從驅(qū)動(dòng)力矩最優(yōu)和能耗最優(yōu)兩個(gè)角度來進(jìn)行動(dòng)載協(xié)調(diào)分配，通過構(gòu)建力矩分配模型和能量分配模型來實(shí)現(xiàn)優(yōu)化[11-15]。其中，分配方式有加權(quán)最小二乘法、規(guī)劃載荷分配系數(shù)等。但上述優(yōu)化方法均屬于單目標(biāo)優(yōu)化，只考慮驅(qū)動(dòng)力矩或者能耗，且均從瞬時(shí)狀態(tài)考慮，未衡量機(jī)構(gòu)的整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程。因此，優(yōu)化結(jié)果可能存在驅(qū)動(dòng)力矩、速度等方面的波動(dòng)或突變，這種波動(dòng)、突變現(xiàn)象不利于機(jī)構(gòu)的穩(wěn)定運(yùn)行。同時(shí)，只考慮力矩和能耗最小，也可能出現(xiàn)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間較長，不利于提高機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)效率。

針對(duì)上述動(dòng)載協(xié)調(diào)分配優(yōu)化的不足，本文將考慮機(jī)構(gòu)性能、時(shí)間、能耗和力矩波動(dòng)4個(gè)因素，提出一種動(dòng)載協(xié)調(diào)分配優(yōu)化方法，并基于動(dòng)力學(xué)模型，定義綜合性能指標(biāo)，采用Dijkstra算法優(yōu)化求解性能最優(yōu)軌跡，最后用遺傳算法求解得到最優(yōu)廣義時(shí)間。

1 肩關(guān)節(jié)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

本文研究的肩關(guān)節(jié)機(jī)構(gòu)以球面5R并聯(lián)機(jī)構(gòu)為原型，肩關(guān)節(jié)的模型圖如圖1所示。

圖1 肩關(guān)節(jié)的模型圖

該機(jī)構(gòu)由定平臺(tái)、動(dòng)平臺(tái)和連接兩者的二條支鏈組成。運(yùn)動(dòng)副均為回轉(zhuǎn)副，且各軸線匯交于O點(diǎn)。其中，軸線OB1與軸線OC1、軸線OA2與軸線OC2、軸線OC1與軸線OC2相互垂直。

肩關(guān)節(jié)的機(jī)構(gòu)簡圖如圖2所示。

圖2 肩關(guān)節(jié)的機(jī)構(gòu)簡圖α1—平面A1OZ和平面A2OZ所在平面的夾角，α1=90°；α2—Z軸與軸線OA1的夾角，α2=60°；α3—軸線OA1與軸線OB1的夾角，α3=70°；d1—回轉(zhuǎn)副C1、C2與機(jī)構(gòu)中心O點(diǎn)的距離，d1=70 mm；d2—回轉(zhuǎn)副B1與機(jī)構(gòu)中心O點(diǎn)的距離，d2=90 mm；d2—回轉(zhuǎn)副A1、A2與機(jī)構(gòu)中心O點(diǎn)的距離，d2=185 mm

本研究建立定坐標(biāo)系{O-XYZ}原點(diǎn)與機(jī)構(gòu)中心O重合，Z軸沿OC1軸線方向，Y軸沿OA2軸線方向，X軸滿足右手螺旋定則。建立動(dòng)坐標(biāo)系{O-X1Y1Z1}原點(diǎn)與機(jī)構(gòu)中心O重合，Z1軸沿OC1軸線方向，X1軸沿OC2軸線方向，Y1軸滿足右手螺旋定則。當(dāng)定坐標(biāo)系和動(dòng)坐標(biāo)系重合時(shí)，該機(jī)構(gòu)處于初始位姿。

本研究采用Z-Y-X型的歐拉角描述動(dòng)平臺(tái)的姿態(tài)，動(dòng)平臺(tái)繞Z1軸旋轉(zhuǎn)角度為α，繞Y1軸旋轉(zhuǎn)角度為β，繞X1軸旋轉(zhuǎn)角度為γ，其中α=0 rad。關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)器1輸入角度為θ1，關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)器2輸入角度為θ2。

本研究根據(jù)肩關(guān)節(jié)機(jī)構(gòu)的幾何關(guān)系，建立矢量約束方程，化簡可得位置反解：

(1)

式中：

其中，cαi=cosai，sai=sinai，(i=1,2,3)。

將式(1)兩邊對(duì)于時(shí)間t求導(dǎo)，速度反解可得：

(2)

2 肩關(guān)節(jié)機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)分析

為了便于建立動(dòng)力學(xué)模型，本研究將肩關(guān)節(jié)機(jī)構(gòu)的各連桿和動(dòng)平臺(tái)均視為剛體，同時(shí)忽略各運(yùn)動(dòng)副之間的摩擦力和軸類零件的回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)?？紤]慣性力、外力作用，建立肩關(guān)節(jié)機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)模型。

2.1 慣性力分析

本研究采用拉格朗日方程計(jì)算肩關(guān)節(jié)機(jī)構(gòu)的慣性力，將系統(tǒng)慣性力轉(zhuǎn)換到廣義歐拉坐標(biāo)q=[γβ]T上。其計(jì)算過程如下：

肩關(guān)節(jié)機(jī)構(gòu)的動(dòng)能E包括E1和E2(其中：E1—平臺(tái)的動(dòng)能；E2—各連桿的動(dòng)能)。

(3)

Ip表示過質(zhì)心坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量矩陣，即：

Ip=RIHRT

(4)

式中：R—?jiǎng)悠脚_(tái)歐拉角所對(duì)應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矩陣。

綜合式(3,4)，可得動(dòng)能E1:

(5)

動(dòng)能E2的求解如下：

(6)

式中：I1—連桿A1B1的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；I2—連桿A2C2的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；I3—連桿B1C1的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

則肩關(guān)節(jié)機(jī)構(gòu)的動(dòng)能為：

(7)

設(shè)定坐標(biāo)系中OXY面為重力零勢(shì)能面，由于動(dòng)平臺(tái)的質(zhì)心與機(jī)構(gòu)中心O點(diǎn)重合，且動(dòng)平臺(tái)始終繞質(zhì)心旋轉(zhuǎn)，動(dòng)平臺(tái)勢(shì)能變化為零。則機(jī)構(gòu)的總勢(shì)能V為：

(8)

式中：zi—各連桿質(zhì)心坐標(biāo)的Z軸值；mi—各連桿的質(zhì)量。

建立拉格朗日方程可得：

(9)

式中：L=E-V，F(xiàn)I—慣性力。

將式(7，8)代入上式，化簡可得：

(10)

2.2 外力分析

設(shè)作用在動(dòng)平臺(tái)上的外力為F，均可簡化為過旋轉(zhuǎn)中心O點(diǎn)的力矩Ms：

Ms=F×r

(11)

式中：r—外力F作用點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心O點(diǎn)的矢量。

2.3 動(dòng)力學(xué)模型建立

綜合式(10，11)，根據(jù)虛功原理，將慣性力FI和外力Ms映射到相應(yīng)關(guān)節(jié)上的驅(qū)動(dòng)力矩：

(12)

式中：JT—力雅克比矩陣。

根據(jù)式(12)建立的動(dòng)力學(xué)模型可知，肩關(guān)節(jié)機(jī)構(gòu)驅(qū)動(dòng)力與慣性力和外力兩者有關(guān)。其中，慣性力大小受速度、加速度和姿態(tài)影響，而外力僅與姿態(tài)有關(guān)。

2.4 動(dòng)力學(xué)仿真驗(yàn)證

給出肩關(guān)節(jié)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1所示。

表1 肩關(guān)節(jié)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)

外力F=[1 1]N·m，并給出一組動(dòng)平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)方程：

(13)

基于上述動(dòng)力學(xué)模型，將肩關(guān)節(jié)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)和運(yùn)動(dòng)方程代入式(12)中，并利用Matlab軟件計(jì)算得到肩關(guān)節(jié)機(jī)構(gòu)的關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力矩。

為了驗(yàn)證動(dòng)力學(xué)模型的正確性，本研究利用ADAMS動(dòng)力學(xué)仿真軟件對(duì)肩關(guān)節(jié)機(jī)構(gòu)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)仿真，且添加各類約束條件和外力，使得仿真與理論計(jì)算的環(huán)境保持一致。筆者將仿真得到的驅(qū)動(dòng)力矩與理論計(jì)算值進(jìn)行比較，如圖3所示。

圖3 關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力矩理論值與仿真值

通過對(duì)比可得：驅(qū)動(dòng)力矩的理論值與仿真值兩者基本相等，故驗(yàn)證了動(dòng)力學(xué)模型的正確性。

3 肩關(guān)節(jié)機(jī)構(gòu)的性能分析

3.1 動(dòng)力學(xué)性能評(píng)價(jià)指標(biāo)

肩關(guān)節(jié)機(jī)構(gòu)不同的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)會(huì)影響驅(qū)動(dòng)力的大小，其中，速度、加速度會(huì)直接影響機(jī)構(gòu)慣性力的大小。而肩關(guān)節(jié)機(jī)構(gòu)一般作低速運(yùn)動(dòng)，速度較小，故忽略速度對(duì)慣性力的影響，只考慮加速度對(duì)慣性力的影響，因此式(10)可簡化為：

(14)

(15)

將式(15)求導(dǎo)，化簡可得：

(16)

式中：λ—矩陣DTD的特征值。

由式(16)可知：在工作空間W內(nèi)，λ隨機(jī)構(gòu)姿態(tài)變化而變化，且λ值越小表明由加速度引起的慣性力越小，因此將km作為動(dòng)力學(xué)傳遞性能評(píng)價(jià)指標(biāo)：

(17)

km數(shù)值越大，表示肩關(guān)節(jié)機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)傳遞性能越好，則km在工作空間W的全域值為：

(18)

且肩關(guān)節(jié)機(jī)構(gòu)存在多個(gè)輸入力矩，其差值越大則動(dòng)力學(xué)傳遞性能越差，因此將kmc作為動(dòng)力學(xué)傳遞均衡性能評(píng)價(jià)指標(biāo)：

(19)

kmc數(shù)值越接近于1，表示肩關(guān)節(jié)機(jī)構(gòu)的輸入力矩偏差越小，其動(dòng)力學(xué)傳遞均衡性能越好，則kmc在工作空間W的全域值為：

(20)

3.2 力映射性能評(píng)價(jià)指標(biāo)

由動(dòng)力學(xué)模型可知，慣性力和外力通過虛功原理，將其映射為關(guān)節(jié)的驅(qū)動(dòng)力矩。其中，力雅克比矩陣JT代表該映射關(guān)系，其值受機(jī)構(gòu)姿態(tài)影響，即：

τ=JTτF

(21)

由于在工作空間W內(nèi)，rank(J)=2，力雅克比矩陣JT可以奇異值分解，存在正交陣U∈R2×2和V∈R2×2，使：

JT=UΛV

(22)

設(shè)歐拉坐標(biāo)系上的廣義力τF為單位向量可得：

τTU(ΛΛT)-1UTτ=1

(23)

當(dāng)廣義力τF為單位矩陣時(shí)，關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力矩分布在橢圓上；σi值越大，表明廣義力轉(zhuǎn)換到關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力矩的效率越高，因此將kJ作為力傳遞性能評(píng)價(jià)指標(biāo)[17-20]：

kJ=σ2

(24)

kJ數(shù)值越大，表示肩關(guān)節(jié)機(jī)構(gòu)的力傳遞性能越好。則kJ在工作空間W的全域值為：

(25)

當(dāng)σ1=σ2時(shí)，關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力矩分布在圓上，關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力矩之間的差值最小，因此將kJc作為力傳遞均衡性能評(píng)價(jià)指標(biāo)：

(26)

kJc數(shù)值越接近于1，表示肩關(guān)節(jié)機(jī)構(gòu)的力傳遞均衡性能越好，關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力矩之間的偏差越小。則kJc在工作空間W的全域值為：

(27)

4 肩關(guān)節(jié)機(jī)構(gòu)的動(dòng)載協(xié)調(diào)分配優(yōu)化

在穩(wěn)定外載荷作用下，要求肩關(guān)節(jié)機(jī)構(gòu)從起點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)，但由于其運(yùn)動(dòng)軌跡和運(yùn)動(dòng)狀況的不確定性，存在多組運(yùn)動(dòng)方式。本文先依據(jù)性能指標(biāo)得到性能最優(yōu)的軌跡，再通過遺傳算法優(yōu)化求解最優(yōu)廣義時(shí)間，使得肩關(guān)節(jié)機(jī)構(gòu)在能耗最低、時(shí)間最快、性能最好的情況下完成運(yùn)動(dòng)。

4.1 性能最優(yōu)路徑規(guī)劃

為綜合考慮動(dòng)力學(xué)性能和力映射性能因素，筆者采用加權(quán)求和法，將上述多性能指標(biāo)轉(zhuǎn)換成單性能指標(biāo)。

通過式(18，20，25，27)，分別求解出各性能指標(biāo)在全域范圍內(nèi)最大值kimax和最小值kimin，則不同姿態(tài)下的各性能指標(biāo)可表示為：

(28)

式中：Ki—性能指標(biāo)在全域變換范圍內(nèi)的比值，Ki值越大，機(jī)構(gòu)性能越好。

綜合考慮上述4個(gè)性能指標(biāo)的影響，構(gòu)造綜合性能指標(biāo)函數(shù)：

(29)

式中：δi—目標(biāo)比重系數(shù)。

δi值越大表示該衡量指標(biāo)越重要。本文δi均等于1，將各性能指標(biāo)視為相同比重，且Kmin值越小，機(jī)構(gòu)的綜合性能越好。

給定機(jī)構(gòu)起點(diǎn)q0=[0 0]T，終點(diǎn)qt=[-1.5 1]T，在起點(diǎn)至終點(diǎn)區(qū)域，均勻采樣n個(gè)控制點(diǎn)(每個(gè)控制點(diǎn)代表一種運(yùn)動(dòng)姿態(tài)，即動(dòng)平臺(tái)運(yùn)動(dòng)經(jīng)過的點(diǎn))，且每個(gè)控制點(diǎn)對(duì)應(yīng)一個(gè)綜合性能指標(biāo)值。從起點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)，建立路徑規(guī)則。從起點(diǎn)出發(fā)，可以到達(dá)相鄰3個(gè)控制點(diǎn)(控制點(diǎn)1、控制點(diǎn)2和控制點(diǎn)4)；之后，再從某一個(gè)控制點(diǎn)出發(fā)，可以達(dá)到下一個(gè)相鄰的3個(gè)控制點(diǎn)；以此類推，最終達(dá)到終點(diǎn)。

路徑規(guī)則如圖4所示。

圖4 路徑規(guī)則

采用上述方式，可以得到數(shù)個(gè)由控制點(diǎn)組成的路徑。根據(jù)式(29)，筆者將一條路徑上所有控制點(diǎn)的綜合性能指標(biāo)值求和，代表該條路徑的綜合性能。采用Dijkstra算法優(yōu)化求解出從起點(diǎn)到終點(diǎn)的最優(yōu)路徑，滿足路徑最短、綜合性能最好。

性能最優(yōu)路徑如圖5所示。

圖5 性能最優(yōu)路徑

由于規(guī)劃出的路徑為折線，無法實(shí)現(xiàn)光滑軌跡運(yùn)動(dòng)，基于上述性能最優(yōu)路徑的結(jié)果，本研究采用B樣條曲線擬合方法構(gòu)造動(dòng)平臺(tái)運(yùn)動(dòng)軌跡，并得到動(dòng)平臺(tái)運(yùn)動(dòng)方程：

(30)

式中：u—路徑中第u個(gè)控制點(diǎn)，u∈[0，15]。

4.2 廣義時(shí)間優(yōu)化

根據(jù)上述建立的性能最優(yōu)軌跡可知，動(dòng)平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)軌跡與參數(shù)u有關(guān)。通過建立參數(shù)u與時(shí)間t的函數(shù)，可以進(jìn)一步確定機(jī)構(gòu)的速度特性。因此，建立參數(shù)u關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)：

u(t)=a0+a1t+a2t2+a3t3+a4t4

(31)

式中：ai—時(shí)間函數(shù)的系數(shù)。

由于機(jī)構(gòu)需要滿足起點(diǎn)和終點(diǎn)的位置約束條件，且在起點(diǎn)和終點(diǎn)處速度為零，故建立時(shí)間約束方程：

(32)

式中：u0=0，u1=15；T—機(jī)構(gòu)完成運(yùn)動(dòng)的時(shí)間。

同時(shí)，考慮肩關(guān)節(jié)機(jī)構(gòu)的關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)器輸出速度和力矩存在最大值，故建立關(guān)節(jié)輸出約束方程：

(33)

為實(shí)現(xiàn)肩關(guān)節(jié)機(jī)構(gòu)在最短時(shí)間內(nèi)完成運(yùn)動(dòng)，建立時(shí)間優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)：

(34)

機(jī)構(gòu)在運(yùn)動(dòng)過程中，可能存在時(shí)間很短而能耗很大或者關(guān)節(jié)力矩變化很大的情況，屬于不理想的工作狀況。因此，需要考慮能耗和關(guān)節(jié)力矩因素，故建立能耗優(yōu)化目標(biāo)和力矩波動(dòng)優(yōu)化目標(biāo)：

(35)

(36)

式中：Fτ—力矩波動(dòng)優(yōu)化目標(biāo)，為機(jī)構(gòu)關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)的力矩變化率，衡量關(guān)節(jié)力矩的波動(dòng)情況。

綜合考慮時(shí)間、能耗和力矩波動(dòng)，建立廣義時(shí)間優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)：

(37)

則優(yōu)化過程如下：首先根據(jù)式(30，31)計(jì)算出動(dòng)平臺(tái)的角度和角速度；其次通過式(1，2)得到關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)角度和角速度；然后根據(jù)式(13)動(dòng)力學(xué)模型計(jì)算出關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力矩；通過式(37)得到廣義時(shí)間優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)；采用遺傳算法對(duì)時(shí)間函數(shù)式(31)進(jìn)行優(yōu)化求解，得到最優(yōu)的廣義時(shí)間。設(shè)定種群個(gè)數(shù)為100，基因數(shù)為80，迭代代數(shù)為110，變異概率為0.1，交叉概率為0.5。

廣義時(shí)間優(yōu)化結(jié)果如圖6所示。

圖6 廣義時(shí)間優(yōu)化結(jié)果

由圖6可知：經(jīng)過數(shù)代運(yùn)算后收斂，得到優(yōu)化結(jié)果為：時(shí)間T=2.03 s；時(shí)間函數(shù)系數(shù)a0=0，a1=0，a2=8.85，a3=-1.58，a4=-0.48。將優(yōu)化結(jié)果代入式(31)得到時(shí)間函數(shù)，并根據(jù)式(1，2，12，30)，通過Matlab軟件計(jì)算，得到優(yōu)化后關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力矩、關(guān)節(jié)角速度。

關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力矩如圖7所示。

圖7 關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力矩

關(guān)節(jié)角速度如圖8所示。

圖8 關(guān)節(jié)角速度

由圖7和圖8可知：關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力矩和關(guān)節(jié)角速度均為光滑曲線，不存在突變現(xiàn)象，說明優(yōu)化后，關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)器能夠?qū)崿F(xiàn)平穩(wěn)運(yùn)行。在起點(diǎn)和終點(diǎn)時(shí)刻，關(guān)節(jié)輸出角速度均接近于零，符合實(shí)際運(yùn)動(dòng)狀況。兩個(gè)關(guān)節(jié)的驅(qū)動(dòng)力矩和角速度值均處于同一數(shù)量級(jí)，數(shù)值大小接近，說明該優(yōu)化方法能夠把機(jī)構(gòu)慣性力和外力合理地分配到兩個(gè)關(guān)節(jié)上，說明采用上述動(dòng)載協(xié)調(diào)分配優(yōu)化方法，肩關(guān)節(jié)機(jī)構(gòu)能夠在時(shí)間最短、能耗最低、性能最好的條件下完成運(yùn)動(dòng)。

5 結(jié)束語

本研究結(jié)合拉格朗日方程和虛功原理，建立了肩關(guān)節(jié)機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)模型，并用動(dòng)力學(xué)仿真軟件驗(yàn)證了上述動(dòng)力學(xué)模型的正確性；然后基于動(dòng)力學(xué)模型，構(gòu)建了動(dòng)力學(xué)性能指標(biāo)和力映射性能指標(biāo)，采用加權(quán)求和法將各性能指標(biāo)轉(zhuǎn)換為綜合性能指標(biāo)，并利用Dijkstra算法求解得到綜合性能最優(yōu)的軌跡；最后基于性能最優(yōu)軌跡，考慮時(shí)間、能耗和力矩波動(dòng)3個(gè)因素，建立廣義時(shí)間優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，采用遺傳算法優(yōu)化時(shí)間函數(shù)，得到最優(yōu)的廣義時(shí)間。

通過上述動(dòng)載協(xié)調(diào)分配優(yōu)化，使得肩關(guān)節(jié)機(jī)構(gòu)能夠在時(shí)間最短、能耗最小、性能最好的條件下完成運(yùn)動(dòng)。