王永昭

(1.安陽師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，河南 安陽 455000；2.天津大學(xué) 管理與經(jīng)濟(jì)學(xué)部，天津 300072)

切換系統(tǒng)為動態(tài)混雜系統(tǒng)中的一種，大量出現(xiàn)在實際模型中，如無人機路徑控制、供電系統(tǒng)、人工智能和機器人語言切換系統(tǒng)等。由于近些年來在工業(yè)應(yīng)用上的增加，引起了國內(nèi)外科研工作者的廣泛關(guān)注[1-4]。能控性、穩(wěn)定性是系統(tǒng)正常運轉(zhuǎn)的重要指標(biāo)，目前關(guān)于切換系統(tǒng)的研究，主要集中在穩(wěn)定性和能控性方面，隨著研究的不斷深入，他們已經(jīng)取得了一些有價值的成果[5-7]。由于切換系統(tǒng)本身較復(fù)雜，不可避免的受一些因素影響，例如時滯、隨機擾動、非線性項以及中立項等。然而，在眾多研究文獻(xiàn)中對于帶有區(qū)間時滯的中立切換系統(tǒng)的鎮(zhèn)定及反饋控制器設(shè)計的研究較少，所以對該類切換系統(tǒng)的研究很有價值。

本文針對區(qū)間時滯切換系統(tǒng)研究其穩(wěn)定性。首先給出時滯以及時滯的上下界，構(gòu)造Lyapunov-Krasovskii函數(shù)，利用平均駐留時間方法找到切換規(guī)律，得到了帶有區(qū)間時變時滯中立非線性切換系統(tǒng)指數(shù)鎮(zhèn)定的充分條件,最后運用Schur補引理，反饋控制器進(jìn)一步被設(shè)計出，通過數(shù)值例進(jìn)行仿真。

1 問題描述

考慮帶有區(qū)間時滯的非線性中立切換系統(tǒng)

(1)

其中u(t)∈Rm為控制輸入，x(t)∈Rn為狀態(tài)，φ(s)∈Rn為初始條件，A,B1i,B2i,Ci(i∈L)為常矩陣，切換信號σ(t):[0,]→L={1,2…,n}為分段連續(xù)函數(shù),n為子系統(tǒng)數(shù)，t0是切換初始時刻,tk為第k次切換時刻,{(t0,σ(t0)),(t1,σ(t1)),…,(tk,σ(tk)),…}為切換序列，時滯函數(shù)τ(t)滿足

τmτ(t)d<1。

(2)

非線性擾動函數(shù)為f(t,x(t-τ(t)))且滿足

‖f(t,x(t-τ(t)))‖ε‖(x(t-τ(t)))‖,

式中ε為大于0的常數(shù)。

對于系統(tǒng)(1),我們考慮形式為

u(t)=Kσ(t)x(t)

(3)

的反饋控制函數(shù),其中Ki,i∈L為反饋增益矩陣。

(4)

定義1[7]對任意的t2>t1≥0,記Nσ(t1,t2)為切換信號σ(t)在區(qū)間(t1,t2)上的切換次數(shù),給定N0≥0,τa≥0,如果

Nσ(t1,t2)N0+(t2-t1)/τa

(5)

那么τa稱為平均駐留時間,一般取N0=0。

定義2[8]如果閉環(huán)系統(tǒng)(4)的解滿足

引理1(Schur補引理)[9]給定對稱矩陣S1,S2,S3且

當(dāng)且僅當(dāng)

引理2[10]令D,S和W為適當(dāng)維數(shù)的實矩陣且W>0,那么對任意適當(dāng)維數(shù)的非零向量x,y,有下式成立

2xTDSyxTDWDTx+yTSTW-1Sy。

假設(shè)1假設(shè)ρ(A)<1,ρ(A)為矩陣A的譜半徑。

2 主要結(jié)果

定理1對給定的正常數(shù)α和β≥1,若存在正標(biāo)量ε和對稱正定矩陣Pi,Qi,Ri,使得以下矩陣不等式對任意的i,j∈L,i≠j成立:

PiβPj,QiβQj,RiβRj?i,j∈L,

(6)

(7)

其中

證明：考慮Lyapunov-Krasovskii函數(shù)

(8)

其中

沿著系統(tǒng)的軌線求導(dǎo),可以得到

因此,我們可得

-(1-d)e-ατMxT(t-τ(t))Qix(t-τ(t))-2[Ax(t-τ(t))]TPiEi(T)

由于‖f(x(t-τ(t),t))‖ε‖(x(t-τ(t)))‖,則我們可以得到

利用引理2可得

-2[Ax(t-τ(t))]TPif(t，x(t-τ(t)))≤xT(t-τ(t))ATPiAx(t-τ(t))+fT(t，x(t-τ(t)))Pif(t，x(t-τ(t)))。

聯(lián)立以上三式式可得

-fT(t,x(t-τ(t)))(Pi-I)f(t,x(t-τ(t)))。

令ζ(t)=[xT(t)xT(t-τ(t))fT(t,x(t-τ(t)))]T。

其中ψi由(7)式給出。因此有

當(dāng)t∈[tk,tk+1)時，上式兩邊取從tk到t的積分,我們可得

V(t)=Vσ(t)(t)e-α(t-tk)Vσ(tk)(tk),tkt

由上式和k=Nσ(t,t0)(t-t0)/τa,我們得到下面的結(jié)果

因此，可得

其中

聯(lián)立以上兩式式可得

由定義2可得,閉環(huán)系統(tǒng)(4)為指數(shù)鎮(zhèn)定的。

定理2對于給定的正常數(shù)α和β≥1,如果存在正常數(shù)ε,對稱正定矩陣Xi,Gi,Oi,和矩陣Yi滿足下面的矩陣不等式:

XjμXi,GjμGi,OjμOi, ?i,j∈L,i≠j,

(9)

其中

解出。

證明：由于Gi>0,Oi>0,可以得到

(Gi-Xi)TG-1i(Gi-Xi)≥0,

有

(10)

其中

3 數(shù)值仿真

考慮系統(tǒng)(1)的兩個子系統(tǒng),參數(shù)如下：

取α=1.35,β=1.6,d=0.3,τM=0.5,ε=0.4。

那么可得

利用定理2可得

圖1 系統(tǒng)狀態(tài)軌線Fig.1 State response of the system

控制器收益為：

假設(shè)系統(tǒng)的初態(tài)為x(0)=(-1 1)T,利用Matlab仿真可得閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)軌線圖，見圖1。

4 結(jié) 論

本文主要研究了區(qū)間時變時滯的非線性切換系統(tǒng)的指數(shù)穩(wěn)定性。利用時滯以及時滯的界建立Lyapunov-Krasovskii函數(shù)，得到使切換系統(tǒng)鎮(zhèn)定的充分條件,運用Schur補引理，進(jìn)而設(shè)計出該系統(tǒng)的控制器,最后給出數(shù)值例,檢驗所獲得結(jié)果的有效性。