于 瀾，張 淼，張 欣

(1.長春工程學(xué)院理學(xué)院，長春130012； 2.長春工程學(xué)院電氣與信息工程學(xué)院，長春 130012)

0 引言

設(shè)計(jì)參數(shù)取某一數(shù)值時(shí)，系統(tǒng)的狀態(tài)可能為重頻、單頻或密頻，而設(shè)計(jì)參數(shù)發(fā)生變化時(shí)，預(yù)測系統(tǒng)的變化狀態(tài)及程度是非常必要的。例如，研究飛機(jī)或其他航天器等擁有大量柔性子結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)時(shí)，它們的結(jié)構(gòu)參數(shù)很可能因?yàn)榄h(huán)境等因素的變化而產(chǎn)生微小變化。為了更清晰直觀地研究這些變化的特點(diǎn)及規(guī)律，文獻(xiàn)[1-2]中首先提出了特征曲線法，文獻(xiàn)[3-4]利用特征曲線法在大型復(fù)雜阻尼結(jié)構(gòu)中進(jìn)行了振動控制分析和結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)研究，文獻(xiàn)[5-6]分析了模態(tài)跳躍現(xiàn)象并解釋了其原因。據(jù)此，研究者可以更為靈活地利用實(shí)模態(tài)參數(shù)及其各種靈敏度，為模型修正、結(jié)構(gòu)優(yōu)化及損傷識別等技術(shù)在工程應(yīng)用中的實(shí)現(xiàn)提供幫助。近年來靈敏度分析的算法公式得到充分的發(fā)展，主要有直接法[7-8]、代數(shù)法[9-10]和模態(tài)法[11-12]，它們所求得的靈敏度的正確性在其應(yīng)用范圍內(nèi)一般都能得到很好的驗(yàn)證，但是靈敏度的唯一性問題卻從未得到重視。本文將討論在兩種不同的規(guī)范化條件下，由兩種最常見的代數(shù)法和模態(tài)法公式計(jì)算出來的實(shí)頻率的靈敏度的唯一性問題。

對N自由度的線性離散振動系統(tǒng)的運(yùn)動方程為：

(1)

式中M，C和K∈RN×N分別為系統(tǒng)的質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣。實(shí)頻率與實(shí)模態(tài)對(λi，ui)(i=1，2，…，N)滿足方程

(K+λiM)ui=0 。

(2)

1 實(shí)頻率的一階靈敏度分析

引入設(shè)計(jì)參數(shù)向量b=(b1，…，bq)T，相應(yīng)的方程(2)應(yīng)為

K(b)u(b)+λ(b)M(b)u(b)=0，

為了討論方便，以下我們?nèi)杂洖樵瓉淼男问娇紤]靈敏度問題。

1.1 Rusdisill和 Chu的方法[13]

此方法是解一個(gè)帶有加邊條件的非對稱的線性代數(shù)方程組，它所要求的實(shí)模態(tài)滿足規(guī)范化條件為

(3)

式中φi=aiui，ai為規(guī)范化常數(shù)。那么由式(2)可得

(K+λiM)φi=0。

(4)

定義1 第i(i=1，…，N)階實(shí)模態(tài)向量φi關(guān)于第j(j=1，…，q)個(gè)設(shè)計(jì)參數(shù)bj的一階靈敏度為

定義2 第i(i=1，…，N)階實(shí)頻率λi關(guān)于第j(j=1，…，q)個(gè)設(shè)計(jì)參數(shù)bj的一階靈敏度為

對式(4)中的第j個(gè)參數(shù)bj(j=1，…，q)求導(dǎo)得一階靈敏度的支配方程為

(K+λiM)φi，j+λi，jMφi=-(K，j+λiM，j)φi，

(5)

然后對規(guī)范化條件式(3)兩邊對第j個(gè)參數(shù)bj(j=1，…，q)求導(dǎo)得

(6)

將式(5)和式(7)聯(lián)立得

(7)

解此方程組即可得實(shí)模態(tài)參數(shù)φi和λi對第j個(gè)參數(shù)bjj=1，…，q的一階靈敏度φi，j和λi，j。

1.2 Fox and Kapoor的方法[10]

此方法是解一個(gè)關(guān)于線性組合展開式系數(shù)的方程組[14]，它所要求的實(shí)模態(tài)滿足規(guī)范化條件為

(8)

式中φi=diui，di為規(guī)范化常數(shù)。那么由式(2)可得

K+λiMφi=0。

(9)

對單頻對稱系統(tǒng)來說，由于不同的實(shí)頻率所對應(yīng)的實(shí)模態(tài)向量φ1，…，φN線性無關(guān)，可作為N維空間的基底，因此N維實(shí)模態(tài)向量的一階靈敏度向量φi，j(j=1，…，q)一定可以表示為基底的某一線性組合，即

(10)

(11)

其中

2 實(shí)頻率的一階靈敏度的唯一性

從理論上講，對單頻系統(tǒng)來說，在設(shè)計(jì)參數(shù)取可行域中的任意值時(shí)，所對應(yīng)的系統(tǒng)的實(shí)頻率都是唯一的，與規(guī)范化方法無關(guān)，因此，實(shí)頻率的靈敏度也是唯一的。

在上文中式(4)和(9)中的實(shí)模態(tài)是不一樣的，因?yàn)樗鼈兯褂玫囊?guī)范化條件分別為式(3)和式(8)，所以它們對應(yīng)的模態(tài)靈敏度是不一樣的，觀察兩種規(guī)范化條件下計(jì)算實(shí)頻率靈敏度的式(7)和(11)，它們所使用的實(shí)模態(tài)也是在不同規(guī)范化條件下的實(shí)模態(tài)，那么實(shí)頻率的靈敏度能否保持唯一性？下面我們用兩個(gè)數(shù)值算例來回答這個(gè)問題。

3 數(shù)值算例

3.1 數(shù)值算例1

文獻(xiàn)[15]中提供了一個(gè)阻尼彈簧質(zhì)量系統(tǒng)，如圖1所示。

圖1 3-DOF彈簧質(zhì)量系統(tǒng)

本文取k2作為設(shè)計(jì)參數(shù)。首先將k2從80 N/m變化至120 N/m，利用式(2)每隔5 N/m作為節(jié)點(diǎn)采樣系統(tǒng)實(shí)頻率λ1、λ2和λ3的數(shù)據(jù)，根據(jù)特征曲線法繪制這些實(shí)頻率的擬合曲線圖，如圖2所示。

圖2 實(shí)頻率的特征曲線圖

觀察圖2可見，各階實(shí)頻率的分區(qū)良好，沒有與其他實(shí)頻率重復(fù)的現(xiàn)象。利用式(7)在各節(jié)點(diǎn)處計(jì)算當(dāng)前系統(tǒng)的各階實(shí)頻率的一階靈敏度列于表1的第3、5和7列，利用式(11)在各節(jié)點(diǎn)處計(jì)算當(dāng)前系統(tǒng)的各階實(shí)頻率的一階靈敏度列于表1的第2、4和6列。

由表1可知，表中第2列和第3列，第4列和第5列，以及第6列和第7列的數(shù)值完全相同，因此，即使代數(shù)法公式(7)和模態(tài)法公式(11)使用的是不同規(guī)范化條件下的實(shí)模態(tài)來計(jì)算實(shí)頻率靈敏度，它們的數(shù)值也是唯一的，因此，實(shí)頻率的靈敏度是具有唯一性的。

表1 模態(tài)法和代數(shù)法計(jì)算各階實(shí)頻率的一階靈敏度對比值

3.2 數(shù)值算例2

考慮文獻(xiàn)[11]給出的一個(gè)5自由度的非比例阻尼質(zhì)量彈簧系統(tǒng)，設(shè)只在垂直方向上產(chǎn)生振動，如圖3所示。

圖3 5-DOF非比例阻尼系統(tǒng)

本文取設(shè)計(jì)參數(shù)為k5，從960 N/m至1 040 N/m，每隔10 N/m按式(2)采樣實(shí)頻率λ1，…，λ5，根據(jù)特征曲線法繪制這些實(shí)頻率的擬合曲線圖，由于前三階實(shí)頻率的分區(qū)良好，沒有與其他實(shí)頻率發(fā)生重復(fù)的現(xiàn)象，但第4和第5階實(shí)頻率卻有重復(fù)現(xiàn)象發(fā)生，如圖4所示。

圖4 第4階和第5階實(shí)頻率的特征曲線圖

利用式(7)在各節(jié)點(diǎn)處計(jì)算當(dāng)前系統(tǒng)的前三階實(shí)頻率的一階靈敏度列于表2的第3、5和7列，利用式(11)在各節(jié)點(diǎn)處計(jì)算當(dāng)前系統(tǒng)的前三階實(shí)頻率的一階靈敏度列于表2的第2、4和6列。需說明的是，節(jié)點(diǎn)不包括實(shí)頻率重復(fù)的那個(gè)節(jié)點(diǎn)，即k5=1 000。

表2 模態(tài)法和代數(shù)法計(jì)算前三階實(shí)頻率的一階靈敏度對比值

由表2數(shù)據(jù)可知，第2和3列，第4和5列，第6和7列的數(shù)值完全相同，因此可證明實(shí)頻率的靈敏度是具有唯一性的。