安徽省蕪湖市十二中學(xué) (241002)

金 奎

導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用是高考中考查的重點同時也是難點，下面總結(jié)近三年高考導(dǎo)數(shù)考查內(nèi)容和命題規(guī)律如下表

全國新課標(biāo)高考中常常把運用導(dǎo)數(shù)來解決函數(shù)的零點問題，下面我們討論運用導(dǎo)數(shù)來證明零點問題，這類問題往往需要構(gòu)造對稱函數(shù)來解決.運用導(dǎo)數(shù)解決零點問題旨在考查考生利用導(dǎo)數(shù)工具分析解決與函數(shù)有關(guān)的問題，解決這類問題非常困難，往往需要打破常規(guī)思路，運用所學(xué)的知識尋找合理的解題思路，巧妙構(gòu)造關(guān)于直線x=a對稱的函數(shù)來解決求值和證明問題.下面我們從2016年全國新課標(biāo)Ⅰ的導(dǎo)數(shù)題入手，進行問題探討分析，進行深度挖掘.

一、真題呈現(xiàn)，思路探析

例1 (2016年全國新課標(biāo)Ⅰ)已知函數(shù)f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有兩個零點x1,x2,證明：x1+x2<2.

圖1

構(gòu)造函數(shù)g(x)=f(2-x)=-xex+a(x-1)2,再令F(x)=f(x)-f(2-x)=(2x-2)ex(x>1)，易知當(dāng)x>1時，F(xiàn)(x)>0,不妨設(shè)x2>1>x1，若f(x2)=g(x3)=f(2-x1)=0,則x2

歸納總結(jié):從上述導(dǎo)數(shù)問題的求解可以發(fā)現(xiàn)采用將問題轉(zhuǎn)化為兩個分問題進行研究，首先通過導(dǎo)數(shù)研究原函數(shù)的圖像，得到關(guān)于x=1的對稱函數(shù)，從而構(gòu)造新的函數(shù)，使問題更為直接、簡單.下面我們將此類題型進行合理變形，深度挖掘.

二、試題銜接，探究再析

例2 (2018年山東濟南市高三一模)已知函數(shù)f(x)=ax-lnx(a∈R).

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

歸納總結(jié):上述的證明問題，我們通過巧妙的變形，深度挖掘，將問題轉(zhuǎn)化為例1的零點證明問題，首先通過導(dǎo)數(shù)研究原函數(shù)的圖像，得到關(guān)于x=a的對稱函數(shù)，從而構(gòu)造新的函數(shù)，使問題更為直接、簡單.當(dāng)然本題還可以用更加簡單的方法進行證明.

三、歸納總結(jié)，深度挖掘

例3 (2018年安徽省蕪湖市高三一模)已知函數(shù)f(x)=lnx-x-m(m<-2).

(2)設(shè)x1,x2是函數(shù)f(x)的兩個零點，且x1

(2)x1x2<1?lnx1+lnx2<0(令t=lnx)?t1+t2<0,令函數(shù)g(t)=-et+t-m有兩個零點為t1,t2,∵g′(t)=-et+1,易知函數(shù)g(t)在(-∞,0)為單增函數(shù)，在(0,+∞)為單減函數(shù),

令h(t)=g(-t)，則F(t)=h(t)-g(t)=

-e-t+et-2t(t>0),F′(t)=et+e-t-2≥0,∴F(t)在(0,+∞)為單增函數(shù)，故F(t)≥F(0)=0,當(dāng)g(t2)=h(t3),t2

運用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的零點是高考中的重要考點，求解時的巧妙變形，分析問題，將問題進行轉(zhuǎn)化，深度挖掘，并歸納總結(jié)成具體化的一類問題；在教學(xué)過程中采用探究的分析方式來轉(zhuǎn)化問題并不是無目的、無意識的，它是建立在學(xué)生充分掌握知識點、全面認識問題的基礎(chǔ)之上，這就要求學(xué)生在平時的學(xué)習(xí)備考中從基礎(chǔ)入手，圍繞教材，鞏固知識，深度挖掘，建立體系，有效提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).