張云飛 楊鄂川 李映輝?

(1.西南交通大學(xué) 力學(xué)與工程學(xué)院, 成都 610031) (2.重慶理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院, 重慶 400054)

引言

變截面梁在航空機(jī)械中有很多應(yīng)用,對其振動特性和響應(yīng)研究很多.Gupta等[1]用有限元法得到了截面直徑線性變化的圓截面梁固有頻率和模態(tài)；Heidebrecht[2]基于變截面梁振動方程用傅里葉級數(shù)法得到其固有頻率和模態(tài)；崔燦等[3]提出了快速計算變截面梁振動特性的半解析法；Ghafari[4]用多項式降階法得到旋轉(zhuǎn)復(fù)合材料梁的固有頻率.對粘彈性梁,楊曉東等[5]用多重尺度法研究了粘彈性變速運動梁的穩(wěn)定性；Martin等[6]用修正變分迭代法對粘彈性梁進(jìn)行分析,得到其振幅；Mahmood等[7]研究了粘彈性梁的非線性自由振動,得到阻尼對振幅的影響；Abolghasemi等[8]對不同傾角的旋轉(zhuǎn)粘彈性梁進(jìn)行研究,討論了吸引子的穩(wěn)定性；蔣寶坤等[9]對旋轉(zhuǎn)粘彈性夾層梁的非線性自由振動特性進(jìn)行了研究,得到其固有頻率和響應(yīng).劉金建等[10]研究了軸向運動功能梯度粘彈性梁橫向振動的穩(wěn)定性,討論了不同因素對穩(wěn)定性的影響.目前對變截面粘彈性旋轉(zhuǎn)梁的研究較少.Vinod等[11]提出了一種適用于有錐度的旋轉(zhuǎn)歐拉梁譜單元的計算公式,驗證了其正確性,并表明該單元在波傳播問題中有更好的收斂性.Zolkiewski[12]研究了承受橫向變載荷并且固定在剛性盤上的變截面梁的振動問題.朱由鋒等[13]用有限差分法對變截面旋轉(zhuǎn)梁的彎曲振動進(jìn)行了研究,得到其幅頻特性和相頻特性.本文將基于Kelvin-Voigt粘彈性本構(gòu),考慮幾何非線性建立其振動方程,研究其振動特性和參數(shù)振動,討論其參數(shù)振動的穩(wěn)定性.

1 數(shù)學(xué)模型

1.1 變截面粘彈性旋轉(zhuǎn)梁模型

圖1為高度隨長度線性變化的變截面粘彈性旋轉(zhuǎn)梁模型,剛性轉(zhuǎn)轂半徑R,梁左端高度a,右端高度為b,錐度Δ=b/a,長度l,寬度d,繞輪轂旋轉(zhuǎn)角速度Ω,材料彈性模量E,粘性系數(shù)η,密度ρ.

圖1 變截面粘彈性旋轉(zhuǎn)梁模型Fig.1 Rotating viscoelastic beam with variable cross-section

1.2 控制方程

僅考慮揮舞振動,旋轉(zhuǎn)梁平衡方程[9]:

M,xx-ρAw,tt+(Nw,x),x=0

(1)

式中,M為彎矩,w為y方向撓度,A為橫截面積,N為軸力,w,x和M,xx表示w和M對x的一階、二階偏導(dǎo)數(shù),位于x處橫截面積和慣性矩分別為:

對于粘彈性材料,用Kelvin-Voigt方程描述其本構(gòu)關(guān)系:

(2)

幾何非線性關(guān)系:

(3)

離截面x處離心力為:

(4)

軸力為:

N=N1+?Aσdydz

(5)

式(5)代入式(1)中得變截面粘彈性旋轉(zhuǎn)梁非線性振動方程:

ηIw,xxxxt+EIw,xxxx+2EI,xw,xxx+EI,xxw,xx+

EAw,xxw,x+ηA,xw,xtw,x+ηA(w,xxw,xt+w,xw,xxt)-

(6)

邊界條件為:

w(x,t)|x=0=w(x,t),x|x=0=0

w(x,t),xx|x=l=w(x,t),xxx|x=l=0

(7)

2 振動特性

方程(6)對應(yīng)的線性振動方程為:

ηIw,xxxxt+EIw,xxxx+2EI,xw,xxx+EI,xxw,xx+

ηI,xxw,xxt+2ηI,xw,xxxt+ρAw.tt+

ρΩ2A(R+x)w,x-(ρΩ2AR(l-x)+

(8)

設(shè):

(9)

其中,

Yi(x)= (cospix-coshpix)-

(10)

為滿足邊界條件的試函數(shù),qi(t)為廣義模態(tài)坐標(biāo),pi由方程(11)：

cosplcoshpl+1=0

(11)

確定,將方程(9)代入(8),基于Galerkin方法得：

(12)

式中M,C,K為廣義質(zhì)量,阻尼和剛度矩陣,其元素為：

(13)

3 參數(shù)振動

在方程(9)中,取N=1,代入(6)有：

(14)

設(shè)：

Ω=Ω0+εcos(ωt)

(15)

式(15)代入式(14)有：

(16)

式中,

用多尺度法求解方程(16).

假設(shè)：

q1=q0+εq2

=D02+ε2D12+2εD0D1

(17)

代入(16)中得：

ε0項

D02q0+k1q0=0

(18)

ε1項：

D02q2+k1q2= -c1D0q0-2D0D1q0-

k2q0cos(ωt)-d1q03-g1q03D0q0

(19)

設(shè)q0解的形式為：

(20)

并令：

ω=2ω0+εσ

(21)

將方程(20)、(21)代入到(19)得：

k2(A(T1)eiω0T0+

d1([A(T1)]3e3iω0T0+3[A(T1)]2·

g1(iω0[A(T1)]3e3iω0T0+

(22)

消除(22)式久期項得：

(23)

(24)

得到：

(25)

令γ=σT1-2β,

(26)

(27)

4 數(shù)值計算及討論

本節(jié)通過數(shù)值方法討論了梁的振動特性和幅頻響應(yīng),計算中相關(guān)參數(shù)如表1.

表1 材料參數(shù)Table 1 Material parameters

4.1 方法有效性驗證

為驗證本方法,計算其頻率并與有限元結(jié)果對比,有限元采用一維梁單元進(jìn)行模擬,數(shù)值計算中取l=2m,a=0.1m,b=0.05m,d=0.05m,當(dāng)模態(tài)階數(shù)取12時,頻率趨于穩(wěn)定.表2給出了輪轂半徑為0.1m,模態(tài)階數(shù)為12時有限元法(FEM)及本文方法得到的不同轉(zhuǎn)速下的前四階頻率.

表2 不同轉(zhuǎn)速下的頻率Table 2 Frequencies with various rotating speeds

可見有限元與本文方法有非常好的一致性,說明本文方法有效.

4.2 輪轂半徑和轉(zhuǎn)速對頻率的影響

圖2給出了轉(zhuǎn)速、錐度和輪轂半徑對一階頻率影響.

圖2 一階固有頻率隨轉(zhuǎn)速、錐度和輪轂半徑變化Fig.2 Development of first natural frequency with rotating speed, taper and radius of hub

可見,轉(zhuǎn)速增大,頻率增大,輪轂半徑增大,頻率增大,錐度增大,頻率減小.

4.3 幅頻響應(yīng)

圖3給出了輪轂半徑為0.1m,錐度為0.25,轉(zhuǎn)速為1r/s時的幅頻響應(yīng)曲線.圖中實線和虛線分別代表系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)和不穩(wěn)態(tài)響應(yīng).可見系統(tǒng)從左到右存在兩個分岔點,系統(tǒng)開始時只存在穩(wěn)定的平凡零解,當(dāng)?shù)竭_(dá)第一分岔點時,系統(tǒng)發(fā)生音叉分岔,平凡解穩(wěn)定性消失,出現(xiàn)一穩(wěn)定的非平凡解,到達(dá)下一分岔點時,不穩(wěn)定的平凡解變?yōu)榉€(wěn)定,同時分岔出一個不穩(wěn)定的非平凡解.

圖3 幅頻響應(yīng)曲線Fig.3 Amplitude-frequency response curves

4.4 參數(shù)對穩(wěn)定性的影響

圖4給出了轉(zhuǎn)速為1.0r/s,錐度為0.25,輪轂半徑為0.1m和0.7m時的幅頻響應(yīng)曲線.可見輪轂半徑增大,系統(tǒng)不穩(wěn)定域增大.

圖4 輪轂半徑對穩(wěn)定性影響Fig.4 Effect of hub radius on stability

圖5給出了輪轂半徑為0.1m,錐度為0.25,轉(zhuǎn)速為0.6r/s和1.2r/s時的幅頻響應(yīng).可見隨著轉(zhuǎn)速增加,系統(tǒng)不穩(wěn)定域增大,且使第一分岔點提前,第二分岔點延后.

圖5 轉(zhuǎn)速對穩(wěn)定性影響Fig.5 Effect of rotating speed on stability

圖6給出了輪轂半徑為0.1m,轉(zhuǎn)速為1r/s,錐度為0.25和0.15時的幅頻響應(yīng).可見隨著錐度的增大,系統(tǒng)不穩(wěn)定域減小.

圖6 錐度對穩(wěn)定性影響Fig.6 Effect of taper on stability

5 結(jié)論

本文研究了變截面粘彈性旋轉(zhuǎn)梁的振動特性和參數(shù)振動,得到了幅頻響應(yīng).討論了輪轂半徑和轉(zhuǎn)速對固有頻率和幅頻響應(yīng)的影響,結(jié)果表明參數(shù)振動不穩(wěn)定區(qū)域隨輪轂半徑、轉(zhuǎn)速的增大而增大,隨著錐度的增大而減小.