楊佳慧 張偉 襲安

(1.北京工業(yè)大學(xué) 機(jī)電學(xué)院, 北京 100124) (2.北京農(nóng)業(yè)職業(yè)學(xué)院, 北京 102208)

引言

實(shí)際工作環(huán)境中,飛行器機(jī)翼是復(fù)雜的非線性系統(tǒng),傳統(tǒng)分析方法是忽略系統(tǒng)控制方程中的非線性項(xiàng),利用線性系統(tǒng)近似描述工程問題,但在工程應(yīng)用中發(fā)現(xiàn),這樣的研究結(jié)果與實(shí)際相差甚遠(yuǎn),因此選擇合適的方法對其進(jìn)行研究是很重要的.對于大多數(shù)非線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)控制方程而言,由于非線性項(xiàng)的存在和復(fù)雜的邊界條件,使得求其精確解幾乎是不可能的,因此只能用數(shù)值方法或者是近似解析方法來研究.

攝動(dòng)方法就是近似解析方法的一種,它是重要的求解非線性方程的數(shù)學(xué)工具.多尺度法是攝動(dòng)法的一種,自20世紀(jì)60年代以來多尺度法經(jīng)過Nayfeh[1,2]等人的發(fā)展與完善,成為很有效的近似分析方法,已被廣泛的應(yīng)用于各種非線性問題的分析中.多尺度法的基本思想是根據(jù)變量的變化不同,來區(qū)分快慢時(shí)間尺度,將響應(yīng)的展開式考慮成為多個(gè)時(shí)間變量,即多個(gè)時(shí)間尺度的函數(shù),而不是單個(gè)時(shí)間變量的函數(shù).多尺度法具有很多優(yōu)點(diǎn),可以方便地處理多種類型的非線性系統(tǒng),它既能計(jì)算周期運(yùn)動(dòng)也能分析衰減振動(dòng),既能分析穩(wěn)態(tài)響應(yīng),也能用于非穩(wěn)態(tài)過程的研究中.

1998年Abe[3,4]分析了在四邊簡支矩形層合板受到諧波激勵(lì)時(shí)的非線性動(dòng)力學(xué),用多尺度法分析了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng),得到了激勵(lì)的振幅和線性固有頻率在三階Galerkin離散下的關(guān)系.2008年Hao[5]等人利用高階板殼理論和多尺度法研究了面內(nèi)激勵(lì)和橫向外激勵(lì)聯(lián)合作用下四邊簡支矩形功能梯度板的非線性動(dòng)力學(xué)行為.2009年Nejad[6]等人研究了粘彈性懸臂板的非線性振動(dòng)行為,利用多尺度和攝動(dòng)方法對系統(tǒng)進(jìn)行了分析,研究了系統(tǒng)的混沌運(yùn)動(dòng),分叉等現(xiàn)象.2013年陳建恩[7]等人應(yīng)用多尺度法得到了橫向載荷和面內(nèi)載荷聯(lián)合作用下四邊簡支點(diǎn)陣夾芯板的平均方程.通過數(shù)值方法研究了不同共振情況下點(diǎn)陣夾芯板的非線性振動(dòng)響應(yīng).2017年郭翔鷹[8]等人將機(jī)翼簡化為壓電纖維復(fù)合材料懸臂中厚殼模型,采用多尺度法得到極坐標(biāo)形式的平均方程.通過數(shù)值方法得到了中厚殼結(jié)構(gòu)的幅頻響應(yīng)曲線、分叉圖等.

以上文獻(xiàn)建立的動(dòng)力學(xué)模型多為簡支板模型,懸臂板較少,而壓電復(fù)合材料層合懸臂板模型未見.本文以飛行器機(jī)翼為工程背景,在推導(dǎo)出壓電復(fù)合材料懸臂板的無量綱非線性偏微分方程的基礎(chǔ)上,將系統(tǒng)離散為兩自由度的非線性常微分方程;運(yùn)用多尺度法進(jìn)行攝動(dòng)分析,推導(dǎo)出系統(tǒng)四維直角坐標(biāo)形式的平均方程;使用MATLAB軟件分析了橫向外激勵(lì)幅值和壓電參數(shù)項(xiàng)對復(fù)合材料懸臂板在主參數(shù)共振-1∶3內(nèi)共振情況下的非線性動(dòng)力學(xué)響應(yīng).

1 基本方程

將飛行器機(jī)翼簡化為復(fù)合材料層合懸臂板,建立力學(xué)模型如圖1所示.懸臂板由三層材料組成,中間為基底層,材料選用石墨/環(huán)氧(HT3/QY8911)樹脂,上下兩層為壓電薄膜(PVDF)層.懸臂板總的長、寬、厚分別為a,b,h,建立直角坐標(biāo)系在板的中面,OB方向?yàn)閤方向,OA方向?yàn)閥方向,板受橫向激勵(lì)F0+F1cos(Ω1t)和面內(nèi)激勵(lì)p0+p1cos(Ω2t)的作用.

圖1 復(fù)合材料層合壓電懸臂板的力學(xué)模型Fig.1 Mathematical model of a cantilevered piezoelectric plate

根據(jù)經(jīng)典板理論[9]及Hamilton原理,得內(nèi)力表示的壓電復(fù)合材料層合懸臂板的控制方程如下：

(1a)

(1b)

(1c)

式中：

(2)

(3)

壓電復(fù)合材料層合懸臂板內(nèi)力與應(yīng)變關(guān)系為:

(4)

其中,

(5)

式(5)中(Qij)k為第k層材料的剛度系數(shù).

將式(4)帶入到式(1)中,得到廣義位移表示的壓電復(fù)合材料層合懸臂板的控制方程如下：

(6a)

(6b)

(6c)

引入無量綱變換如下式：

(7)

(8a)

(8b)

(8c)

上式中系數(shù)的表達(dá)式見附錄.

利用Galerkin方法,采用懸臂梁和自由梁的模態(tài)函數(shù)的組合作為懸臂板的模態(tài)函數(shù)[10],系統(tǒng)第一、二階無量綱模態(tài)函數(shù)形式如下：

w0=w1(t)α1β1+w2(t)α1β2

(9)

式中u1(t)表示x方向的第一階振幅,v1(t)表示y方向的第一階振幅,w1(t),w2(t)分別表示橫向即z方向的第一、二階振幅,αi,βi的表達(dá)式如下：

α1=coshk1x-cosk1x-φ1(sinhk1x-sink1x)

β1=coshm1y+cosm1y-φ1(sinhm1y+sinm1y)

β2=coshm2y+cosm2y-φ2(sinhm2y+sinm2y)

(10)

忽略(8a)(8b)方程的所有慣性項(xiàng)和(8c)關(guān)于u0,v0的慣性項(xiàng),利用Galerkin方法,將(9)和(10)代入方程(8),得壓電復(fù)合材料層合懸臂板的兩自由度的非線性常微分方程如下：

q3w12w2+q4w22w1+q5w13+q6w23=f1cosΩ1t

(11a)

r3w22w1+r4w12w2+r5w23+r6w13=f2cosΩ1t

(11b)

2 攝動(dòng)分析

由于多尺度法是求解非線性系統(tǒng)很有效的近似分析方法,因此應(yīng)用多尺度法對壓電復(fù)合材料層合懸臂板兩個(gè)自由度非線性常微分方程(11)進(jìn)行攝動(dòng)分析,引入如下的尺度變換:

μ1→εμ1,μ2→εμ2,q1→εq1,qp→εqp,q2→εq2,

q3→εq3,q4→εq4,q5→εq5,q6→εq6,r1→εr1,

rp→εrp,r2→εr2,r3→εr3,r4→εr4,r5→εr5,

r6→εr6,f1→εf1,f2→εf2

(12)

將變換公式(12)代入方程(11)得含小參數(shù)ε的方程:

εq2w2+εq3w12w2+εq4w22w1+εq5w13+εq6w23

=εf1cosΩt

(13a)

εr2w1+εr3w22w1+εr4w12w2+εr5w23+εr6w13

=εf2cosΩt

(13b)

為了獲得壓電復(fù)合材料層合懸臂板的四維平均方程,假設(shè)方程(13)有如下形式的解:

w1(t,ε)=x0(T0,T1)+εx1(T0,T1)

(14a)

w2(t,ε)=y0(T0,T1)+εy1(T0,T1)

(14b)

其中T0=t,T1=εt.

考慮主參數(shù)共振和1∶3內(nèi)共振,則有如下形式的內(nèi)共振關(guān)系:

Ω1=Ω2=Ω=ω,ω2≈3ω1

(15)

式中ω1和ω2為相應(yīng)線性系統(tǒng)的第一階和第二階固有頻率,σ1和σ2為系統(tǒng)的調(diào)諧參數(shù).

把式(14)和(15)代入式(13),并且比較方程兩邊小攝動(dòng)參數(shù)ε同階次的系數(shù),得到下面的微分方程：

ε0階 :

(16a)

D02y0+ω2y0=0

(16b)

ε1階:

= -μ1D0x0-σ1x0-2D0D1x0-(q1+qp)x0cosωt-

q2y0-q3x02y0-q4y02x0-q5x03-q6y03+f1cosωt

(17a)

D02y1+ω2y1

= -μ2D0y0-σ2y0-2D0D1y0-(r1+rp)y0cosωt-

r2x0-r3y02x0-r4x02y0-r5y03-r6x03+f2cosωt

(17b)

將方程(13)的解用復(fù)數(shù)形式表示為:

(18a)

(18b)

將方程(18)帶入方程(17),得下式:

(19a)

D02y1+ω2y1=-μ2BiωeiωT0-σ2BeiωT0-

(19b)

式中的符號(hào)cc和NST分別表示方程(19)右邊函數(shù)的共軛項(xiàng)和非長期項(xiàng),令方程(19)的長期項(xiàng)等于零,可以得到復(fù)數(shù)形式平均方程如下:

(20a)

(20b)

令A(yù)=x1+ix2,B=x3+ix4,代入(20)得直角坐標(biāo)形式的四維平均方程:

(21a)

(21b)

(21c)

(21d)

3 數(shù)值模擬

本節(jié)在得到壓電復(fù)合材料層合懸臂板四維直角坐標(biāo)平均方程(21)的基礎(chǔ)上,選取無量綱橫向激勵(lì)幅值f2和壓電參數(shù)項(xiàng)qp作為控制參數(shù),基于四階Runge-Kutta法,利用MATLAB軟件對主參數(shù)共振-1∶3內(nèi)共振情況下的壓電復(fù)合材料層合懸臂板進(jìn)行數(shù)值模擬分析,得到系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)響應(yīng).

3.1 橫向外激勵(lì)幅值對系統(tǒng)非線性振動(dòng)特性影響

由于橫向外激勵(lì)幅值是影響系統(tǒng)非線性振動(dòng)響應(yīng)最重要的因素之一,所以首先研究f2對系統(tǒng)的影響.選取系統(tǒng)初始條件和參數(shù)值為:

x10=-0.23,x20=-0.48,x30=0.02,

x40=-0.01,μ1=0.02,μ2=0.04,

σ1=0.25,σ2=0.37,q1=4.5,qp=3.7,

q3=6.3,q4=0.7,q5=6.4,r1=1.2,

rp=6.4,r4=0.45,r5=0.31,r6=4.9

(22)

將式(22)的值代入到方程(21),采用MATLAB軟件,通過數(shù)值模擬,得到系統(tǒng)隨橫向外激勵(lì)幅值f2變化的分叉圖如圖2所示.由圖可以看出,系統(tǒng)存在周期和混沌運(yùn)動(dòng),并且周期與混沌交替出現(xiàn),且混沌幅值遠(yuǎn)高于周期的幅值.當(dāng)無量綱的橫向激勵(lì)幅值從84變化到97時(shí),系統(tǒng)依次呈現(xiàn)單倍周期→混沌→單倍周期→混沌→單倍周期的變化規(guī)律.

圖2 系統(tǒng)隨橫向激勵(lì)幅值變化的分叉圖Fig.2 Bifurcation diagrams of system amplitude f2with the change of transverse excitation

為了驗(yàn)證分叉圖的正確性,取f2=85,繪制系統(tǒng)前兩階波形圖、相圖、龐加萊映射如圖3所示.由圖可以看出,系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)呈現(xiàn)為單倍周期運(yùn)動(dòng).

由分叉圖可以看出,當(dāng)系統(tǒng)發(fā)生混沌時(shí),系統(tǒng)幅值會(huì)發(fā)生大幅跳躍,運(yùn)動(dòng)形式由單倍周期轉(zhuǎn)換為混沌形式.當(dāng)取f2=90時(shí),繪制前兩階的波形圖、相圖、龐加萊映射如圖4所示,由圖4看出系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)確實(shí)為混沌運(yùn)動(dòng).

圖3 單倍周期運(yùn)動(dòng)Fig.3 Periodic motion of the plate when f2=85

3.2 壓電參數(shù)項(xiàng)對系統(tǒng)非線性振動(dòng)特性影響

為了分析壓電材料在系統(tǒng)振動(dòng)過程中對系統(tǒng)非線性響應(yīng)的影響,選取另一組初始條件和參數(shù)值如下:

x10=1.4,x20=2.7,x30=0.05,x40=-0.09,

μ1=0.02,μ2=0.04,σ1=7.5,σ2=9.3,q1=11.2,

q3=6.3,q4=31.6,q5=1.4,r1=1.2,rp=9.7,

r4=6.1,r5=5.6,r6=2.7,f2=85

(23)

取壓電參數(shù)項(xiàng)qp從0變化到15,得到系統(tǒng)的分叉圖如圖5所示.由圖可知,隨著壓電參數(shù)項(xiàng)的增大,系統(tǒng)由三倍周期運(yùn)動(dòng)逐漸變?yōu)榉植孢\(yùn)動(dòng),最后呈現(xiàn)為混沌運(yùn)動(dòng),因此壓電參數(shù)項(xiàng)對系統(tǒng)的非線性振動(dòng)響應(yīng)有很重要的調(diào)節(jié)作用.

4 結(jié)論

本文研究了在橫向激勵(lì)和面內(nèi)激勵(lì)聯(lián)合作用下,壓電復(fù)合材料層合懸臂板的非線性動(dòng)力學(xué)響應(yīng).應(yīng)用經(jīng)典板理論和Hamilton原理建立系統(tǒng)無量綱偏微分動(dòng)力學(xué)方程,采用Galerkin方法對系統(tǒng)進(jìn)行二階離散,得到兩自由度的無量綱常微分方程.

圖4 混沌運(yùn)動(dòng)Fig.4 Chaotic motion of the plate when f2=90

圖5 系統(tǒng)隨壓電參數(shù)項(xiàng)變化的分叉圖Fig.5 Bifurcation diagrams of system coefficient qp with the change of piezoelectric

考慮主參數(shù)共振-1∶3內(nèi)共振,運(yùn)用多尺度法進(jìn)行攝動(dòng)分析,推導(dǎo)出四維平均方程.選取一組合適的參數(shù),數(shù)值模擬得到橫向外激勵(lì)幅值對復(fù)合材料懸臂板非線性動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的影響.結(jié)果表明當(dāng)無量綱的橫向激勵(lì)幅值從84變化到97時(shí),系統(tǒng)存在周期和混沌運(yùn)動(dòng),并且周期與混沌交替出現(xiàn),且混沌幅值遠(yuǎn)高于周期的幅值.

選取另一組參數(shù)值,繪制出了系統(tǒng)幅值隨壓電參數(shù)項(xiàng)變化的分叉圖,由圖可知壓電參數(shù)項(xiàng)對系統(tǒng)的非線性振動(dòng)響應(yīng)有很重要的調(diào)節(jié)作用.因此,在實(shí)際工程中,可以通過改變系統(tǒng)外激勵(lì)幅值或壓電參數(shù)項(xiàng),來調(diào)節(jié)系統(tǒng)振動(dòng)的幅值,保持系統(tǒng)振動(dòng)的穩(wěn)定性.