陳 健夏 芳 傅燕寧

(1中國科學(xué)院紫金山天文臺南京210034)

(2中國科學(xué)院大學(xué)北京100049)

1 引言

近幾十年來,通過不斷的觀測和擬合研究,發(fā)現(xiàn)并確認的恒星雙星系統(tǒng)越來越多[1].目前認為有超過一半的恒星是雙星[2],且其中大部分系統(tǒng)都有亮子星,但由于觀測條件的限制,目前已知軌跡的系統(tǒng)只有約7000個[3],在已經(jīng)發(fā)現(xiàn)的雙星中占的比例不到5%.隨著觀測技術(shù)的發(fā)展,高精度的恒星運動學(xué)觀測資料大量積累.華盛頓雙星星表(The Washington Double Star Catalogue,WDS)中已經(jīng)收錄了142645個雙星系統(tǒng)的1619023個相對位置測量數(shù)據(jù)1http://ad.usno.navy.mil/wds/wds.html,這使得雙星軌道擬合工作發(fā)展迅速,其給出的大批量的系統(tǒng)亮子星的位置,豐富了亮星星表參考架的內(nèi)容[1].同時,雙星軌道擬合給出的恒星動力學(xué)質(zhì)量參數(shù)是恒星系統(tǒng)動力學(xué)研究和恒星物理演化研究必不可少的參量,也為恒星經(jīng)驗質(zhì)光關(guān)系的研究提供了更多精確的參考樣本[4?6].

雙星系統(tǒng)的基本動力學(xué)模型是二體問題,其對應(yīng)的運動方程是可積的,積分常數(shù)一般取為質(zhì)心的位置速度和二體相對運動的軌道參數(shù)[1],在雙星各自的質(zhì)量已知的情況下,就可以預(yù)測雙星在任意一個時刻的位置和速度.反之,在已知多個時刻的觀測位置和速度之后,可以通過擬合得到積分常數(shù)和質(zhì)量.針對雙星的觀測資料主要有相對位置資料、視向速度資料以及依巴谷、Gaia等天體測量數(shù)據(jù).盡管二體運動學(xué)模型具有足夠的完備性,但此前在針對這些觀測資料的擬合工作中,計算觀測量理論值時唯一考慮的改正是由歲差引起的切平面正北方向的改正[7].而目前有研究者們注意到現(xiàn)有觀測量計算模型所依賴的切平面局部參考系本身就存在一些近似問題[3,8].首先,雙星軌道的空間指向由切平面給出[9],切平面在精度較低時可以粗略地定義為垂直于某顆子恒星的視線方向,但我們知道,這個視線方向由于受到恒星自行的影響不斷發(fā)生變化,因此,在高精度恒星定位研究中需要給切平面一個精確的定義或者采用其他更精確的方法描述雙星軌道空間指向;其次,由于空間透視效應(yīng)的存在[8],軌道運動在切平面上的平行投影并不是我們真正看到的圖像,而是假想的從無窮遠處觀測雙星所看到的圖像.Kaplan[3]2015年在IAU大會指出這些問題導(dǎo)致的相對位置計算偏差有可能達到40 mas.早期因為相對位置測量誤差普遍大于0.1′′,所以近似的問題一直沒有引起重視.而目前地面的干涉觀測儀器的精度已經(jīng)達到或好于1 mas[1],為避免近似帶來的誤差,采用嚴格的立體幾何方法計算雙星的觀測量是必須的.

本文第2節(jié)介紹觀測量計算方法改進的具體內(nèi)容;第3節(jié)介紹改進后的方法在雙星觀測量計算與軌道擬合上的應(yīng)用;第4節(jié)討論觀測量計算方法改進的意義及未來繼續(xù)提高模型精度需要考慮的其他問題.

2 改進觀測量計算方法

我們以牛頓二體模型為基礎(chǔ),通過嚴格的立體幾何推導(dǎo)建立從模型參數(shù)到觀測量的計算方法.

2.1 模型參數(shù)的選取

α、δ、?分別為雙星質(zhì)心在t0時刻的赤經(jīng)、赤緯、視差.μα?、μδ分別為雙星質(zhì)心在t0時刻自行的赤經(jīng)和赤緯分量.vr0為雙星質(zhì)心在t0時刻的視向速度.這些量都是描述雙星質(zhì)心運動的參數(shù).

a0是雙星軌道的半長徑,以au為單位.e是軌道偏心率.τ是軌道上天體過近心點的時刻.P是軌道周期.這4個參數(shù)用于描述二體在軌道平面上的相對運動.q是雙星的主星質(zhì)量mA與伴星質(zhì)量mB之比,用于將相對運動歸算到質(zhì)心.以上5個參數(shù)都不會因采用坐標系的不同而變化.需要注意的是,參數(shù)a0在舊模型中通常采用的定義是a=a0?,為了保持一致,新模型的結(jié)果最后會由a0換算到a.

最后介紹用于確定雙星軌道指向的3個參數(shù):

(1)軌道傾角i0:軌道法向與ICRS北極方向所成的角.

(2)升交點經(jīng)度?0:將ICRS原點平移至主星,?0就是該參考系中二體相對運動軌道關(guān)于赤道面升交點的赤經(jīng).

(3)近心點角距ω0:升交點沿二體軌道順行到近心點所走過的角度.

在近似的觀測量計算方法中上述3個指向角(分別記為i、?、ω)是關(guān)于“切平面”給出的.其中忽略了切平面的時變性.Kaplan討論了這種近似對子星運動狀態(tài)計算的影響[3],本文則以子星相對位置和視向速度這兩種常見的觀測量為例,進一步討論其對軌道擬合的影響.

2.2 嚴格計算觀測量

下面給出從模型參數(shù)到任一時刻t的子星相對位置和視向速度的計算過程.

首先由α、δ、?、μα?、μδ、vr0計算出t0時刻雙星質(zhì)心相對太陽系質(zhì)心的位置速度,再根據(jù)質(zhì)心運動定理求出t時刻雙星質(zhì)心相對太陽系質(zhì)心的位置rC(t)和速度(t).

接著計算軌道位置,由模型參數(shù)a0、e、τ、P求出t時刻雙星在軌道坐標系中的位置及速度,再由i0、?0、ω03個角度旋轉(zhuǎn)至ICRS的坐標方向下的相對位置速度.然后根據(jù)質(zhì)量比q歸算到相對質(zhì)心的位置速度.

綜合上面的結(jié)果,求出兩顆星在t時刻分別相對于太陽系質(zhì)心的位置rA(t),rB(t)和速度(t),(t).至此,子星的運動狀態(tài)就完全確定了,由rA(t),rB(t),(t),(t)即可得到任意一種運動學(xué)觀測量.

相對位置(ρ(t),θ(t))是雙星觀測中常用的觀測量,其中ρ就是rA(t),rB(t)兩個位矢的夾角:

之所以(1)式中通過求rA(t),rB(t)的外積而非內(nèi)積來解ρ,是因為ρ的值非常小(1′′量級),這種情況下sin ρ比cos ρ對ρ的變化更敏感.

θ是天球上AB的方向關(guān)于AP的方向的方位角,如圖1所示,O為坐標原點,θ在3維空間中實際上是平面ABO與平面APO所成的角.為了得到θ與rA(t),rB(t)的關(guān)系,我們在圖1中引入了幾個輔助量,其中為ICRS的z軸方向為平面ABO的法方向,為平面APO的法方向.易得∠GOF= θ,又由和可得θ滿足的關(guān)系式:

其中ez={0,0,1}是北極方向的單位矢量.可以從圖1中看出θ就是大圓GFED上F關(guān)于G的方位角,而因為在ICRS赤道面上,則通過在z軸上分量的正負可以判斷出θ小于或大于180?.

除了相對位置(ρ(t),θ(t)),觀測量還有兩子星各自的視向速度vrA(t)和vrB(t),它們就是兩子星速度在其各自的位置rA(t),rB(t)方向上的分量:

圖1 θ在天球上的示意圖.其中O為坐標原點,即太陽系質(zhì)心,A、B分別為主星、伴星在天球上的位置,P為北天極,大圓EF GD以A為極Fig.1 The diagram of θ on the celestial sphere.O is the origin.A and B are the primary and secondary components on the celestial sphere,respectively.P is the north pole.A is the pole of great circle EF GD

最后根據(jù)以上過程求觀測量對每一個模型參數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù),再用BVLS(Bounded Variable Least Squares algorithm)[10]方法擬合.需要注意的是,相對位置和視向速度對質(zhì)心參數(shù)α、δ、μα?、μδ的偏導(dǎo)數(shù)都很小,即相關(guān)性很弱,所以這4個參數(shù)不參與擬合,它們應(yīng)參考目前精度較高的觀測資料給定.這種嚴格的觀測量計算方法涉及到全局量與局部量的加減,因此存在有效數(shù)字位數(shù)損失的問題,我們在程序中對所有浮點數(shù)采用4倍精度,以避免精度損失對結(jié)果的影響.

2.3 嚴格的觀測量計算方法的優(yōu)勢

嚴格的觀測量計算方法的優(yōu)勢在于從全局參考系出發(fā)描述雙星的運動,解決了近似的觀測量計算方法中回避了的透視問題及坐標架指向不固定問題.圖2顯示出切平面局部參考系未考慮透視所引起的偏差,其中B′為伴星在切平面上的近似投影位置,B′′為伴星在切平面上的實際投影位置.切平面指向不固定主要由雙星系統(tǒng)的自行導(dǎo)致,引起的觀測量偏差通常會隨著時間的推移而逐漸增大,必須通過質(zhì)心運動才能改正.

圖2 透視效應(yīng)對雙星投影位置的影響.其中A、B分別為主星和伴星,B′B平行于A的視線方向且交切平面于點B′,B′′為B的視線方向與切平面的交點Fig.2 The prospective effect on the projection of binary.In this graph,A and B are the primary and secondary components,respectively.B′B is parallel to the line of sight to A,and intersects the plane of sky in B′,while the line of sight of B intersects the plane of sky in B′′

從近似的觀測量計算方法產(chǎn)生偏差的機制來看,雙星離我們觀察者越近,并且雙星間的距離越大,產(chǎn)生的偏差也就越大,因此觀測量計算方法的改進對于太陽系鄰近區(qū)域中的遠距雙星更有幫助.

3 嚴格的觀測量計算方法的應(yīng)用與結(jié)果分析

上一節(jié)我們介紹了嚴格的觀測量計算方法,本節(jié)主要討論其在實際系統(tǒng)中的應(yīng)用.

首先,我們在第6目視雙星星表(Sixth Catalog of Orbits of Visual Binary Stars)中找出所有含亮子星的雙星系統(tǒng),并統(tǒng)計嚴格的與近似的觀測量計算方法計算出的相對位置的差異,發(fā)現(xiàn)有不少系統(tǒng)的差異已經(jīng)超過了當(dāng)前的觀測誤差,其中差異較大的系統(tǒng)大多具有較大的軌道半長徑和視差.

從差異較大的系統(tǒng)中我們選取了觀測資料相對豐富的半人馬座α雙星作為擬合的試驗對象.該系統(tǒng)是離太陽系最近的亮雙星,自行與半長徑均較大,因此采用近似觀測量計算方法造成的偏差也較大.針對它的軌道擬合工作非常多[11–13],最新的軌道參數(shù)是Kervella等人給出的,所用觀測數(shù)據(jù)為1752–2016年的相對位置數(shù)據(jù)和1900年以來的視向速度數(shù)據(jù)[13],我們用了和他們同樣的觀測數(shù)據(jù),擬合中的權(quán)重也依據(jù)Kervella等人文中給出的誤差來分配.擬合中需要固定不動的α、δ、μα?、μδ4個質(zhì)心參數(shù)中,μα?、μδ也參考了Kervella等人的工作[13],α、δ則是由依巴谷星表中子星(HIP71683和HIP71681)各自的位置計算得來.接下來通過BVLS方法分別用嚴格的與近似的觀測量計算方法進行擬合.得到的χ2非常接近,但是通過兩種方法解出的參數(shù)不一樣(見表1),這說明兩種觀測量計算方法雖然與觀測的符合程度相似,但調(diào)整參數(shù)的方向卻不同.近似的觀測量計算方法可能使模型參數(shù)向著錯誤的方向調(diào)整了.于是我們進一步對參數(shù)的解進行分析.

參考實際觀測數(shù)據(jù)的精度和軌道覆蓋率,我們產(chǎn)生了100組仿真數(shù)據(jù),并對這些數(shù)據(jù)進行再次擬合,最后在表1中給出參數(shù)誤差,并列出了誤差范圍內(nèi)出現(xiàn)真值的可能性,作為參數(shù)準確性的判斷依據(jù).從表1中我們可以看出,依靠嚴格的觀測量計算方法解出的參數(shù)的準確性均高于近似方法.尤其對vr0和q兩個參數(shù),采用近似的觀測量計算方法擬合,能恢復(fù)到真值的機率只有不到1%,這是因為這兩個參數(shù)與觀測量vrA(t)、vrB(t)的相關(guān)性很強,依靠嚴格的觀測量計算方法可以把vr0和q定得很精確,而近似的觀測量計算方法在描述雙星運動方面是有偏差的,參數(shù)解與真值實際上差別很大.

我們在圖3中顯示了用兩種觀測量計算方法擬合仿真數(shù)據(jù)所得參數(shù)結(jié)果的相對偏差量統(tǒng)計.橫坐標上每一項代表一個參數(shù)的擬合值與真值的相對偏差量,對應(yīng)兩組統(tǒng)計圖,其中空心的是嚴格的觀測量計算方法擬合值的偏差量統(tǒng)計,實心的代表近似方法.每一組統(tǒng)計圖中,箱內(nèi)的一根橫線表示這組相對偏差的中位數(shù),小方塊表示平均數(shù),箱代表這組相對偏差樣本按大小排序后位于中間的50%所在的范圍,誤差棒則代表位于中間的98%的樣本所在的范圍,可以看出,中位數(shù)與平均數(shù)基本都在箱圖的中間,它們與零點的差距越大說明對應(yīng)的擬合結(jié)果越不合理.從圖3中可以看出,對每一個參數(shù),嚴格的觀測量計算方法擬合結(jié)果總是比近似的更靠近零點,即更合理.

表1 半人馬座α雙星的參數(shù)解及其準確性Table 1 The fitted parameters of α Centauri and their confidence levels

圖3 各參數(shù)擬合結(jié)果偏差圖.空心框圖與實心框圖分別對應(yīng)嚴格的與近似的觀測量計算方法的仿真擬合統(tǒng)計結(jié)果Fig.3 The relative deviations of parameters.The open boxes and the filled boxes,respectively,show the statistical results of fitting simulated data based on the exact and approximate algorithms for computing the observables

圖3中看出近似的觀測量計算方法擬合參數(shù)解的相對偏差最大不超過1%,但這并不代表參數(shù)解的偏差可以被忽略.我們用表1中兩種方法擬合的參數(shù)分別計算4種觀測量并求差值,將這個差值的變化曲線畫在圖4中,可以看出這個偏差將會導(dǎo)致預(yù)報的雙星相對位置偏差達到15 mas,視向速度偏差達到12 m·s?1,這都遠超過了當(dāng)前這兩種觀測數(shù)據(jù)的觀測誤差.同時,隨著時間的推移這些偏差都有逐步增大的趨勢.

圖4 嚴格的與近似的觀測量計算方法對半人馬座α觀測數(shù)據(jù)的擬合結(jié)果在計算觀測量上的偏差.其中ρ、θ為相對位置的坐標分量,vrA、vrB為主星和伴星的視向速度,下標為“new”的是嚴格的觀測量計算方法擬合出的參數(shù)計算出的觀測量,下標為“old”的是近似方法擬合出的參數(shù)計算出的觀測量Fig.4 The difference between observed quantities computed from parameters fitted by the exact and approximate algorithms to the observational data of α Centauri. ρ and θ are the components of the relative positions.vrA and vrB are the radial velocities of the major component star and the minor one,respectively.The subscript“new”means that the observables are computed from the parameters fitted by the exact algorithm,and the subscript“old” means that the observables are computed from the parameters fitted by the approximate algorithm

4 結(jié)論和展望

隨著觀測數(shù)據(jù)精度的不斷提高,采用嚴格的觀測量計算方法是必須的.本文對此前觀測量計算方法中忽略的兩個近似因素進行了分析,并給出了改進后的觀測量計算方法.實際系統(tǒng)的應(yīng)用結(jié)果表明,盡管嚴格與近似的觀測量計算方法與觀測數(shù)據(jù)的符合程度相當(dāng),但近似方法得到的擬合參數(shù)偏離真值的程度更大.尤其是視向速度和質(zhì)量比這兩個在恒星動力學(xué)研究和物理研究方面都很重要的參數(shù),近似方法給出正確值的可能性很低.另外,這種偏離在恒星觀測量計算中體現(xiàn)的偏差也不可忽視.因此,對雙星系統(tǒng),尤其是太陽系附近的遠距雙星系統(tǒng),需要采用嚴格的觀測量計算方法來擬合.

當(dāng)然,關(guān)于觀測量計算模型的改進,今后還有一些其他因素需要考慮.首先是光行差引起的雙星相對位置的偏差,其大小約為兩子星角距離的10?4[3],即角距離10′′的雙星偏差為1 mas.其次是子星離觀測者距離不同導(dǎo)致光線傳播的時間不同,觀測到的雙星位置對應(yīng)不到同一時刻,該因素對軌道傾角大、空間距離大的雙星影響較大[8].綜上所述,在提高雙星運動模型精度方面還有大量的工作需要完成.

模型精度的提高需要大量高精度觀測數(shù)據(jù)的支持,觀測技術(shù)的不斷發(fā)展為之提供了可能.目前最具代表性的就是歐洲空間局(ESA)于2013年發(fā)射的Gaia衛(wèi)星,它對亮于15 mag的恒星能提供精度達到7–20μas的天體測量數(shù)據(jù)[14].除了這些高精度的新觀測數(shù)據(jù),長期的歷史觀測資料在雙星軌道擬合方面的作用也不容忽視[15].年代久遠的天文觀測底片也可以通過掃描技術(shù)重新得到整理,使位置測量精度提高到0.1′′左右[16].有了高精度的模型和數(shù)據(jù),我們可以給出大批量雙星的新參數(shù).在此基礎(chǔ)上,可以進一步開展的工作有:雙星系統(tǒng)軌道性質(zhì)的統(tǒng)計研究;編制和維持更高精度、更高網(wǎng)格密度的星表;利用各種軌道擬合過程得到恒星質(zhì)量等物理參數(shù);研究多星系統(tǒng)和星團的穩(wěn)定性或者動力學(xué)演化過程;檢驗恒星的演化模型等[1].

致謝 感謝Pierre Kervella與Dimitri Pourbaix為我們提供半人馬座α的觀測資料.