石兆羽，楊紹普，趙志宏

(1.石家莊鐵道大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，河北 石家莊 050043;2.河北省交通安全與控制重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，河北 石家莊 050043)

0 引 言

檢測(cè)微弱信號(hào)在早期機(jī)械故障檢測(cè)中是一項(xiàng)具有挑戰(zhàn)性的任務(wù)，傳統(tǒng)的檢測(cè)方法在強(qiáng)噪聲條件下會(huì)受到一定限制[1-3]?；煦缯褡訖z測(cè)系統(tǒng)具有對(duì)微弱周期信號(hào)敏感和對(duì)一定強(qiáng)度噪聲免疫的特性，使它在微弱信號(hào)檢測(cè)中非常具有優(yōu)勢(shì)[4-6]。

Van der Pol-Duffing振子是非線性系統(tǒng)中具有代表性的一類(lèi)系統(tǒng)，該系統(tǒng)可隨周期策動(dòng)力強(qiáng)度的變化表現(xiàn)出豐富的非線性動(dòng)力學(xué)特性，如倍周期分岔、混沌狀態(tài)、周期狀態(tài)等[7-9]。它對(duì)微弱信號(hào)敏感和對(duì)噪聲免疫，為其應(yīng)用于微弱信號(hào)檢測(cè)領(lǐng)域提供了可能。作為經(jīng)典混沌系統(tǒng)，Van der Pol-Duffing振子常被用于動(dòng)力系統(tǒng)的建模，如今在物理、生物工程、神經(jīng)學(xué)和經(jīng)濟(jì)學(xué)等領(lǐng)域，很多非線性問(wèn)題[10-16]，都可以簡(jiǎn)化成為該系統(tǒng)來(lái)進(jìn)行研究。隨著研究的深入，人們從研究低維混沌發(fā)展到研究高維時(shí)空混沌，耦合Van der Pol-Duffing系統(tǒng)就屬于高維時(shí)空混沌系統(tǒng)。耦合混沌系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為比單振子更為復(fù)雜，它的同步和控制過(guò)程是光學(xué)、電子技術(shù)、生物學(xué)等領(lǐng)域的研究重點(diǎn)，受到了世界各國(guó)學(xué)者的關(guān)注。

本文研究了耦合Van der Pol-Duffing系統(tǒng)在微弱信號(hào)檢測(cè)當(dāng)中的應(yīng)用。利用該耦合系統(tǒng)對(duì)微弱信號(hào)的敏感性和對(duì)噪聲的免疫性以及Van der Pol-Duffing振子之間相互聯(lián)系和控制的工作特性，為混沌振子檢測(cè)微弱信號(hào)提供了新的方法。本文建立耦合Van der Pol-Duffing系統(tǒng)，分析該耦合系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為，并根據(jù)耦合Van der Pol-Duffing系統(tǒng)的相變對(duì)微弱信號(hào)進(jìn)行檢測(cè)，獲得較好的效果。

1 建立非線性耦合系統(tǒng)模型

Van der Pol-Duffing振子作為非線性動(dòng)力學(xué)中最典型的自激振蕩系統(tǒng)之一，經(jīng)常用來(lái)描述非線性工程學(xué)中重要的振蕩過(guò)程和建立復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)模型。此系統(tǒng)的形式如下：

式中：α——阻尼系數(shù)；

β——?jiǎng)偠认禂?shù)；

fcos(ωt)——周期策動(dòng)力；

f——周期策動(dòng)力的幅值；

ω——周期策動(dòng)力的頻率。

為了更好地說(shuō)明此系統(tǒng)最具代表性的兩種動(dòng)力學(xué)行為即混沌態(tài)和周期態(tài)，本節(jié)對(duì)該系統(tǒng)建立Simulink模型，用定步長(zhǎng)四階Runge-Kutta法進(jìn)行仿真。當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)為α=5，β=1，f=5，ω=2.466 rad/s，初值為 (0,0)時(shí)，通過(guò)觀察相圖可知，此時(shí)系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)，如圖1(a)所示。當(dāng)f取值為6，其余參數(shù)不變時(shí)，系統(tǒng)處于周期態(tài)，如圖1(b)所示。兩個(gè)相圖不僅展現(xiàn)了混沌振子最典型的兩種狀態(tài)，而且說(shuō)明了混沌振子對(duì)參數(shù)的變化非常敏感。

圖1 Van der Pol-Duffing振子的相圖

根據(jù)式(1)，建立耦合Van der Pol-Duffing系統(tǒng)：

其中x，y，z是用來(lái)模擬系統(tǒng)狀態(tài)的無(wú)量綱變量，α1，α2，α3是 阻尼系數(shù)，β1，β2，β3是剛度系數(shù)，fcos(ωt+θ)是周期策動(dòng)力，f是幅值，ω是頻率，θ表示初始相位，通常情況下，選取θ=0。當(dāng)其他參數(shù)取固定值，耦合Van der Pol-Duffing系統(tǒng)的狀態(tài)會(huì)隨著幅值f的變化而變化。對(duì)于式(2)，可通過(guò)觀察系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)還是周期狀態(tài)來(lái)判別輸入信號(hào)中是否含有微弱信號(hào)。式(2)的狀態(tài)方程為

2 不同參數(shù)對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為的影響

混沌振子對(duì)系統(tǒng)參數(shù)的變化非常敏感，本節(jié)選取兩組系統(tǒng)參數(shù)，通過(guò)分別畫(huà)出耦合系統(tǒng)的分岔圖來(lái)研究系統(tǒng)參數(shù)對(duì)耦合系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為的影響。分岔是指系統(tǒng)某一參數(shù)達(dá)到臨界值時(shí)，系統(tǒng)行為發(fā)生突然變化的現(xiàn)象，研究分岔揭示了系統(tǒng)不同狀態(tài)之間聯(lián)系和轉(zhuǎn)化，與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性聯(lián)系十分緊密。對(duì)于式 (3)，取 α1= 2.1，α2=3.0，α3=2.6，β1=1.1，β2=1.2，β3=1.0，ω=4.2作為第1組參數(shù)；α1=3.0，α2=3.2，α3=3.0，β1=1.1，β2=1.2，β3=1.0，ω=3.6作為第2組參數(shù)。在初值為(0,0,0,0,0,0)的條件下，應(yīng)用Matlab畫(huà)出第1組參數(shù)下耦合系統(tǒng)的分岔圖，如圖2所示，顯示出了豐富的動(dòng)力學(xué)行為。通過(guò)觀察此圖可以看出隨著周期策動(dòng)力幅值f的逐漸增大，由于非線性特點(diǎn)，耦合混沌振子系統(tǒng)出現(xiàn)了倍周期分岔，混沌態(tài)和周期態(tài)的現(xiàn)象。該圖以周期策動(dòng)力幅值f作為控制參數(shù)，f的取值范圍為[5，9]，步長(zhǎng)為0.002 5。當(dāng)周期策動(dòng)力的幅值f的值為5.5時(shí)，根據(jù)分岔圖可知此時(shí)耦合系統(tǒng)處于穩(wěn)定的周期態(tài)，通過(guò) Simulink畫(huà)出相應(yīng)的相圖，如圖3(a)所示。周期策動(dòng)力的幅值f為6時(shí)，耦合系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)，如圖3(b)所示。

圖2 第1組參數(shù)下耦合系統(tǒng)的分岔圖

圖3 第1組參數(shù)下耦合系統(tǒng)的相軌跡

圖4是第2組參數(shù)下耦合系統(tǒng)的分岔圖，系統(tǒng)同樣具有豐富的動(dòng)力學(xué)行為。周期策動(dòng)力f的取值范圍為[2，7]。圖5(a)和圖5(b)分別是f為2.2和2.3時(shí)耦合混沌系統(tǒng)處于混沌態(tài)和周期態(tài)的相圖。對(duì)比兩組參數(shù)下耦合混沌系統(tǒng)的分岔圖和相圖可知，參數(shù)的變化使得耦合系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為發(fā)生了明顯改變，說(shuō)明耦合混沌系統(tǒng)對(duì)參數(shù)的變化非常敏感，從而為檢測(cè)微弱信號(hào)提供了可能。

圖4 第2組參數(shù)下耦合系統(tǒng)的分岔圖

圖5 第2組參數(shù)下耦合系統(tǒng)的相軌跡

3 耦合Van der Pol-Duffing系統(tǒng)檢測(cè)微弱信號(hào)仿真實(shí)驗(yàn)

微弱信號(hào)檢測(cè)是基于耦合混沌系統(tǒng)的相平面變化完成，該原理簡(jiǎn)述如下：

首先調(diào)整周期策動(dòng)力幅值為臨界閾值fe，使系統(tǒng)處于臨界狀態(tài)，然后將與周期策動(dòng)力同頻率同相位的微弱周期信號(hào)與噪聲一起輸入到耦合混沌系統(tǒng)當(dāng)中，微弱信號(hào)與周期策動(dòng)力疊加后的幅值會(huì)大于臨界閾值fe，此時(shí)耦合混沌系統(tǒng)的相軌跡會(huì)由混沌態(tài)變?yōu)橹芷趹B(tài)，因而根據(jù)相軌跡的狀態(tài)就可以判斷噪聲中是否包含微弱信號(hào)。

3.1 臨界閾值的確定

為了獲得較精確的臨界點(diǎn)閾值，首先從分岔圖獲得系統(tǒng)臨界閾值的大概位置。在第2組參數(shù)下，f=2.2時(shí)系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)，f=2.3時(shí)系統(tǒng)處于周期態(tài)。本文選取臨界閾值的范圍為[2.2,2.3] 。由于二分法用于求最優(yōu)解，可將其用于求臨界閾值的精確值。步驟如下：

1)由于2.2對(duì)應(yīng)耦合系統(tǒng)的混沌態(tài)，2.3對(duì)應(yīng)周期態(tài)，取2.2～2.3的中間值2.25。

2)由于2.25對(duì)應(yīng)混沌態(tài)，2.26對(duì)應(yīng)混沌態(tài)，2.27對(duì)應(yīng)周期態(tài)，所以f的取值范圍為[2.26,2.27]。然后f從2.26～2.27以步長(zhǎng)為0.001增加到2.265，該值對(duì)應(yīng)混沌態(tài)，2.267對(duì)應(yīng)周期態(tài)。

3)確定臨界閾值fe為2.265。

3.2 檢測(cè)微弱信號(hào)

輸入微弱信號(hào)和噪聲后，由式(2)可得：

式中acos(ωt+θ)是微弱信號(hào)，幅值為a，n(t)=σ·ε(t)是高斯白噪聲。當(dāng)輸入包含有與周期策動(dòng)力同頻率同相位的微弱正弦信號(hào)的噪聲時(shí)，會(huì)有fe+a＞fe，由于系統(tǒng)對(duì)微弱周期信號(hào)敏感，對(duì)噪聲具有免疫力，相軌跡會(huì)由混沌態(tài)躍遷到周期態(tài)，此時(shí)就能判斷已經(jīng)成功檢測(cè)到微弱周期信號(hào)。令fe=2.265，當(dāng)a=0，σ=1時(shí)，即只輸入噪聲時(shí)，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)，如圖6(a)所示。當(dāng)a=0.002，σ=0.03時(shí)，即輸入微弱信號(hào)和噪聲時(shí)，系統(tǒng)處于周期狀態(tài)，如圖6(b)所示。仿真結(jié)果說(shuō)明噪聲不會(huì)改變耦合系統(tǒng)的相軌跡即該系統(tǒng)對(duì)噪聲具有免疫力而對(duì)微弱正弦信號(hào)敏感。

4 噪聲對(duì)耦合Van der Pol-Duffing系統(tǒng)的影響

為研究噪聲對(duì)耦合系統(tǒng)的影響，可對(duì)該系統(tǒng)輸入不同強(qiáng)度的噪聲來(lái)觀察系統(tǒng)運(yùn)行軌跡的變化。當(dāng)周期策動(dòng)力幅值f=2.5且不輸入噪聲時(shí)，耦合混沌系統(tǒng)處于周期狀態(tài)。當(dāng)輸入σ=0.1的噪聲時(shí)，雖然耦合混沌系統(tǒng)的相軌跡并未改變，但是由于噪聲的干擾，耦合系統(tǒng)輸出的的相軌跡邊界稍些粗糙，說(shuō)明耦合系統(tǒng)對(duì)噪聲具有一定的抑制作用，如圖7(a)所示。當(dāng)噪聲強(qiáng)度進(jìn)一步加大到σ=0.3時(shí)，系統(tǒng)的相軌跡不再保持周期態(tài)，反而會(huì)表現(xiàn)為雜亂無(wú)章的混沌態(tài)，如圖7(b)所示，可見(jiàn)即使噪聲很強(qiáng)烈，相軌跡仍然保持在一定的范圍內(nèi)運(yùn)動(dòng)，說(shuō)明混沌吸引子對(duì)相軌跡具有束縛作用。圖7(c)為當(dāng)周期策動(dòng)力幅值為2.267時(shí)，相軌跡也保持在周期態(tài)，同樣輸入σ=0.1的噪聲時(shí)，耦合混沌系統(tǒng)卻并不能如f=2.5時(shí)一樣保持周期狀態(tài)，如圖7(d)所示，說(shuō)明周期策動(dòng)力的幅值精度較低時(shí)，系統(tǒng)受噪聲的影響相對(duì)比較小，精度較高時(shí)，噪聲對(duì)系統(tǒng)的影響較大。

圖6 耦合系統(tǒng)的微弱信號(hào)檢測(cè)仿真實(shí)驗(yàn)

圖7 不同幅值下噪聲對(duì)系統(tǒng)的影響

現(xiàn)對(duì)σ進(jìn)行取值，取值范圍為[0.01,0.1]，以此來(lái)檢測(cè)在噪聲條件下該耦合混沌系統(tǒng)檢測(cè)微弱信號(hào)的能力。仿真結(jié)果表明只有當(dāng)σ≤0.047時(shí)，微弱信號(hào)才能被檢測(cè)到。圖8(a)和圖8(b)分別為σ=0.047，σ=0.15時(shí)耦合系統(tǒng)的相圖。因此，測(cè)得的信噪比門(mén)限為

圖8 噪聲變化對(duì)系統(tǒng)相軌跡的影響

在微弱信號(hào)檢測(cè)領(lǐng)域中，用傳統(tǒng)時(shí)域檢測(cè)方法得到的最低信噪比門(mén)限只有–10 dB，根據(jù)式(1)所建立的混沌系統(tǒng)信噪比門(mén)限為–18 dB，而耦合Van der Pol-Duffing混沌振子系統(tǒng)的信噪比門(mén)限為–30 dB，與前兩種方法相比大大降低了信噪比門(mén)限，說(shuō)明該耦合混沌系統(tǒng)在微弱信號(hào)檢測(cè)領(lǐng)域非常具有優(yōu)勢(shì)。

5 微弱信號(hào)與周期策動(dòng)力不同頻率對(duì)檢測(cè)的影響

當(dāng)微弱信號(hào)的頻率與周期策動(dòng)力的頻率不同時(shí)，設(shè)周期策動(dòng)力為2.265cos(3.6t)，微弱信號(hào)為0.035 cos(ωt)，假設(shè)ω取值為1和5。將該微弱信號(hào)輸入到耦合系統(tǒng)后，系統(tǒng)仍處于混沌態(tài)，如圖9(a)和圖9(b)所示。該情況表明當(dāng)微弱信號(hào)與周期策動(dòng)力頻率不同時(shí)，系統(tǒng)并不會(huì)發(fā)生相變，也就是說(shuō)系統(tǒng)檢測(cè)不出與策動(dòng)力不同頻率的微弱信號(hào)。

6 微弱信號(hào)與周期策動(dòng)力不同相位對(duì)檢測(cè)的影響

設(shè)周期策動(dòng)力為fecos(ωt)，微弱信號(hào)為acos(ωt+θ)以考慮微弱信號(hào)與周期策動(dòng)力相位不同時(shí)對(duì)檢測(cè)帶來(lái)的影響。系統(tǒng)總的策動(dòng)力為

圖9 微弱信號(hào)頻率變化對(duì)檢測(cè)的影響

7 結(jié)束語(yǔ)

本文提出了一種基于耦合Van der Pol-Duffing系統(tǒng)的微弱信號(hào)檢測(cè)方法。根據(jù)耦合方程建立了檢測(cè)模型，比較了兩組參數(shù)下系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為，闡述了應(yīng)用混沌振子檢測(cè)微弱信號(hào)的原理。仿真結(jié)果表明用耦合Van der Pol-Duffing系統(tǒng)檢測(cè)微弱信號(hào)是可行的，信噪比門(mén)限達(dá)到–30 dB。噪聲對(duì)該耦合系統(tǒng)的影響取決于周期策動(dòng)力的幅值精度，精度越高，影響越大。該耦合系統(tǒng)檢測(cè)不出與周期策動(dòng)力不同相位或不同頻率的微弱信號(hào)。本文的研究表明耦合Van der Pol-Duffing系統(tǒng)在微弱信號(hào)檢測(cè)領(lǐng)域具有一定的研究?jī)r(jià)值。