劉國棟，方 偉，宋寶奇，葉 新，王 凱

(1.中國科學院 長春光學精密機械與物理研究所，吉林 長春 130039;2.中國科學院大學，北京 100049)

1 引 言

太陽輻射是地球最主要的能量來源，除了核能，火山爆發(fā)等，地球上大部分的能量都直接或間接地來自太陽輻射，太陽輻射對地球的生態(tài)和環(huán)境具有深刻的影響[1]。為了自身的長久可持續(xù)發(fā)展，人類很早就開始了對太陽輻射的監(jiān)測與研究。太陽輻射的測量主要是指太陽總輻照度(Total Solar Irradiance,TSI)測量和太陽光譜輻照度(Solar Spectral Irradiance,SSI)測量。這些太陽輻射的監(jiān)測數(shù)據(jù)，可以應用到很多科學領域，如氣候模型的推演、太陽物理研究、地球輻射收支平衡的研究等等，隨著研究的深入，這些領域對太陽輻射數(shù)據(jù)的測量精度要求越來越高。

太陽絕對輻射計是一種對太陽總輻照度進行監(jiān)測的儀器[2]，其測量精度直接影響太陽輻射數(shù)據(jù)的可信度。衍射效應是太陽絕對輻射計系統(tǒng)誤差的主要來源之一，要獲得精確的測量數(shù)據(jù)，必須對其進行修正。但是在輻射計量領域，衍射效應的修正一直是一個難以解決的問題。一方面是因為衍射效應廣泛存在于光學系統(tǒng)中，幾乎所有對光起限制作用的器件，都會引起衍射效應；另一方面，衍射效應難以用實驗測量，即使能測量，實驗中的不確定度也超過能容忍的范圍。因此，對衍射效應的研究主要側重于數(shù)學計算上。

輻射計量中衍射效應數(shù)學計算在國外有較多的研究。1962年，C.L.Sanders和O.C.Jones在用鉑點黑體實現(xiàn)光單位時，用夫瑯和費衍射理論證明了接收像面中心照度比通過幾何光學計算結果低大約0.25%，證明了衍射效應對精密輻射測量的顯著性影響。W.R.Blevin在實測Stefan-Boltzman常數(shù)的工作中發(fā)現(xiàn)這項誤差甚至可達到0.5%。此后，衍射效應成為黑體輻射測量中不可忽視的因素[3]。近幾十年來，隨著人類活動走向太空，發(fā)射了各種太陽輻射監(jiān)測儀器，由于對其精度的要求逐漸提高，衍射效應的數(shù)學計算，逐漸開展起來。目前在國外，衍射效應的修正已經開始應用于輻射計的測量結果，獲得較高的輻射測量精度，然而國內卻尚未開展該方面的工作，嚴重制約了我國在輻射計量領域的發(fā)展。本文根據(jù)對衍射效應問題的研究，提出一種實用化的計算方法，精度高，計算簡便，實現(xiàn)了對太陽輻照絕對輻射計(Solar Irradiance Absolute Radiometer,SIAR)的衍射效應修正。

2 衍射效應計算方法

2.1 衍射效應公式的推導

為了便于論述，本文做如下定義：衍射效應是指由于光的衍射，探測器接收的輻射通量與幾何光學期望值的比，是一個與光的衍射有關的“物理量”，用F表示。

根據(jù)Kirchhoff衍射理論和傍軸光學近似，點光源通過光闌衍射后的電場強度為：

(1)

其中，C=(d-1+d′-1)/2是與結構有關的系數(shù)，相關參數(shù)如圖1所示，它表示了x′與x電場強度的相互關系。考慮到能量密度W=C|U(x,t)|2，并做一定的坐標變換，可以得到：

(2)

其中，R表示光闌的半徑，r表示x′到光軸的距離，ρ=r″/R，u=。2qCR2，v=|2qCRr|。

圖1 點光源衍射討論中的參量 Fig.1 Parameters in the discussion of point source diffraction

式(2)表示了x′與x之間能量密度的關系。而在幾何光學中，x′與x之間能量密度的關系如下：

(3)

式中，Θ(x)是Heaviside階躍函數(shù)。

因此，|S(r′)/SG(0)|2就表示點x′處的衍射效應，其表達式由Lommel函數(shù)[4]給出：

(4)

(5)

式中，Un(u,v)和Vn(u,v)可以用n階貝塞爾函數(shù)來表示

(6)

(7)

式(4)和式(5)是等價的，當r′>R時，式(4)更簡便，而當r′>R時，式(5)更簡便。

實際的輻射測量，是對整個探測平面的能量密度進行積分，為此，引入一個新的量L(u,v0)，表示整個探測平面的衍射效應[5]，它相當于|S(r′)/SG(0)|2在整個探測平面的積分，類似于|S(r′)/SG(0)|2的推導，Wolf給出了L(u,v0)的表達式：

當v0>|u|時，

(8)

當v0<|u|時，

(9)

式中，Q2s(v0)和Yn(u,v0)表示如下：

Jp+1(v0)J2s+1-p(v0)]

設探測器平面上所有點的集合為{x′}，探測器邊緣上的點滿足v=v0，探測器內部的點滿足v

實物光源常?？梢钥醋鳠o數(shù)個相互獨立的點光源的集合，在式(8)和式(9)的基礎上，E.L.Shirley推導出了適用于擴展光源的公式[6]:

(10)

若僅僅在幾何光學范疇考慮，則可以很容易求得探測器接收的總能量ΦG(λ)，其表達式跟具體的光學結構有關。因此，總的衍射效應就可以表示為：

(11)

現(xiàn)在通過圖2對式(10)的參數(shù)進行說明，可以看出，該光構中包含了擴展型朗伯光源(Source)，光闌(Aperture)和探測器(Detector)三個要素，R、rs、rd、ds、dd表示3個要素構成的幾何參數(shù)。事實上，對該結構的研究是輻射計量中研究最多的問題之一，稱為SAD問題。

圖2 SAD結構 Fig.2 Structure of SAD

F1:u

F2:y>vm(1+σ)

F3:vm(1-σ)

(12)

對于F1情況，光闌會限制光的幾何傳輸路徑，而在F2中則不會。F3情況會導致探測器邊緣位于光束與陰影區(qū)域的交界附近，衍射效應分析復雜，是結構設計中需要避免的情況。式(8)和式(9)是L(u,v)分別在F1和F2情況下的表達式，只不過取v=vm(1+σx)。在幾何光學范疇內考慮，ΦG(λ)在F1和F2情況下可以表示為

(13)

綜合式(10)、式(11)和式(13)可得總的衍射效應為：

(14)

該式表示了SAD結構對波長為λ的光的衍射效應，然而太陽輻射計中所測光源是太陽，是一個寬光譜的普朗克光源。實際操作中，可以將太陽輻射的等效波長λeff≈902.792 042 6 nm應用于式(14)[8]。

2.2 簡化的計算方法

由于L(u,v)包含復雜的n階貝塞爾函數(shù)，對式(14)直接積分是困難的。實際操作中，常常根據(jù)貝塞爾函數(shù)的漸近性質對L(u,v)進行簡化。

當v>|u|時，F(xiàn)ocke在前人的工作基礎上給出了L(u,v)的漸近形式[9]，

(15)

(16)

(17)

(18)

其中σk是由簡單函數(shù)Wk(x)決定的變量

(19)

W0(x)=1,W3(x)=x3+4x2+x,

W1(x)=x,W4(x)=x4+11x3+11x2+x,

W2(x)=x2+x,W5(x)=x5+26x4+66x32611x2+x.

(20)

通過上述漸近處理，可以將L(u,v)表示為簡單函數(shù)，則式(14)就轉化為簡單函數(shù)的線性積分，大大簡化了計算量。

為了驗證上述簡化方法的準確性，本文參考國外一些已經進行過衍射修正的輻射計結構，將使用本文方法計算的結果與其報告的結果進行對比。表1是國外幾個輻射計的SAD結構參數(shù)以及衍射效應的計算結果[11]。計算過程是對公式(14)的數(shù)值計算，該過程采用精確的L(u,v)(含有n階貝塞爾函數(shù))，計算結果較為精確?？梢钥闯鎏柨傒椪斩葴y量中衍射效應在10-3～10-4之間，已經成為精確測量中不可忽視的重要因素。

表1 幾種太陽輻射計的衍射效應Tab.1 Diffraction effects in some radiometers

表2是采用本文簡化方法計算得到的衍射效應，也就是考慮L(u,v)的漸近性質，進行較為簡便的線性積分?？梢钥闯觯嬎憬Y果與表1的偏差在10-5～10-6之間，遠小于衍射效應值，從而證明本文的方法在簡化運算的同時兼顧了計算結果的準確性。

表2 采用簡化方法的衍射效應值Tab.2 Diffraction effects by using simplified method

3 SIAR衍射效應的修正

SIAR是一種利用電替代原理對太陽輻射進行測量的儀器，其構造如圖3所示，主要結構包括錐腔，光闌結構，熱沉以及相關的電路模塊[12]。

圖3 SIAR剖面示意圖 Fig.3 Profile of SIAR

SIAR的光闌有6個：主光闌，視場光闌，4個消雜光光闌。視場光闌在前，主光闌在后并靠近錐腔，半徑為4 mm。整體結構視場半角為1°，相鄰光闌距離為20 mm光闌分布如圖4所示。

圖4 光闌的幾何分布 Fig.4 Positions of the apertures

應用上述SAD結構，對SIAR的衍射效應進行分析。首先由于主光闌靠近錐腔，認為通過主光闌的光都能到達錐腔，則主光闌開口相當于SAD的探測器，且rd=4 mm；太陽作為SAD結構中的擴展型朗伯光源，rs≈6.75×1011mm,距離光闌距離ds≈1.5×1014mm, 由于太陽到地球表面的視場半角約為32′,位置在前的光闌不會遮擋后面光闌的幾何光學路線[13]，因此視場光闌和4個消雜光光闌可以作為SAD結構中的非限制光闌，引起F2類型的衍射效應。SIAR的衍射效應問題可以分解為5個SAD問題。視場光闌與隨后的4個消雜光光闌用Apx(x=1,2,3,4,5)表示，具體參數(shù)如表3所示。

根據(jù)L(u,v)在v<|u|時的漸近性質，利用式(14)進行數(shù)值積分得到每個光闌引起的衍射效應以及總的衍射效應，如表4所示。

表4 SIAR的衍射效應Tab.4 Diffraction effects in SIAR

從表4可以看出，SIAR總的衍射效應達到0.274%，而根據(jù)90年代給出的太陽總輻照度為(1 365.4±1.3) W/m2，不確定度占0.095%，由此可見，由衍射效應引起的誤差是相當顯著的[14]，是精確測量中不可忽視的重要因素。另外由于前一級光闌不會遮擋后一級光闌的幾何傳輸路徑，衍射效應會隨消雜光光闌個數(shù)的增加而逐級累加。

輻射計的衍射修正因子Cdiff定義為[15]：

(21)

太陽輻射計所測輻射數(shù)據(jù)，需要定標到國際輻射基準(WRR)。具體做法為：在相同時間，相同實驗環(huán)境下，SIAR與WRR同時對太陽輻射進行監(jiān)測，得到的結果分別為TSI|SIAR,TSI|WRR，則SIAR的定標系數(shù)為

(21)

WRR Factor越接近1，則表明輻射計的測量準確度越高。表5是未經過衍射修正的SIAR的定標系數(shù)[16]。

表5 衍射效應未修正的WRR FactorTab.5 Diffraction effects uncorrected WRR Factor

對SIAR進行衍射效應修正，則定標系數(shù)為

(22)

表6是經過衍射修正后SIAR的定標系數(shù)，可以看出經過衍射修正后，SIAR-4B和SIAR-4D的定標系數(shù)都明顯地趨近于1。而對于SIAR-2C和SIAR-4A，衍射效應造成的系統(tǒng)誤差，使得定標系數(shù)從小于1變成大于1，之所以沒能更靠近1，是由其他的系統(tǒng)誤差導致的。因此，衍射修正降低了輻射計的一部分系統(tǒng)誤差，提高了SIAR測量數(shù)據(jù)的準確度。

表6 衍射修正過的WRR FactorTab.6 Diffraction effects corrected WRR Factor

4 結 論

本文從Kirchhoff衍射理論出發(fā)，根據(jù)高斯光學近似，逐步推導出了衍射效應下點與點、點與面、面與面的能量傳輸關系，最終給出了衍射效應計算的一般公式。為了便于計算，構建了用于衍射分析的SAD模型，重點分析了F1和F2兩種衍射類型，最后根據(jù)漸近性質，提出了簡便的計算方法。根據(jù)SIAR的光闌結構特點，將其衍射效應分解成5個SAD問題，使用簡化的方法分別計算衍射效應，最后按照累加原則，得到總的衍射效應。由于衍射效應與輻射計的衍射修正因子互為倒數(shù)關系，從而給出了衍射修正因子，這是國內輻射計首次實現(xiàn)對衍射效應的修正。根據(jù)衍射修正結果，計算4個型號的SIAR相對WRR的定標系數(shù)，結果表明四個SIAR中衍射效應引起的系統(tǒng)誤差被修正，提高了測量結果的準確度。