孫昌瑜

(吉林省水利水電勘測(cè)設(shè)計(jì)研究院，吉林 長(zhǎng)春 130012)

目前，隨著經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展，GNSS(全球?qū)Ш叫l(wèi)星系統(tǒng))在各行各業(yè)都得到了廣泛的應(yīng)用。其在水利工程控制測(cè)量中，平面坐標(biāo)的獲取不僅時(shí)間短，且精度高，可直接應(yīng)用，但在高程方面，GPS測(cè)量的高程是以WGS- 84參考橢球面為基準(zhǔn)面的大地高H，而我國(guó)的高程系統(tǒng)是以大地水準(zhǔn)面為基準(zhǔn)面的正常高h(yuǎn)。兩者的轉(zhuǎn)換關(guān)系為：

H=h+ζ

(1)

式中，ζ—高程異常。由于參考橢球面與似大地水準(zhǔn)面之間關(guān)系復(fù)雜，導(dǎo)致ζ不能用某個(gè)確切的數(shù)學(xué)函數(shù)表示。因此，GPS所測(cè)高程在實(shí)際應(yīng)用中受到了很大的限制。而正常高h(yuǎn)大部分采用直接等級(jí)水準(zhǔn)獲得，其費(fèi)時(shí)費(fèi)力。如果要想利用GPS測(cè)得的大地高通過(guò)高程異常值直接換算為正常高而使用，那么所獲取的高程異常值ζ的準(zhǔn)確程度是非常重要的。

基于此，本文就求解GPS高程異常值的多項(xiàng)式曲面函數(shù)法、多面函數(shù)法進(jìn)行了綜合比較，得出了一些結(jié)論。使之為水利工程測(cè)量中正常高的獲得提供一定的參考。

1 高程異常值求解的方法及精度評(píng)定

1.1 高程擬合的方法

1.1.1 多項(xiàng)式曲面擬合法

多項(xiàng)式曲面擬合的基本出發(fā)點(diǎn)是在擬合區(qū)域內(nèi)，將大地高與正常高的重合點(diǎn)之間平滑出一個(gè)曲面來(lái)表示這個(gè)區(qū)域的似大地水準(zhǔn)面，進(jìn)而通過(guò)內(nèi)插求出未知點(diǎn)的高程異常值，然后求出該點(diǎn)的正常高。此方法的特點(diǎn)為，伴隨擬合區(qū)域面積的增加，擬合的高程異常變化增大，且伴隨多項(xiàng)式階次的增高，擬合曲面的波動(dòng)也越大。多項(xiàng)式函數(shù)可表示為：

ζi=f(xi，yi)+εi

(2)

式中，ζi—高程異常值；f(xi，yi)—擬合曲面函數(shù)；εi—擬合殘差。

(3)

于是有：

(4)

式中，ai—未知參數(shù)。

當(dāng)已知點(diǎn)個(gè)數(shù)大于等于參數(shù)個(gè)數(shù)時(shí)，在[ε2]=min條件下，求出各參數(shù)，然后利用式(2)可求出測(cè)區(qū)內(nèi)任意點(diǎn)的高程異常。

(1)平面擬合法

當(dāng)式(4)取一階時(shí)，即為平面擬合，可表示為：

f(xi，yi)=a0+a1xi+a2yi+εi

(5)

將式(5)寫(xiě)成誤差方程形式：

V=BX-L

(6)

根據(jù)最小二乘法原理可求得擬合系數(shù)：

X=(BTB)-1BTL

(7)

然后再利用式(5)求得待求點(diǎn)的異常值。

(2)二次曲面擬合法

當(dāng)式(4)取二階時(shí)，即為二次曲面擬合，表示為：

(8)

由式(8)可知，有6個(gè)未知參數(shù)a0，a1…a5。因此，至少需要6個(gè)已知點(diǎn)進(jìn)而列出6個(gè)方程求解。若測(cè)區(qū)內(nèi)的已知點(diǎn)的個(gè)數(shù)大于6個(gè)，多項(xiàng)式系數(shù)可通過(guò)最小二乘原理VTPV=min求得。

假設(shè)已知點(diǎn)數(shù)為n，由式(8)可列誤差方程：

(9)

可表示為：

V=BX-L

(10)

式中，V=[v1，v2…vn]T；

由最小二乘原理VTPV=min，得到解為：

X=(BTB)-1BTL

(11)

然后在利用式(8)求得待求點(diǎn)的異常值。

1.1.2 多面函數(shù)擬合法

1971年，Hardy教授提出了多面函數(shù)法。其基本思想是：任何表面，都能用一定的有規(guī)則的數(shù)學(xué)表面通過(guò)疊加無(wú)限逼近。即每個(gè)插值點(diǎn)可以由已知點(diǎn)建立的函數(shù)關(guān)系疊加，組成新的函數(shù)關(guān)系[1]。多面函數(shù)可表示為：

(12)

式中，βi—待定參數(shù)；f(x，y，xi，yi)—x和y的二次核函數(shù)，其可表示成：

f(x，y，xi，yi)=[(x-xi)2+(y-yi)2+δ2]k

(13)

式中，δ2—光滑因子。當(dāng)k=1/2時(shí)，稱為正雙曲面函數(shù)，當(dāng)k=-1/2時(shí)，稱為倒雙曲面函數(shù)。

設(shè)有n個(gè)已知點(diǎn)(xi，yi)(i=1，1，…n)，取其中m(m≤n)個(gè)點(diǎn)作為核函數(shù)的核心數(shù)據(jù)，并設(shè)Qij=f(xj，yj，xi，yi)，則式(12)可表示為：

(14)

構(gòu)建誤差方程式為：

(15)

將其表示成向量形式為：

V=Qβ-φ

(16)

按照最小二乘原理得：

β=(QTQ)-1QTφ

(17)

在把求得的β帶入式(12)就可計(jì)算待求點(diǎn)的異常值。此法的關(guān)鍵就在于核函數(shù)和光滑因子的確定。核函數(shù)的選取會(huì)擬合效果，光滑因子只能通過(guò)不斷的試算進(jìn)行確定。

1.2 精度評(píng)定

通常精度評(píng)定方法有方差、標(biāo)準(zhǔn)差等。鑒于高程擬合既存在擬合點(diǎn)也存在檢核點(diǎn)，一般采用內(nèi)符合精度指標(biāo)θ1和外符合精度指標(biāo)θ2來(lái)評(píng)價(jià)：

(18)

(19)

式中，v1—擬合高程異常的殘差，n1—擬合點(diǎn)個(gè)數(shù)，v2—外推高程異常的殘差，n2—外推點(diǎn)個(gè)數(shù)。內(nèi)、外符合精度越小，表示擬合和推估的精度越高，其效果越好。

2 實(shí)例分析

為了研究以上方法在GPS高程擬合中的應(yīng)用，對(duì)某水利工程D級(jí)GPS控制網(wǎng)聯(lián)測(cè)了24個(gè)水準(zhǔn)高程點(diǎn)，區(qū)域跨度約為55km，平面控制按照D級(jí)GPS網(wǎng)要求進(jìn)行施測(cè)，高程按照國(guó)家四等要求進(jìn)行施測(cè)，經(jīng)穩(wěn)健估計(jì)檢驗(yàn)，數(shù)據(jù)不含粗差。這些點(diǎn)的分布如圖1所示。

為比較平面擬合、二次曲面擬合、多面函數(shù)法擬合對(duì)求取的GPS高程異常值的效果。擬合所選取的公共點(diǎn)為Z16、Z17、Z12、Z10、D1、Z1、D4、D6-1、Z5、Z8十個(gè)點(diǎn)。由圖1可知，這些點(diǎn)分布較均勻，可覆蓋整個(gè)測(cè)區(qū)。其中，多面函數(shù)擬合法選擇正雙曲面函數(shù)，光滑因子經(jīng)過(guò)不斷試算，選取δ2=3600。各模型的計(jì)算均在MATLAB 2014b軟件下編程實(shí)現(xiàn)。

圖1 點(diǎn)位分布圖

采用3種方法計(jì)算的擬合點(diǎn)及檢核點(diǎn)高程異常值和殘差值，見(jiàn)表1、2。

表1 擬合點(diǎn)高程異常值及殘差

從表1、2可知：多面函數(shù)法擬合點(diǎn)的殘差都為0，檢核點(diǎn)的最大殘差點(diǎn)為D8，差值5.2cm，其余各點(diǎn)殘差都較小，且大部分都在3cm以內(nèi)，擬合效果較好。二次曲面擬合法的擬合點(diǎn)的最大殘差點(diǎn)為Z12，差值7.0cm，其余各點(diǎn)都較小，檢核點(diǎn)的最大殘差點(diǎn)為Z11，相差8.4cm，其余各點(diǎn)除了D8相差7.9cm外，擬合精度都較高。平面擬合法的擬合點(diǎn)的殘差除Z5、Z8外，其余各點(diǎn)殘差都較大，檢核點(diǎn)的最大殘差點(diǎn)為Z11，相差9.9cm，Z13、Z2、D3、J7、Z3、D8點(diǎn)檢核殘差也都較大，其余各點(diǎn)殘差較小。造成此問(wèn)題的原因在于擬合點(diǎn)Z1、D4、D6- 1分布近似于一條直線，致使擬合出的平面模型較差。因此，從擬合點(diǎn)、檢核點(diǎn)的殘差來(lái)講，采用多面函數(shù)擬合法求得的高程異常值是最優(yōu)的，其次為二次曲面法、平面擬合法。為了更加直觀地體現(xiàn)不同擬合方法的檢核點(diǎn)精度，各擬合方法的殘差大小如圖2所示。

表2 檢核點(diǎn)高程異常值及殘差

圖2 不同擬合方法的檢核點(diǎn)殘差

由圖2可知，多面函數(shù)法和二次曲面擬合法精度較高。為了從精度指標(biāo)上分析各種方法的優(yōu)劣性，計(jì)算各擬合法的內(nèi)符合精度和外符合精度，其值見(jiàn)表3。由表3可知：多面函數(shù)法在內(nèi)符合精度及外符合精度上都優(yōu)于二次曲面擬合法和平面擬合法。

表3 各種模型的擬合精度 單位：cm

3 結(jié)語(yǔ)

平面擬合法對(duì)于所選擬合點(diǎn)除應(yīng)均勻分布于測(cè)區(qū)外，其鄰近的各點(diǎn)都應(yīng)構(gòu)成三角形平面，實(shí)例中，有幾個(gè)點(diǎn)的分布近似于直線，致使其周圍檢核點(diǎn)的高程異常值與實(shí)際值偏大。這在今后運(yùn)用此方法是應(yīng)當(dāng)注意。二次曲面擬合模型可較好地提取高程異常的趨勢(shì)性，適應(yīng)用于平坦地區(qū)，但在地形起伏變化較大的區(qū)域，擬合精度也難以保證。多面函數(shù)擬合法由于其建立的思想是用一定的有規(guī)則的數(shù)學(xué)表面通過(guò)疊加無(wú)限逼近真實(shí)表面，在高程擬合中就是用每個(gè)插值點(diǎn)與已知數(shù)據(jù)構(gòu)建函數(shù)關(guān)系，從而計(jì)算最佳插值。因此，多面函數(shù)法擬合的精度較好，也可適當(dāng)?shù)貞?yīng)用于水利工程測(cè)量中，通過(guò)實(shí)例也證明了此方法的有效性。但本文多面函數(shù)法是基于正雙曲面函數(shù)進(jìn)行論證的，對(duì)其它函數(shù)沒(méi)有進(jìn)行比較分析，加之光滑因子的確定也是在大量的試算中確定的，沒(méi)有統(tǒng)一的算法。這些在今后的研究中，可給予重視。