楊 磊

(大連財(cái)經(jīng)學(xué)院,遼寧 大連 116000)

在初等函數(shù)中,最簡(jiǎn)單的函數(shù)就是多項(xiàng)式,對(duì)于數(shù)值計(jì)算和理論分析都很方便,而用多項(xiàng)式近似表達(dá)復(fù)雜函數(shù)是高等數(shù)學(xué)中近似計(jì)算與理論分析的一個(gè)重要內(nèi)容,泰勒公式在數(shù)學(xué)運(yùn)算中起著非常重要的作用,利用帶有余項(xiàng)的泰勒公式可以簡(jiǎn)單地解決一些復(fù)雜問(wèn)題。泰勒公式余項(xiàng)有多種類型,根據(jù)需要可以選擇不同的余項(xiàng)類型,主要有皮亞諾型余項(xiàng)、拉格朗日型余項(xiàng)、柯西型余項(xiàng)。一般處理方式是先求出余項(xiàng)的表達(dá)式(比如拉格朗日型余項(xiàng)),再證明截?cái)嗾`差的估計(jì),但是推導(dǎo)余項(xiàng)表達(dá)式的過(guò)程較為繁雜,有一定難度。另一方面,在泰勒公式的使用中,更加有用的是截?cái)嗾`差的估計(jì),也就是用泰勒多項(xiàng)式近似表示函數(shù)產(chǎn)生的誤差Rn(x)的上界,這樣的處理方式絲毫不會(huì)影響泰勒公式對(duì)于近似計(jì)算的應(yīng)用價(jià)值。

下面先給出泰勒公式的截?cái)嗾`差的估計(jì)證明方法,再探討在實(shí)際物理計(jì)算中對(duì)誤差估計(jì)的應(yīng)用。

1 預(yù)備知識(shí)

定理1[1-3]如果函數(shù)y=f(x)在含有x0點(diǎn)的開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)存在直至n階導(dǎo)數(shù),則當(dāng)x∈(a,b)有

(1)

其中(1)式稱為函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的泰勒公式,Rn(x)稱為泰勒公式的皮亞諾型余項(xiàng)。

定理2 如果函數(shù)y=f(x)在含有x0的開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)有直至n+1階導(dǎo)數(shù),則當(dāng)x∈(a,b)時(shí),f(x)可以表示為Δx=x-x0的一個(gè)n次多項(xiàng)式與一個(gè)余項(xiàng)Rn(x)之和,即

(2)

特別在x0=0時(shí),有

其中ξ介于0與x之間,它被稱為帶有拉格朗日型余項(xiàng)的麥克勞林公式。

2 泰勒公式的截?cái)嗾`差的估計(jì)證明

假定函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的某個(gè)鄰域內(nèi)存在n階導(dǎo)數(shù),pn(x)為函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的n階泰勒多項(xiàng)式,記Rn(x)=f(x)-pn(x),稱Rn(x)為n階余項(xiàng)。

下面的定理在不依賴余項(xiàng)表達(dá)式的情況下給出截?cái)嗾`差的估計(jì)。

如此反復(fù)下去就得到

只要知道求截?cái)嗾`差的估計(jì),不必推導(dǎo)拉格朗日型余項(xiàng)表達(dá)式。因此,上述定理關(guān)于泰勒公式中截?cái)嗾`差的估計(jì)的證明方法具有一定的參考價(jià)值。

3 泰勒公式的截?cái)嗾`差的估計(jì)在物理問(wèn)題上的應(yīng)用

(3)

其中m0是該物體在靜止?fàn)顟B(tài)下的質(zhì)量,c是光速。這個(gè)物體的動(dòng)能是K=mc2-m0c2

(4)

2) 利用泰勒公式估計(jì)當(dāng)|v|<100m/s時(shí),牛頓經(jīng)典公式誤差。

解 1)將(3)式中的m的表達(dá)式代入(4)式得到

(5)

代入(5)式得到

(6)

根據(jù)泰勒公式,當(dāng)|x|≤b<1時(shí),在x0=0處的泰勒展開(kāi)式為：

例2[6]波長(zhǎng)等于L、速度等于v的水波在穿過(guò)深度為d的水體時(shí),滿足

3)證明 當(dāng)L>10d時(shí),近似估計(jì)式v2≈gd的誤差不超過(guò)0.014gL。

3)由v2麥克勞林展開(kāi)式得到

在物理學(xué)中,為了獲得對(duì)某個(gè)公式更為深刻的認(rèn)識(shí),經(jīng)常用泰勒級(jí)數(shù)對(duì)函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)。例如在函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)中只保留一項(xiàng)、兩項(xiàng)或者三項(xiàng),物理學(xué)常用函數(shù)的泰勒多項(xiàng)式近似表示函數(shù)本身。泰勒公式的誤差上界可以保證這種近似具有一定的精確度。