■ 文/ 公安部第一研究所 李子曉 范志永 張濤

關(guān)鍵字：PCR儀 溫度控制 PID參數(shù)整定 MATLAB仿真

1 引言

聚合酶鏈?zhǔn)椒磻?yīng)（Polymerase Chain Reaction，PCR）是一種在體外快速擴增DNA片段的技術(shù)，該技術(shù)可以從復(fù)雜的DNA分子中選擇性地對某一段的序列復(fù)制擴增，廣泛應(yīng)用于生物科研和臨床，成為分子生物學(xué)研究的最重要技術(shù)之一。PCR儀是基于PCR技術(shù)的一種重要的科學(xué)儀器，為PCR反應(yīng)提供條件，可以自動完成PCR反應(yīng)。該儀器應(yīng)用于生命科學(xué)研究、臨床診斷和法醫(yī)鑒定等多個領(lǐng)域，作為基因擴增分析的首選設(shè)備。

PCR技術(shù)是在試管中進(jìn)行DNA復(fù)制，原理與DNA的天然復(fù)制過程基本類似，主要由變性、退火和延伸三個基本反應(yīng)步驟組成：模板或擴增形成的DNA片段加熱至94℃左右并保持一定時間后，雙鏈變成兩條單鏈，以便于引物結(jié)合；溫度降低至55℃左右時，引物與模板DNA單鏈的互補序列配對結(jié)合；樣品溫度上升至72℃左右保持?jǐn)?shù)分鐘，在聚合酶的作用下合成一條與模板DNA鏈互補的鏈。上述三個步驟循環(huán)一次后，DNA數(shù)量增加一倍，隨著循環(huán)次數(shù)的增加，即實現(xiàn)DNA的體外大量擴增。

在三個步驟中影響PCR反應(yīng)的因素有溫度、時間和循環(huán)次數(shù)等，而PCR儀的性能指標(biāo)又包括溫度控制指標(biāo)和熒光檢測系統(tǒng)指標(biāo)兩類。由此，溫度對于PCR反應(yīng)至關(guān)重要，溫度控制是PCR技術(shù)的核心，溫度指標(biāo)是PCR儀性能指標(biāo)的重要標(biāo)志。一個PCR的變溫系統(tǒng)要取得良好的控溫效果，需要優(yōu)化變溫速率和溫度控制精度兩個因素。因此，需要對溫度控制算法進(jìn)行研究。

2 PID控制及參數(shù)整定

反饋是控制理論的革命性成果，而PID控制是迄今為止應(yīng)用最為普遍和成功的控制算法之一。PID算法憑借其結(jié)構(gòu)簡單易實現(xiàn)、良好穩(wěn)定性、工作可靠等優(yōu)點在過程控制、航空領(lǐng)域、儀器儀表等領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用。著名學(xué)者Astrom曾指出：“在過程控制應(yīng)用領(lǐng)域，95%的控制器是PID類型的控制器。”這表明了PID控制器在過程控制應(yīng)用領(lǐng)域中的統(tǒng)治地位。對于任何需要控制的問題，PID控制是首選。可以證明，對于系統(tǒng)特性為Ke^(-τs)/(Ts+1)和Ke^(-τs)/(T1s+1)(T2s+1)的控制對象，PID控制是一種最優(yōu)的控制算法。因此，選用PID控制對PCR儀的變溫系統(tǒng)進(jìn)行控制調(diào)節(jié)，以此達(dá)到PCR儀的溫度指標(biāo)要求。

2.1 PID控制原理

PID控制器是一種線性控制器，由比例單元（P）、積分單元（I）和微分單元（D）組成，輸入量與輸出量的關(guān)系如式（1）所示。

其中，e(t)表示給定值r(t)與實際輸出值y(t)之間的偏差，Kp為比例系數(shù)、Ti為積分時間常數(shù)、Td為微分時間常數(shù)，將偏差按比例、積分和微分通過線性組合構(gòu)成控制量u(t)，對被控對象進(jìn)行控制。PID控制系統(tǒng)的原理如圖1所示。

圖1 PID控制系統(tǒng)原理

離散系統(tǒng)中的PID表示方式如式（2）所示

其中，u(k)為采樣時刻k的輸出量，e(k)、e(k－1)分別為采樣時刻k、k－1時的偏差量，T為采樣周期。

2.2 控制器參數(shù)

2.2.1 比例系數(shù)Kp

比例系數(shù)Kp可以成比例地反應(yīng)偏差信號。一旦產(chǎn)生偏差，控制器立即產(chǎn)生控制作用，以減小偏差。增大比例系數(shù)Kp，會加快系統(tǒng)的響應(yīng)速度，減小系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，但過大會使系統(tǒng)產(chǎn)生超調(diào)。 若比例系數(shù)太小，又會使系統(tǒng)的動作遲緩。

2.2.2 積分時間常數(shù)Ti

積分單元主要用于消除誤差，提高系統(tǒng)的無差度。增大積分時間常數(shù)Ti，有利于減小超調(diào)和振蕩，使系統(tǒng)更穩(wěn)定。若積分時間常數(shù)太小會降低系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

2.2.3 微分時間常數(shù)Td

微分單元反應(yīng)偏差量的變化趨勢。微分時間常數(shù)Td偏大或偏小時，系統(tǒng)的超調(diào)量都較大，調(diào)節(jié)時間仍然較長。只有合適的微分時間常數(shù)，才能獲得比較滿意的過渡過程。

從PID控制器參數(shù)的作用可以看出，3個參數(shù)會直接影響控制效果。所以要取得較好的控制效果，就需要對比例、積分、微分3個控制單元進(jìn)行調(diào)節(jié)。

2.3 臨界振蕩方法

早在1942年，Ziegler和Nichols就提出了基于閉環(huán)控制試驗來獲取被控過程模型的特征參數(shù)并用特征參數(shù)確定PID控制器參數(shù)的方法，即ZN閉環(huán)整定方法。PID控制器的ZN閉環(huán)整定方法是一種利用控制系統(tǒng)臨界振蕩特性的方法。由于控制器只在比例控制下，系統(tǒng)臨界振蕩特性直接能反應(yīng)被控過程的動態(tài)特性，因此臨界振蕩特性參數(shù)可直接當(dāng)作被控過程的數(shù)學(xué)模型來使用。

基于臨界振蕩閉環(huán)試驗的PID控制器參數(shù)整定公式如表1所示。表中Ku為臨界振蕩時控制器比例增益，Tu為控制系統(tǒng)臨界振蕩周期。

表1 基于臨界振蕩閉環(huán)試驗的PID控制器參數(shù)整定ZN公式

用臨界振蕩法整定PID參數(shù)的步驟如下：

1）將控制器的積分時間常數(shù)置于最大(Ti=∞)，微分時間常數(shù)Td置零(Td=0)，比例系數(shù)Kp置為適當(dāng)?shù)闹?，使系統(tǒng)進(jìn)入穩(wěn)定運行。

2）將比例增益Kp逐漸增大，直至得到等幅振蕩，記下此時的臨界增益Ku和臨界振蕩周期Tu值。

3）根據(jù)Ku和Tu值，按照表1中的參數(shù)整定公式和公式（2），計算得出控制器各個參數(shù)，即Kp、Ki和Kd的值。

3 仿真及實驗

3.1 PCR儀變溫系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

在PCR變溫系統(tǒng)中采用半導(dǎo)體致冷片（Thermoelectric Cooler，TEC）進(jìn)行加熱和制冷。它與傳統(tǒng)的加熱、制冷方式略有不同，具有雙向工作的特性，加熱和制冷面的工作狀態(tài)與工作電流的極性相關(guān)，可實現(xiàn)一體加熱、制冷兩種操作。

在PCR 儀變溫系統(tǒng)中，半導(dǎo)體制冷片產(chǎn)生或吸收熱量，試管、試液及樣品塊組成的系統(tǒng)吸收或釋放熱量。假定試管和試液組成系統(tǒng)的溫度在橫截面上均勻分布，可以對系統(tǒng)進(jìn)行一維傳熱簡化，同一截面上的溫度相同。假設(shè)試管和試液的系統(tǒng)總熱容為C，則根據(jù)傳熱學(xué)方程可得：

其中，Tc為樣品塊溫度，假設(shè)樣品塊溫度與半導(dǎo)體制冷片表面溫度相等，Qc為樣品塊與周圍發(fā)生熱交換的熱量，Q為加熱（或制冷）時半導(dǎo)體制冷片流向樣品塊的熱量。由半導(dǎo)體制冷片的熱電效應(yīng)的熱量產(chǎn)生公式可知，在恒電流I作用下，半導(dǎo)體制冷片的純制熱量為:

純制冷量為：

其中，αab是塞貝克系數(shù)，與材料有關(guān)，R是半導(dǎo)體制冷片電阻，K是半導(dǎo)體制冷片的總電導(dǎo)。由式（4）或式（5）可知，Q與I是非線性的關(guān)系，如果I產(chǎn)生增量ΔI，相應(yīng)的Q產(chǎn)生增量ΔQ，又因為系統(tǒng)是遲滯系統(tǒng)，所以可以認(rèn)為Tc不變。將式（4）和式（5）在I處用泰勒級數(shù)展開，可得:

式中: f是Q與I之間的方程，當(dāng)ΔI非常小時，可以忽略式（6）中2次方及2次方以上的項，則式（6）可簡化為:

由傳熱學(xué)原理可知，假設(shè)樣品塊的熱阻為Θ ，則樣品塊的熱損失為:

當(dāng)半導(dǎo)體制冷片在單位時間內(nèi)加熱（或制冷）的過渡過程中有增量:

將式（7）、式（8）、式（9）代入式（3）中可得微分方程為:

上式就是PCR儀變溫系統(tǒng)的簡化數(shù)學(xué)模型，在兩邊做拉普拉斯變化即可得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為:

式中: K=K0Θ ，T=CΘ 。考慮到樣品塊與試管、試管與試液之間傳熱導(dǎo)致的溫度滯后，在式（11）中加入一個延遲時間τ，則PCR儀變溫系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為:

實際工程中，大多數(shù)的溫度控制對象都被描述成一階慣性滯后系統(tǒng)。

3.2 PID參數(shù)整定仿真

根據(jù)上一節(jié)中的PCR儀變溫系統(tǒng)的傳遞函數(shù)公式，不失一般性，本文取K=5，T=10，τ=2。則該變溫系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：

利用MATLAB軟件，在Simulink中搭建傳遞函數(shù)為式（13）的系統(tǒng)控制框圖。并按照臨界振蕩法對該系統(tǒng)的PID參數(shù)進(jìn)行整定。

1）搭建系統(tǒng)方框圖

圖2 系統(tǒng)模型框圖

2）臨界振蕩法整定PID

參照臨界振蕩法整定PID參數(shù)的步驟，逐步增大比例增益Kp。在Simulink環(huán)境下實現(xiàn)的方法是：先選取較大的比例增益Kp，使系統(tǒng)出現(xiàn)不穩(wěn)定的增幅振蕩；再采用折半取中的方法尋找臨界增益，若系統(tǒng)依舊是不穩(wěn)定的增幅振蕩，則繼續(xù)取中值直至出現(xiàn)減幅振蕩，此時應(yīng)加大Kp值來尋找臨界增益值。當(dāng)Kp=1.7時系統(tǒng)出現(xiàn)等幅振蕩，因此臨界增益Ku=1.7。再從等幅振蕩圖中讀出臨界振蕩周期Tu=7.5，最后再根據(jù)表1中PID參數(shù)整定公式求出：Kp=1.02，Ti=3.75，Td=0.9375。結(jié)合公式（2）可以得出：比例系數(shù)Kp=1.02，積分系數(shù)Ki=0.272，微分系數(shù)Kd=0.95625。

圖3 等幅振蕩的階躍響應(yīng)曲線

將整定后的參數(shù)代入到Simulink的系統(tǒng)模型中對應(yīng)的增益中，可以繪制出系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線。對整定后的參數(shù)進(jìn)行校正，適當(dāng)?shù)亟档头e分系數(shù)Ki，可以減小系統(tǒng)的超調(diào)量和系統(tǒng)地過渡過程時間。如圖4所示。由此可知，采用臨界振蕩法對PID參數(shù)整定，可以使系統(tǒng)較為快速的達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，同時也說明該控制合理有效。

圖4 臨界振蕩法整定的系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線

3.3 實驗整定

在PCR儀控制程序中加入PID算法，按照臨界振蕩步驟對三個參數(shù)進(jìn)行整定。將系統(tǒng)的穩(wěn)定溫度設(shè)為60℃，在系統(tǒng)的目標(biāo)距離目標(biāo)溫度5℃之內(nèi)開始進(jìn)行PID控制，之前采用全功率加熱，并實時記錄系統(tǒng)的溫度。從記錄器中取出變溫系統(tǒng)的溫度數(shù)據(jù)導(dǎo)入計算機中，并繪出溫度曲線圖。逐步增大比例增益Kp，Ki和Kd設(shè)為0。繪制溫度曲線如圖5所示。

圖5 穩(wěn)態(tài)溫度曲線圖

當(dāng)Kp=50000時，變溫系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差最小，并且誤差基本控制在目標(biāo)溫度±1℃之間，因此選擇Ku為50000，從圖5中得出振蕩周期Tu=2.74s。根據(jù)表1中的參數(shù)整定公式和公式（2）可以得出PID控制器的三個參數(shù)，Kp=30000、Ki=1094.59、Kd=205500，其中采樣周期T=0.05s。 把整定后的參數(shù)寫入程序中，對PCR儀的變溫系統(tǒng)進(jìn)行控制，得到溫度曲線，如圖6所示。

圖6 PID控制溫度曲線圖

從圖6中可以看出，臨界振蕩法整定后的PID參數(shù)對PCR儀變溫系統(tǒng)的溫度控制效果良好，溫度上升速率較快，大于3℃/s，溫度控制精度不大于0.1℃，超調(diào)量相對較大。因此，對整定后的參數(shù)進(jìn)行校正，減小積分系數(shù)Ki，實驗證明可以減小系統(tǒng)的超調(diào)量和過渡過程時間。

4 結(jié)語

本文采用臨界振蕩法對PCR儀變溫系統(tǒng)的PID控制進(jìn)行參數(shù)整定，并對PCR儀變溫系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型和傳遞函數(shù)進(jìn)行推導(dǎo)構(gòu)造。在系統(tǒng)的傳遞函數(shù)基礎(chǔ)上加載PID算法，在MATLAB環(huán)境下進(jìn)行仿真，證明PID算法對PCR儀溫度控制的有效性。在PCR儀的程序中加入PID算法，按照臨界振蕩法對其參數(shù)進(jìn)行整定，并對整定參數(shù)進(jìn)行適當(dāng)校正，最終可實現(xiàn)實際升溫速率大于3℃/s，溫度控制精度達(dá)到0.1℃，實驗結(jié)果也驗證了該控制方法的有效性。