林晴嵐 陳柳娟 張 潔 黃 勇

（福建教育學(xué)院數(shù)學(xué)研修部，福建 福州 350025）

高考作為落實(shí)立德樹人根本任務(wù)的有效途徑和重要載體，著力凸顯其價(jià)值引領(lǐng)的作用。高考的核心功能是：立德樹人、服務(wù)選才、引導(dǎo)教學(xué)。高考的主要任務(wù)是： 立德樹人“一堂課” 、服務(wù)選才“一把尺” 、引導(dǎo)教學(xué)“一面旗”。通過高考這“一把尺”來把握人才培養(yǎng)和人才選拔規(guī)律，同時(shí)又作為“一面旗”引導(dǎo)一線教師開展教學(xué)活動(dòng)。高考命題要求科學(xué)設(shè)計(jì)考試內(nèi)容，優(yōu)化高考選拔功能，強(qiáng)化能力立意與素養(yǎng)導(dǎo)向，助力推動(dòng)中學(xué)素質(zhì)教育。通過做精高考這“一把尺”，促進(jìn)全面提升高考的育人功能和導(dǎo)向作用，最終達(dá)到“立德樹人、服務(wù)選才、引導(dǎo)教學(xué)”的目的。

一、領(lǐng)會(huì)高中新課標(biāo)與考綱精神

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》（以下簡(jiǎn)稱“高中新課標(biāo)”）明確指出，通過高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生能獲得進(jìn)一步學(xué)習(xí)以及未來發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)（簡(jiǎn)稱“四基”）；提高從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問題的能力（簡(jiǎn)稱“四能”）。通過數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界；會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界；會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)學(xué)教育目標(biāo)。《考試大綱》作為高考命題的標(biāo)準(zhǔn)和規(guī)范性文件，也是指導(dǎo)考生復(fù)習(xí)備考的主要依據(jù)。針對(duì)《考試大綱》的要求和“高中新課標(biāo)”課程內(nèi)容的主題導(dǎo)向，高中數(shù)學(xué)備考教學(xué)應(yīng)以促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)發(fā)展為目標(biāo)，正確把握備考的原則和方向。

通過平面解析幾何單元學(xué)習(xí)，旨在幫助學(xué)生在平面直角坐標(biāo)系中，更清晰認(rèn)識(shí)直線、圓、橢圓、拋物線、雙曲線的幾何特征，建立它們的標(biāo)準(zhǔn)方程；掌握運(yùn)用代數(shù)方法進(jìn)一步認(rèn)識(shí)圓錐曲線的性質(zhì)以及它們的位置關(guān)系，運(yùn)用平面解析幾何方法解決簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問題和實(shí)際問題，感悟平面解析幾何中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想；掌握平面解析幾何解決問題的基本過程：根據(jù)具體問題情境的特點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系；根據(jù)幾何問題和圖形的特點(diǎn)，用代數(shù)語言把幾何問題轉(zhuǎn)化成為代數(shù)問題；根據(jù)對(duì)幾何問題（圖形）的分析，探索解決問題的思路，運(yùn)用代數(shù)方法得到結(jié)論，給出代數(shù)結(jié)論合理的幾何解釋，解決幾何問題；能夠根據(jù)不同的情境，建立平面直線和圓的方程，建立橢圓、拋物線、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；能夠運(yùn)用代數(shù)的方法研究上述曲線之間的基本關(guān)系，能夠運(yùn)用平面解析幾何的思想解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題。重點(diǎn)提升直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。

二、分析近五年高考考情，洞察命題新動(dòng)向

1.近五年全國(guó)高考數(shù)學(xué)I卷解析幾何部分考情分析

從題型看：題目都以兩小題（選擇題或填空題各5分）和一大題（解答題第20題12分）方式呈現(xiàn)；從考查內(nèi)容看：題（選擇題和填空題）側(cè)重對(duì)雙曲線的多角度考察（如：2013年第4題，2014年第4 題，2015年第4題，2016年第5題，2017年第10題），以及對(duì)拋物線的多角度考察（如：2014年第10題，2016年第10 題，2017年第10 題）；大題（解答題）側(cè)重以橢圓和拋物線的相關(guān)綜合知識(shí)背景為主，考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、定點(diǎn)、定值、范圍及探索性問題，對(duì)考生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)以及用數(shù)學(xué)的語言準(zhǔn)確、清晰表達(dá)解決問題的思維過程要求較高，解決此類問題的重要手段，即通法是綜合應(yīng)用一元二次方程根的判別式與韋達(dá)定理。以上各類試題總體突出考查考生的直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理和數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng)。

2.關(guān)注考查熱點(diǎn)，洞察命題新動(dòng)向

對(duì)于直線與圓的考查：從考查題型來看，涉及本專題的題目一般在選擇題、填空題中出現(xiàn)，考查直線的傾斜角與斜率、直線的方程、圓的方程、直線與直線、直線與圓的位置關(guān)系等。從考查內(nèi)容來看，主要考查直線與圓的方程，判斷直線與圓的位置關(guān)系，及直線、圓與其他知識(shí)點(diǎn)相結(jié)合。從考查熱點(diǎn)來看，直線與圓的位置關(guān)系是高考命題的熱點(diǎn)，通過幾何圖形判斷直線與圓的位置關(guān)系，利用代數(shù)方程的形式進(jìn)行代數(shù)化的推理判斷，是對(duì)直線與圓的位置關(guān)系的最好判斷，重點(diǎn)考查了直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理和數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng)。

對(duì)于圓錐曲線的考查：從考查題型來看，涉及本專題的選擇題、填空題，結(jié)合圓錐曲線的定義及其簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，利用直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，通過建立代數(shù)方程求解。解答題中綜合考查橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與橢圓的位置關(guān)系等。從考查內(nèi)容來看，主要考查圓錐曲線的方程，以及根據(jù)方程及其相應(yīng)圖形考查簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，重點(diǎn)是橢圓及拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)的綜合應(yīng)用，注重運(yùn)算求解能力的考查。從考查熱點(diǎn)來看，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系是高考命題的熱點(diǎn)，利用直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，通過直線方程與圓錐曲線方程的聯(lián)立，結(jié)合橢圓、雙曲線、拋物線的定義考查與之有關(guān)的問題，重點(diǎn)考查直觀想象、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng)。

全國(guó)高考數(shù)學(xué)Ⅰ卷中對(duì)解析幾何的考察有“不動(dòng)如山 — 靈動(dòng)如水”的意境。不動(dòng)體現(xiàn)在：命題始終圍繞數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，抓住數(shù)學(xué)思維本質(zhì)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)基本思想運(yùn)用；考查運(yùn)算求解能力、函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、運(yùn)用化歸與轉(zhuǎn)化思想把方程組轉(zhuǎn)化為一元二次方程，利用方程的判別式和韋達(dá)定理最終解決問題。靈動(dòng)體現(xiàn)在：考查載體靈活多變，運(yùn)算的方法和目的多變，數(shù)形結(jié)合的方式多變，平面幾何基本知識(shí)的滲透潤(rùn)物細(xì)無聲。

三、考向分析與備考建議

認(rèn)真研讀《考試大綱》《考試說明》，領(lǐng)悟高考對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、數(shù)學(xué)素養(yǎng)等方面的要求；重視教材的基礎(chǔ)性和示范性作用，貫徹“源于教材，高于教材”的原則；重視考生對(duì)知識(shí)的內(nèi)化、系統(tǒng)化、網(wǎng)絡(luò)化；重視培養(yǎng)考生審題的科學(xué)性、運(yùn)算的準(zhǔn)確性、解題的規(guī)范性、表述的精確性以及解題時(shí)間的分配等，堅(jiān)決克服懂而不會(huì)、會(huì)而不對(duì)、對(duì)而不全、全而不快的現(xiàn)象。重視對(duì)近年高考試題的分析，領(lǐng)會(huì)核心素養(yǎng)怎么考。

1.平面解析幾何初步考向

近幾年高考對(duì)這一部分都以客觀題來考查，如直線、圓的方程的求解及直線與圓的位置關(guān)系的確定，以及與導(dǎo)數(shù)、圓錐曲線等知識(shí)的綜合應(yīng)用。備考時(shí)注重挖掘基礎(chǔ)知識(shí)的能力因素，提高通性通法的扎實(shí)應(yīng)用性，學(xué)會(huì)用代數(shù)方法處理幾何問題，加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸等思想方法的綜合應(yīng)用能力，提升考生的直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理和數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng)。

考向1 直線方程及兩直線的位置關(guān)系

分析：通常會(huì)結(jié)合導(dǎo)數(shù)知識(shí)進(jìn)行考查，如求直線的斜率、傾斜角、切線方程，或與圓、圓錐曲線結(jié)合起來，考查直線與圓、圓錐曲線的位置關(guān)系等。需要考生選擇適當(dāng)?shù)闹本€方程，應(yīng)用待定系數(shù)法對(duì)問題進(jìn)行求解。

考向2 圓的方程及點(diǎn)、直線、圓的位置關(guān)系

分析：常以選擇題與填空題的形式出現(xiàn)，難度較低。兩條不同的直線的位置有平行、相交兩種情況，要求能根據(jù)直線方程判斷兩條直線的位置關(guān)系，利用兩條直線平行、垂直求其中一條直線方程或參數(shù)的取值范圍。圓的方程在高考中有①利用直接法或待定系數(shù)法或動(dòng)點(diǎn)的軌跡確定圓；②利用圓的方程中的圓心坐標(biāo)和半徑；③圓與其他知識(shí)的綜合應(yīng)用。目的是掌握?qǐng)A的實(shí)質(zhì)內(nèi)涵：“心定弦，經(jīng)定大”。

考向3 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系與應(yīng)用綜合問題

分析：考查直線與圓的幾何性質(zhì)主要通過應(yīng)用圓的切線長(zhǎng)、弦長(zhǎng)、圓心、半徑、勾股定理、點(diǎn)到直線的距離、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系等為基本應(yīng)用點(diǎn)，有時(shí)也會(huì)與函數(shù)、不等式交匯命題，運(yùn)算量較大。題型多數(shù)為選擇、填空題，重點(diǎn)考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等核心素養(yǎng)，考查難度屬于中等。

參考案例：若a，t是正數(shù)，直線2ax+by-2=0被圓x2+y2=4截得弦長(zhǎng)為則當(dāng)t取得最大值時(shí)，a的值為（ ）

通過將直線與圓的位置關(guān)系和基本不等式融合在一起，考查轉(zhuǎn)化與化歸的思想及數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)，突出考查點(diǎn)到直線的距離公式、運(yùn)用基本不等式求最值等《考試大綱》中要求掌握的內(nèi)容，難度適中。

2.圓錐曲線考向

圓錐曲線與方程在近幾年的全國(guó)高考卷考查中幾乎都是兩小題一大題，考查方向和重點(diǎn)較穩(wěn)定，小題主要考查圓錐曲線的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)，考查形式主要是給出曲線方程，討論曲線的基本元素和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)；給出曲線滿足的條件（離心率、漸近線等幾何性質(zhì)）求其方程等。大題?？疾閳A錐曲線與直線或圓的聯(lián)立問題；討論直線與曲線、曲線與曲線的關(guān)系；考查圓錐曲線與其他知識(shí)（如函數(shù)、數(shù)列、不等式、向量、導(dǎo)數(shù)等）相結(jié)合的問題等；突出考查考生的直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理和數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng)。

考向1 圓錐曲線的概念及標(biāo)準(zhǔn)方程的考查

分析：數(shù)學(xué)概念是一切數(shù)學(xué)思維之本，而方程是研究解析幾何最根本的工具，通過坐標(biāo)系把點(diǎn)和坐標(biāo)、曲線和方程聯(lián)系起來，實(shí)現(xiàn)形與數(shù)的統(tǒng)一，代數(shù)與幾何統(tǒng)一。所以，對(duì)概念的考查、對(duì)方程的理解的考查都是高考的重點(diǎn)。

考向2 圓錐曲線的幾何性質(zhì)

分析：圓錐曲線的幾何性質(zhì)是對(duì)圓錐曲線最直觀的感受，圓錐曲線的通性如曲線中參數(shù)的取值范圍、對(duì)稱性、離心率以及雙曲線特有的漸近線等都是近幾年高考命題的熱點(diǎn)。

參考案例：設(shè)F1，F(xiàn)2是橢圓E：＞0）的左、右焦點(diǎn)，P為直線上一點(diǎn)，△F1PF2是底角為30°的等腰三角形，則橢圓E的離心率為（ ）

考向3 求圓錐曲線的軌跡方程

分析：主要考查學(xué)生對(duì)圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其相關(guān)性質(zhì)的理解，各題型均有可能出現(xiàn)，較容易。

參考案例：設(shè)圓x2+y2+2x-15=0的圓心為A，直線l過點(diǎn)B（1，0）且不與X軸重合，直線交⊙A于C，D兩點(diǎn)，過點(diǎn)B作AC的平行線交AD于點(diǎn)E.

2）設(shè)點(diǎn)E的軌跡方程為曲線C1，直線交曲線C1于M，N兩點(diǎn)，過點(diǎn)B且與l垂直的直線m與⊙A交于P，Q兩點(diǎn)，求四邊形MPNQ面積的取值范圍。

考向4 直線與圓錐曲線的關(guān)系問題

分析：此類題目難度較大，通常與向量、數(shù)列、三角函數(shù)等知識(shí)相結(jié)合，考查學(xué)生對(duì)圓錐曲線相關(guān)知識(shí)的掌握綜合處理問題的能力，要求學(xué)生有較強(qiáng)的運(yùn)算求解能力。常見的求解方法與策略是結(jié)合題意聯(lián)立方程，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，再結(jié)合直線與圓錐曲線的交點(diǎn)、點(diǎn)到直線的距離、弦長(zhǎng)等逐步破解。

考向5 圓與圓錐曲線的綜合問題

分析：圓錐曲線與圓的性質(zhì)相結(jié)合的試題是高考命題的熱點(diǎn)。如圓上各點(diǎn)到圓心的距離都等于定長(zhǎng)，圓與直線相切時(shí)圓心到直線的距離等于半徑，圓與圓相切時(shí)圓心距等于半徑之和或是之差，常與橢圓或雙曲線甚至拋物線的定義相聯(lián)系。

（1）求點(diǎn)A，B的坐標(biāo)；（2）求△PAB的面積。

考向6 圓錐曲線與向量知識(shí)的綜合問題

分析：平面向量的出現(xiàn)不僅可以明確地反映幾何特征，而且為有效地簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)運(yùn)算提供了很好的工具。解析幾何與平面向量綜合問題有效地考查考生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸、方程思想解決問題的能力。解析幾何與平面向量綜合問題是高考熱點(diǎn)。

參考案例：已知M（x0，y0）是雙曲線C：上的一點(diǎn)，F(xiàn)，F(xiàn)是雙曲線C上的兩個(gè)焦點(diǎn)，12若則y0的取值范圍是（ ）

在幾何問題代數(shù)化的過程中，必然會(huì)帶來繁雜的運(yùn)算，中學(xué)階段對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的要求集中體現(xiàn)在：（1）在運(yùn)算的合理性方面，如坐標(biāo)的選擇、直線方程的選擇等都將直接影響計(jì)算的繁簡(jiǎn)；（2）運(yùn)算的準(zhǔn)確性，在計(jì)算中如果某一環(huán)節(jié)出現(xiàn)問題，就會(huì)導(dǎo)致整個(gè)運(yùn)算的錯(cuò)誤。 因此，教學(xué)過程中要克服重思路、輕運(yùn)算的觀念，要優(yōu)化思維、優(yōu)化運(yùn)算，選擇合理的運(yùn)算途徑。