■河南省信陽高級中學(xué) 王世元

數(shù)學(xué)不僅研究數(shù)字組合、運(yùn)算等代數(shù)問題,而且還研究圖形計算、變換等幾何問題。在幾何計算問題中,圖形除了規(guī)則圖形(如直角三角形、正方形、圓等),還有很多不同的組合圖形。在近幾年的全國高考數(shù)學(xué)試題中,就有相應(yīng)的體現(xiàn)。

圖1

例1 (2 0 1 8年全國Ⅰ卷1 0)圖1來自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形。此圖由三個半圓構(gòu)成,三個半圓的直徑分別為R t△A B C的斜邊B C,直角邊A B,A C。△A B C的三邊所圍成的區(qū)域記為Ⅰ,黑色部分記為Ⅱ,其余部分記為Ⅲ。在整個圖形中隨機(jī)取一點(diǎn),此點(diǎn)取自Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的概率分別記為p1,p2,p3,則 ( )。

表面上看,此題是一個幾何概率計算,實質(zhì)上是幾個規(guī)則平面圖形疊加后的面積計算問題。然而退出數(shù)學(xué)視野之后,這個圖案從形態(tài)上講就具有很美的近似對稱,給人們一種抽象的美感。

例2 (2 0 1 7年全國Ⅰ卷2)如圖2,正方形A B C D內(nèi)的圖形來自中國古代的太極圖。正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對稱。在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn),則此點(diǎn)取自黑色部分的概率是( )。

太極圖是研究周易學(xué)原理的一張重要的圖像。太有至的意思,極有極限之義,就是至于極限,無有相匹之意。既包括了至極之理,也包括了至大至小的時空極限,放之則彌六合,卷之退藏于心?？梢源笥谌我饬慷荒艹綀A周和空間,也可以小于任意量而不等于零或無。簡潔的幾何圖案中匯集著深邃的數(shù)學(xué)思想和哲學(xué)道理,無不讓人感嘆至深。

圖2

世界數(shù)學(xué)中許許多多抽象的圖形只要被發(fā)現(xiàn)、研究和理解,都可以轉(zhuǎn)化為僅存于世的數(shù)學(xué)文化真跡,常見于選拔性數(shù)學(xué)文化試題或應(yīng)用于實際的生產(chǎn)與生活中,給人們以抽象的藝術(shù)美感。

跟蹤練習(xí)：

1.求出圖3～圖6中陰影部分的面積表達(dá)式。

圖3

圖4

圖5

圖6

2.圖7所示的是古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德的墓碑,墓碑上刻著一個圓柱,圓柱內(nèi)有一個內(nèi)切球,這個球的直徑恰好與圓柱的高相等,相傳這個圖形表達(dá)了阿基米德最引以為自豪的發(fā)現(xiàn)。我們來重溫這個偉大的發(fā)現(xiàn),圓柱的體積與球的體積之比和圓柱的表面積與球的表面積之比分別為( )。

圖7

答案解析：

圖8

(2)如圖9,S陰影=S扇形ABE-S扇形MBN。

圖9

(3)如 圖 1 0,S陰影=S半圓AC+S半圓BCS△A C B。

圖1 0

(4)如圖1 1,S陰影=S正方形PCQE。

圖1 1

2.設(shè)球的半徑為R,則圓柱的底面半徑為R,高為2R,所以V圓柱=πR2×2R=2 πR3,

S圓柱=2 πR×2R+2×πR2=6 πR2,S球=

故選C。