歐杰

摘 要 凸輪廓線反求時(shí)，測(cè)量噪聲嚴(yán)重影響了反求的精度和廓線的光順等方面。利用小波分析，選用合適的參數(shù)可有效去除噪聲。通過把五次多項(xiàng)式疊加白噪聲作為原始的凸輪廓線含噪信號(hào)，應(yīng)用MATLAB軟件進(jìn)行去噪試驗(yàn)仿真，得出了凸輪廓線反求信號(hào)小波去噪的一般步驟和重要參數(shù)的選取方法。

關(guān)鍵詞 小波分析；凸輪反求；去噪

前言

凸輪反求時(shí)，無論是采用接觸式還是非接觸式的數(shù)據(jù)獲取，都不可避免地在真實(shí)數(shù)據(jù)點(diǎn)中混有不合理的噪聲，嚴(yán)重影響凸輪廓線擬合精度、曲線光順等反求的后續(xù)環(huán)節(jié)，所以必須對(duì)噪聲進(jìn)行去除。

傳統(tǒng)的傅立葉變換只能分別從時(shí)域或頻域分析信號(hào)，不能給出信號(hào)在某個(gè)時(shí)間點(diǎn)上的頻率變化情況，不適合非平穩(wěn)信號(hào)的去噪。小波分析具有多分辨率分析的特點(diǎn)，是一種窗口大小固定但形狀可變，時(shí)間窗和頻率窗都可以改變的時(shí)頻局部化分析方法，在時(shí)頻兩域都具有表征信號(hào)局部特征的能力，被譽(yù)為分析信號(hào)的顯微鏡[1]，特別適用于實(shí)際應(yīng)用中常見的非穩(wěn)定信號(hào)。

1 小波去噪的方法和步驟

小波去噪方法，從大的方面來說可以分為四類[2]：①基于小波變換模極大值原理去噪：去噪性能較為穩(wěn)定，可有效地保留信號(hào)的奇異點(diǎn)信息，特別適合低信噪比的信號(hào)去噪；但存在小波系數(shù)重構(gòu)的問題，計(jì)算量大，且分解層數(shù)的選擇對(duì)去噪效果影響很大。②基于相關(guān)性原理去噪：適合高信噪比信號(hào)去噪，在分析信號(hào)的邊緣方面具有優(yōu)勢(shì)；但計(jì)算量較大，需要進(jìn)行多次迭代，還需估計(jì)噪聲方差才能設(shè)定適當(dāng)?shù)拈撝?。③Donoho等提出的閾值方法：計(jì)算量最小，噪聲幾乎完全得到抑制，且反映原始信號(hào)的特征尖峰點(diǎn)可得到很好的保留。但在信號(hào)的不連續(xù)點(diǎn)處，去噪后會(huì)出現(xiàn)偽吉布斯現(xiàn)象；閾值的選取對(duì)去噪效果有很大的影響，且閾值的選取方法很多，需根據(jù)具體情況選取合適的閾值。④平移不變量小波去噪：是閾值法的改進(jìn)，可有效地去除閾值去噪中的偽吉布斯現(xiàn)象，缺點(diǎn)是計(jì)算速度沒有閾值法快。凸輪廓線反求時(shí)，噪聲較小，且廓線是連續(xù)的，綜合比較后我們采用閾值去噪法進(jìn)行去噪。

噪聲，特別是隨機(jī)噪聲，從頻譜上看是一種具有較高頻率的信號(hào)，去噪的目的就是通過一定的方法去除這類信號(hào)。凸輪廓線反求信號(hào)的小波閾值去噪過程一般可分為三步[3]：

（1）信號(hào)的小波分解：選擇合適的小波基函數(shù)和分解層數(shù)對(duì)信號(hào)進(jìn)行小波分解。小波分析具有多分辨率特性，其多分辨分析只對(duì)低頻部分進(jìn)行進(jìn)一步分解，而高頻部分則不予考慮，使頻率的分辨率越來越高。分解的最終目的是力求構(gòu)造一個(gè)在頻率上高度逼近平方可積函數(shù)空間的正交小波基，這些分辨率不同的正交小波基相當(dāng)于帶寬各異的帶通濾波器。

（2）小波分解高頻系數(shù)的閾值量化處理：對(duì)各個(gè)分解層數(shù)下的高頻系數(shù)選擇一個(gè)閾值進(jìn)行閾值量化處理。MATLAB軟件中有硬閾值和軟閾值兩種閾值函數(shù)。硬閾值法可以保留信號(hào)的特征，但會(huì)產(chǎn)生附加振蕩，光滑性差；軟閾值法得到的小波系數(shù)整體連續(xù)性好，去噪信號(hào)相對(duì)平滑，不會(huì)產(chǎn)生附加振蕩。我們采用軟閾值法進(jìn)行去噪試驗(yàn)仿真。

（3）信號(hào)的小波重構(gòu)：根據(jù)小波分解的低頻系數(shù)和經(jīng)量化處理后的各層高頻系數(shù)進(jìn)行一維小波重構(gòu)，可由MATLAB軟件提供的合成重構(gòu)函數(shù)實(shí)現(xiàn)。

2 去噪仿真試驗(yàn)分析

凸輪廓線反求時(shí)，測(cè)量噪聲一般都集中在真實(shí)信號(hào)附近，采用五次多項(xiàng)式疊加白噪聲：

作為原始的凸輪廓線含噪信號(hào)，式（1）中x表示含噪信號(hào)，t為時(shí)間序列，e（t）為白噪聲。應(yīng)用MATLAB軟件進(jìn)行去噪試驗(yàn)仿真，采用信噪比SNR（signal to noise ratio）、均方根誤差RMSE（root mean square error） [4]和相當(dāng)于凸輪線輪廓度誤差的峰值誤差PE（peak error）作為去噪評(píng)價(jià)指標(biāo)。SNR值越大，RMSE和PE值越小，去噪效果越好。

2.1 分解層數(shù)的選擇

噪聲具有一定的頻帶寬度，存在于一定范圍的尺度參數(shù)的分解結(jié)果中。分解層數(shù)與含噪信號(hào)的信噪比SNR有關(guān)，且分解層數(shù)越大，越有利于信噪分離；但分解層數(shù)越多，重構(gòu)誤差也越大。故須選擇合適的分解層數(shù)，既保證噪聲得到盡可能多的去除，又要使計(jì)算量最少。對(duì)式（1）進(jìn)行五層小波分解，選用不同的分解層數(shù)，采用sym3函數(shù)啟發(fā)式閾值軟閾值小波自動(dòng)去噪。結(jié)果表明，分解層數(shù)取1時(shí)去噪效果最好。

2.2 小波基函數(shù)的選擇

小波去噪時(shí)基函數(shù)的選擇具有多樣性，選用不同的小波基函數(shù)會(huì)產(chǎn)生不同的去噪結(jié)果，所以對(duì)凸輪廓線反求信號(hào)去噪時(shí)，必須選擇最優(yōu)小波基。但最優(yōu)小波基的選擇問題仍是小波分析應(yīng)用的一個(gè)世界性的難點(diǎn)，目前還沒有統(tǒng)一的選取準(zhǔn)則，基本上是根據(jù)小波基函數(shù)形狀與去噪信號(hào)形狀的相似度及仿真結(jié)果對(duì)比選取。通過對(duì)各種小波的性質(zhì)比較，選取不同的小波基函數(shù)進(jìn)行一層小波分解，采用啟發(fā)式閾值軟閾值去噪，各去噪效果如表1所示，結(jié)果表明，sym3基函數(shù)去噪效果最好。

2.3 閾值的選取

小波去噪的三個(gè)步驟中，最關(guān)鍵的就是如何選取閾值和如何進(jìn)行閾值的量化處理，在一定程度上直接關(guān)系到凸輪廓線去噪的質(zhì)量。MATLAB軟件給出了四種閾值選擇方法[5]：固定閾值、自適應(yīng)閾值、啟發(fā)式閾值和極大極小閾值。當(dāng)信號(hào)只有少量的高頻系數(shù)位于噪聲范圍內(nèi)時(shí)，極大極小閾值和自適應(yīng)閾值不任意丟失真實(shí)信號(hào)成分，可以將弱小的信號(hào)提取出來。另外兩種閾值選取準(zhǔn)則則可以更有效地去除噪聲，但有可能將有用信號(hào)的高頻部分當(dāng)作噪聲除去。選用不同閾值，分解層數(shù)取1，采用sym3小波基函數(shù)軟閾值小波去噪，各去噪效果如表2所示，結(jié)果表明，自適應(yīng)閾值和啟發(fā)式閾值去噪效果一樣，但啟發(fā)式閾值是一種折中的選擇，故選取啟發(fā)式閾值去噪。

選擇sym3小波基函數(shù)、分解層數(shù)取1及使用啟發(fā)式閾值軟閾值去噪信號(hào)與原始含噪信號(hào)比較，局部放大圖如圖1所示，其中實(shí)線表示含噪信號(hào)，虛線表示小波去噪信號(hào)，可以看出，利用小波分析可以有效去除噪聲。

3 結(jié)束語

在凸輪廓線反求信號(hào)的小波去噪處理中，選用不同的去噪方法、小波基函數(shù)、分解層數(shù)、去噪閾值和閾值量化方法都直接影響著信號(hào)去噪處理的質(zhì)量。通過對(duì)五次多項(xiàng)式疊加白噪聲作為原始的凸輪廓線反求含噪信號(hào)，應(yīng)用MATLAB軟件進(jìn)行去噪試驗(yàn)仿真，得出了小波去噪的一般步驟和重要參數(shù)的選取方法。當(dāng)對(duì)不同凸輪廓線信號(hào)去噪時(shí)，只須比較不同參數(shù)的去噪效果，選擇最佳去噪?yún)?shù)，便可高精度的實(shí)現(xiàn)凸輪廓線反求。

參考文獻(xiàn)

[1] 吳瑞蘭.小波閾值去噪的性能分析及基于能量元的小波閾值去噪方法研究[D].杭州：浙江大學(xué)，2003.

[2] 李奇敏.小波技術(shù)在反求工程中的若干應(yīng)用[D].杭州：浙江大學(xué)，2006.

[3] 飛思科技產(chǎn)品研發(fā)中心.小波分析理論與MATLAB7實(shí)現(xiàn)[M].北京：電子工業(yè)出版社，2005：17-23.

[4] 潘洋宇.面向逆向工程的小波技術(shù)研究與應(yīng)用[D].南京：南京理工大學(xué)，2006.

[5] 胡廣書.現(xiàn)代信號(hào)處理教程[M].北京：清華大學(xué)出版社，2004：31.