張立強(qiáng)　遲明雨　于梅菊

摘要：本文針對(duì)美國(guó)匹茲堡市每月的盜竊犯罪數(shù)據(jù)，利用幾類常見的一階整值時(shí)間序列模型對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，根據(jù)AIC和BIC標(biāo)準(zhǔn)，結(jié)果表明負(fù)二項(xiàng)的INAR（1）模型擬合效果是最優(yōu)的，最后基于負(fù)二項(xiàng)的INAR（1）模型給出了該組數(shù)據(jù)的預(yù)測(cè)。

關(guān)鍵詞：整值時(shí)間序列；INAR（1）模型；擬合；預(yù)測(cè)

在現(xiàn)實(shí)生活中，我們經(jīng)常能夠遇到有關(guān)計(jì)數(shù)的數(shù)據(jù)，例如某地區(qū)某種傳染病每月的患病人數(shù)，商場(chǎng)中某種產(chǎn)品每天的銷售件數(shù)，某種珍稀物種每年的存活數(shù)，某轄區(qū)每月發(fā)生的犯罪數(shù)等等。此類數(shù)據(jù)的共同特點(diǎn)是均取非負(fù)整數(shù)值，因此，建模的方法與通常取連續(xù)值的時(shí)間序列有很大的不同，研究的過程中也存在著更多的困難.關(guān)于整值時(shí)間序列的研究最早始于上世紀(jì)的80年代，發(fā)展至今，大致上分為稀疏模型和狀態(tài)空間模型兩大類，其中尤以稀疏模型的研究最為普遍。最早的也是應(yīng)用最廣的稀疏模型是INAR（1）模型，它是在傳統(tǒng)的一階自回歸模型AR（1）的基礎(chǔ)上將所有的乘法運(yùn)算替換為二項(xiàng)稀疏運(yùn)算“°”而得到的。近些年來，有關(guān)二項(xiàng)稀疏算子推廣的研究從未間斷過，隨著各種各樣新的稀疏算子的出現(xiàn)，越來越多的稀疏模型被提出來，更多的關(guān)于利用稀疏算子建模的問題可以參考文獻(xiàn)Weiβ（2008）[1]和Scotto et al. （2015）[2]。本文以美國(guó)匹茲堡市第28區(qū)每月的盜竊犯罪數(shù)據(jù)為例，擬用三種常用的一階整值自回歸模型對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，通過分析比較，選取擬合效果最好的模型對(duì)該數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)。

1 廣義INAR（1）模型的定義及性質(zhì)

2 美國(guó)匹茲堡市盜竊數(shù)據(jù)的分析與預(yù)測(cè)

在本節(jié)中，我們利用上面的三種模型去分析一組關(guān)于盜竊的數(shù)據(jù)（http：//www.forecastingprinciples.com/Crime/crime%20data.htmalHYPERLINK"http：//www.forecastingprinciples.com/Crime/crime%20data.htmal"），該數(shù)據(jù)記錄了從1990年1月至2001年12月美國(guó)匹茲堡市第28區(qū)每月的盜竊數(shù)量，其樣本均值為5.889，樣本方差為9.148，圖1給出了該組數(shù)據(jù)的樣本路徑圖、自相關(guān)函數(shù)（ACF）圖和偏自相關(guān)函數(shù)（PACF）圖。從圖中可以發(fā)現(xiàn)延遲為1的自相關(guān)系數(shù)是0.332，且自相關(guān)圖大致呈現(xiàn)出一種指數(shù)衰減趨勢(shì)，因此我們判斷這組數(shù)據(jù)可能來自于一個(gè)INAR（1） 過程。

首先，我們分別利用上面的三種模型去擬合該組數(shù)據(jù)，然后用條件極大似然（CML）的方法去估計(jì)模型中的未知參數(shù)（α，λ）′。為了評(píng)價(jià)擬合的效果，我們選用赤池信息準(zhǔn)則（AIC）、貝葉斯信息準(zhǔn)則（BIC）和觀察值與預(yù)測(cè)值之差的均方根（RMS）來進(jìn)行衡量，具體結(jié)果總結(jié)在下表中。從表下我們發(fā)現(xiàn)模型Ⅱ的AIC值、BIC值和RMS值均最小，因此得到模型Ⅱ?qū)υ摻M數(shù)據(jù)的擬合效果是最好的。在時(shí)間序列里一個(gè)通常的構(gòu)造預(yù)測(cè)的方法是利用條件期望，因?yàn)閺臈l件期望出發(fā)構(gòu)造出的預(yù)測(cè)具有最小的均方誤差[4]。最后我們基于模型Ⅱ?qū)l件期望的取整作為犯罪數(shù)據(jù)的預(yù)測(cè)，預(yù)測(cè)結(jié)果如圖2所示。從圖2中我們可以看出，利用模型Ⅱ?qū)υ摻M犯罪數(shù)據(jù)的擬合效果是比較好的，基本上能夠刻畫數(shù)據(jù)的變化的趨勢(shì)。

3 結(jié)語(yǔ)

在大數(shù)據(jù)的背景下，科學(xué)的犯罪預(yù)測(cè)方法可以高效地幫助公安機(jī)關(guān)利用歷史的數(shù)據(jù)及時(shí)地預(yù)測(cè)犯罪活動(dòng)的趨勢(shì)和社會(huì)治安的走向。本文以美國(guó)匹茲堡市每月的盜竊數(shù)據(jù)為例，給出了基于一階整值時(shí)間序列的犯罪數(shù)據(jù)的分析與預(yù)測(cè).為大數(shù)據(jù)下，利用數(shù)據(jù)分析和建模技術(shù)來預(yù)測(cè)犯罪提供了一種可行的思想和方法。

參考文獻(xiàn)：

[1]Wei，C H. Thinning operations for modeling time series of countsa survey [J].Asta Advances in Statistical Analysis，2008，92，319343.

[2]Scotto， M.G， Wei， C H， Gouveia， S. Thinningbased models in the analysis of integervalued time series： a review [J].Statistical Modelling，2015，15，590618.

[3]Gauthier， G and Latour， A. Convergence forte des estimateurs des paramètres d'un processus GENAR（p） [J].Annales des Sciences Mathematiques du Quebec，1994，18，4971.

[4]何書元，應(yīng)用時(shí)間序列分析[M].北京：北京大學(xué)出版社，2003.

基金項(xiàng)目：吉林省大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓(xùn)練計(jì)劃（項(xiàng)目編號(hào)：201710202013）

*通訊作者：于梅菊，通化師范學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院講師。