熊仕勇，陳春俊，劉新廠，同曉雅

（西南交通大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，四川 成都 610031）

1 引言

數(shù)字濾波技術(shù)在軌道不平順檢測(cè)信號(hào)處理中的應(yīng)用極為重要，為了實(shí)時(shí)精確地獲得軌道不平順幾何狀態(tài)，鐵路發(fā)達(dá)國(guó)家已研制出了屬于自己的軌檢系統(tǒng)，雖然他們所設(shè)計(jì)的系統(tǒng)檢測(cè)原理各不相同，但對(duì)信號(hào)的采樣方式均采用等間隔的空間采樣，并都設(shè)計(jì)出了具有不同類型的數(shù)字濾波器來(lái)消除速度因子對(duì)檢測(cè)結(jié)果的影響[3]。

我國(guó)的軌檢系統(tǒng)大多采用了慣性基準(zhǔn)法，該系統(tǒng)廣泛采用模擬、數(shù)字混合濾波技術(shù)對(duì)信號(hào)進(jìn)行處、理，來(lái)自于傳感器的模擬信號(hào)先通過(guò)模擬抗混疊濾波器，然后經(jīng)過(guò)采樣、量化進(jìn)入計(jì)算機(jī)，隨后進(jìn)行數(shù)字濾波處理，由于該系統(tǒng)采用空間等間隔采樣，所以模擬抗混疊濾波器的空間域幅頻特性會(huì)隨著速度的變化而移變，而數(shù)字移變補(bǔ)償濾波器的設(shè)計(jì)主要是與模擬抗混疊濾波器形成級(jí)聯(lián)關(guān)系，使得整個(gè)系統(tǒng)在空間域內(nèi)具有不變的頻率特性，從而消除速度因子的影響[1]。荷蘭的BMS軌道檢測(cè)系統(tǒng)也采用了慣性基準(zhǔn)測(cè)量原理，為了能高速無(wú)畸變檢測(cè)，其設(shè)計(jì)出了一個(gè)4階巴特沃斯高通濾波器，在BMS系統(tǒng)中利用雙線性變換法將時(shí)域低通數(shù)字濾波轉(zhuǎn)換為具有頻率選擇能力的空間域高通濾波器。英國(guó)的高速檢測(cè)系統(tǒng)也是利用慣性基準(zhǔn)法，其設(shè)計(jì)出了一個(gè)5階的高通濾波器。其設(shè)計(jì)過(guò)程是在時(shí)域設(shè)計(jì)，在模擬域通過(guò)頻率變換完成空間域?yàn)V波器設(shè)計(jì)[1]。

文獻(xiàn)[1]中設(shè)計(jì)出了對(duì)應(yīng)數(shù)字濾波器來(lái)消除這種因速度引起的信號(hào)衰減特性，但是它對(duì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)過(guò)程相當(dāng)繁瑣，想設(shè)計(jì)出一個(gè)高階補(bǔ)償濾波器就很困難，文獻(xiàn)[3]中所設(shè)計(jì)的2階移變補(bǔ)償濾波器也是消除因速度引起的信號(hào)衰減特性，文中計(jì)算過(guò)程也是很繁瑣，從計(jì)算過(guò)程來(lái)看不夠理想精確，同樣，難以用該方法設(shè)計(jì)出一個(gè)高階的補(bǔ)償濾波器。綜合目前軌道不平順檢測(cè)中數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)應(yīng)用，文中在分析了軌檢系統(tǒng)中移變補(bǔ)償濾波器的理論及設(shè)計(jì)方法基礎(chǔ)上，簡(jiǎn)單分析了列車運(yùn)行速度影響檢測(cè)結(jié)果的作用機(jī)理[2]，并針對(duì)高階移變補(bǔ)償濾波器設(shè)計(jì)，給出了任意階移變補(bǔ)償濾波器的設(shè)計(jì)方法，推導(dǎo)出了任意階移變補(bǔ)償濾波器傳遞函數(shù)的系數(shù)計(jì)算公式。最后通過(guò)實(shí)際軌道檢測(cè)試驗(yàn)，驗(yàn)證了補(bǔ)償濾波算法及計(jì)算公式的正確性，取得了滿意的效果。

2 模擬濾波器移變分析

2.1 原始信號(hào)的模擬預(yù)處理

我國(guó)的軌檢車廣泛應(yīng)用了模擬、數(shù)字混合濾波技術(shù)。在原始信號(hào)的采集過(guò)程中，由于軌道不平順信號(hào)的頻帶范圍寬，信號(hào)傳輸過(guò)程外界因素干擾等，所以在離散化前必須進(jìn)行模擬低通抗混疊濾波。我國(guó)研制的GJ-4型軌檢車的高低不平順檢測(cè)系統(tǒng)中，車體左右垂向加速度通道采用了二階巴特沃斯低通模擬濾波器，其傳遞函數(shù)形式為：

式中：a—常數(shù)。

該濾波器在時(shí)間域上是具有固定截止頻率的低通濾波器，將其應(yīng)用于等間隔的空間采樣必然導(dǎo)致其在空間域上的帶寬不恒定，下面分析其在空間域的帶寬移變機(jī)理。

2.2 模擬濾波器移變機(jī)理

由時(shí)域頻率Ω與空域頻率Ψ之間的關(guān)系Ω=2πΨv可知（1）式模擬濾波器的空域傳遞函數(shù)，式中：v—列車行駛速度（m·s-1）：

當(dāng)列車速度為 20km·h-1、40km·h-1、120km·h-1時(shí)，其空間域的幅頻特性，如圖1所示。橫坐標(biāo)是空間頻率m-1。

圖1 F（s）的空域頻譜特性Fig.1 Spatial Spectrum Characteristics of F（s）

從圖1可以看出隨著軌檢車速度的變化，模擬濾波器的空域頻率特性不能保持恒定的帶寬，當(dāng)車速為20km·h-1時(shí)，可知該模擬濾波器的空間域3分貝衰減截止頻率為0.32m-1，當(dāng)車速為120km·h-1時(shí)，可知該模擬濾波器的空間域3分貝衰減截止頻率為0.09m-1，可見(jiàn)，隨著軌檢車運(yùn)行速度的不斷提高，在時(shí)域具有固定截止頻率的模擬抗混疊濾波器在空間域?qū)π盘?hào)具有移變衰減特性，這種衰減特性嚴(yán)重影響檢測(cè)結(jié)果，下面所設(shè)計(jì)的移變補(bǔ)償濾波器正是為了補(bǔ)償其移變特性，使得模擬數(shù)字混合系統(tǒng)傳遞函數(shù)在空間域具有恒定帶寬和不變的幅頻特性，并針對(duì)目前對(duì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)過(guò)程繁瑣，難以設(shè)計(jì)出一個(gè)高階的補(bǔ)償濾波器問(wèn)題，將得到一個(gè)任意階次的補(bǔ)償濾波器傳遞函數(shù)計(jì)算公式，通過(guò)該公式可以很快的計(jì)算出需要任意階次的數(shù)字補(bǔ)償濾波器。

3 任意階移變補(bǔ)償濾波器設(shè)計(jì)

上一節(jié)分析了模擬抗混疊濾波器的移變機(jī)理，知道了其在空間域的幅頻特性是隨著列車速度的變化而變化，那么移變補(bǔ)償濾波器也要求在空間域的頻率特性是移變的。采用單一參數(shù)控制的方法實(shí)現(xiàn)這種可變截止頻率的數(shù)字濾波器，由于模擬濾波器的移變因子是列車的行駛速度，那么相應(yīng)的移變補(bǔ)償濾波器的參數(shù)也是僅隨列車速度的變化而移變的。

設(shè)時(shí)域抗混疊模擬濾波器的傳遞函數(shù)為B（s），則其時(shí)域率特性為B（jΩ）；假設(shè)數(shù)字移變補(bǔ)償濾器的傳遞函數(shù)為D（z），則其空域頻率特性為D（ejω），由于數(shù)字角頻率ω=ΩTi（式中：Ti—相鄰采樣點(diǎn)間的時(shí)間間隔），根據(jù)時(shí)域頻率Ω與空域頻率Ψ之間的關(guān)系Ω=2πΨv式可得ω=2πΨvTi=2πΨLs。式中：Ls—空間相鄰采樣點(diǎn)的采樣間隔，這里取0.25m。由此可得數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)目標(biāo)式為：

根據(jù)設(shè)計(jì)目標(biāo)，下面介紹設(shè)計(jì)任意階數(shù)字移變補(bǔ)償濾波器。設(shè)任意階抗混疊模擬濾波器的傳遞函數(shù)為：

根據(jù)實(shí)時(shí)性要求，采樣量化與舍入誤差等因素的影響，確定用來(lái)補(bǔ)償Bn（s）移變特性的數(shù)字濾波器的形式為N階的FIR濾波器：

根據(jù)式（3）的設(shè)計(jì)目標(biāo)及模擬域頻率與數(shù)字域頻率的映射關(guān)系z(mì)=esT=esLS/v有：

令 s=0，s1，s2，…，sn-1，sn為式（4）的 n 個(gè)極點(diǎn)。為了求解式（6），令 s=0，s1，s2，…，sn-1，sn利用零極點(diǎn)相消可得（n+1）個(gè)方程，其矩陣形式為：

式（7）可寫(xiě)為AB=C，則B=A-1C，利用數(shù)學(xué)歸納法解得：

例如當(dāng)n=4，k=2時(shí)：

利用（8）式，可計(jì)算出（1）式中二階巴特沃斯低通模擬濾波器所對(duì)應(yīng)的數(shù)字移變補(bǔ)償濾波器，其傳遞函數(shù)系數(shù)為：

式中：T=LS/v，s1，s2—（1）式極點(diǎn)。

由于濾波器系數(shù)含有超越函數(shù)，這不利于軌檢系統(tǒng)的實(shí)時(shí)檢測(cè)，對(duì)（9）式中的超越函數(shù)用泰勒展開(kāi)舍掉高階小項(xiàng)可得2階移變補(bǔ)償濾波器的傳遞函數(shù)為：

其空間域的幅頻特性，如圖2所示。從圖2中可以看出其幅頻特性是隨著列車速度的變化而移變的。F（s）和D（z）級(jí)聯(lián)后在車速為20km/h-1、40km/h-1、120km/h-1時(shí)的空域頻率特性，如圖3所示?？梢钥闯?，這時(shí)的頻率特性與速度無(wú)關(guān)，整個(gè)系統(tǒng)具有固定的帶寬，不受速度因子的影響。

圖2 D（z）的空域頻率特性Fig.2 Spatial Frequency Characteristics of D（z）

圖 3 F（s）與 D（z）級(jí)聯(lián)空域頻率特性Fig.3 Spatial Frequency Characteristics of F（s） and D（z） Cascades

4 檢測(cè)原理

先簡(jiǎn)單介紹軌道高低不平順檢測(cè)原理，安裝在車體軸箱上的檢測(cè)梁與用于高低不平順檢測(cè)的傳感器在其內(nèi)部安裝位置，如圖4所示。

圖4 檢測(cè)梁及傳感器安裝位置Fig.4 Detection of Beam and Sensor Mounting Position

其檢測(cè)原理由圖5可知，軌道高低不平順由兩部分組成：第一部分是安裝在軌檢車上的測(cè)量梁在慣性測(cè)量單元坐標(biāo)系中的位移h1，由測(cè)量梁左右兩端的垂向加速度計(jì)積分求解得到；另外一部分為檢測(cè)梁移動(dòng)后與軌道平面之間的距離h2，h2可通過(guò)安裝在軌檢梁上面的激光位移傳感器求解得到，如圖4所示。則軌道高低不平順可以表示為h=h1-h2。

圖5 軌道高低不平順檢測(cè)原理Fig.5 Detection Principle of Track Irregularity

5 試驗(yàn)驗(yàn)證

把模擬、數(shù)字混合濾波技術(shù)應(yīng)用于軌道高低不平順檢測(cè)，利用我國(guó)自主研制的軌檢車系統(tǒng)對(duì)實(shí)際軌道線路進(jìn)行了動(dòng)態(tài)檢測(cè)得到了不同檢測(cè)速度下的原始左（右）垂向加速度信號(hào)，該信號(hào)是通過(guò)了一個(gè)具有固定截止頻率的二階模擬抗混疊低通濾波器處理后得到的，由前文分析可知，數(shù)字移變補(bǔ)償濾波器正是針對(duì)這個(gè)模擬抗混疊濾波器設(shè)計(jì)的，完成對(duì)信號(hào)衰減畸變特性的補(bǔ)償。首先對(duì)不同速度下所采集到的原始垂向加速度信號(hào)進(jìn)行了功率譜分析得到信號(hào)空域功率譜圖，如圖6所示。橫坐標(biāo)表示空間頻率m-1。

圖6 信號(hào)空域功率譜圖Fig.6 Spatial Power Spectrum of Signals

從圖6可以看到，不同速度下的加速度信號(hào)在空間域內(nèi)的頻譜發(fā)生了移變和衰減。列車速度為40km·h-1時(shí)，得到信號(hào)的功率譜密度圖，信號(hào)空間頻率主要分布在（0.05～0.5）m-1，對(duì)應(yīng)波長(zhǎng)在（2～20）m；當(dāng)列車速度為時(shí)，得到信號(hào)的功率譜密度圖，從圖中可以看到信號(hào)波段在（1～100）m的有用信號(hào)衰減嚴(yán)重?？芍S著檢測(cè)速度的不斷提高，對(duì)有用信號(hào)衰減越大。利用所推導(dǎo)的移變補(bǔ)償濾波器傳遞函數(shù)系數(shù)計(jì)算公式算出了所對(duì)應(yīng)的二階數(shù)字移變補(bǔ)償濾波器傳遞函數(shù)形式，并分別對(duì)不同檢測(cè)速度下原始加速度信號(hào)進(jìn)行了補(bǔ)償濾波，得到功率譜圖，如圖6所示。從圖7中可以看出，軌檢車檢測(cè)速度分別為40km/h-1、60km/h-1、90km/h-1時(shí)，所檢測(cè)到的加速度信號(hào)的功率譜密度圖具有一致的帶寬，該數(shù)字濾波器補(bǔ)償了信號(hào)在（0.01～1）m-1頻段也即波長(zhǎng)為（1～100）m 的移變衰減，信號(hào)空間頻率特性不受速度因子的影響，使得所采集到的原始信號(hào)在空間域內(nèi)具有恒定的帶寬。從而驗(yàn)證了該補(bǔ)償方法具有很好的補(bǔ)償效果。同時(shí)也驗(yàn)證了任意階移變補(bǔ)償濾波器傳遞函數(shù)系數(shù)計(jì)算公式的正確性。

圖7 補(bǔ)償后信號(hào)空域功率譜圖Fig.7 Spatial Power Spectrum of the Signal After Compensation

6 結(jié)束語(yǔ)

數(shù)字濾波具有高精度、可靠、易實(shí)現(xiàn)、靈活可變的特點(diǎn)，把模擬、數(shù)字混合濾波技術(shù)應(yīng)用于軌道不平順檢測(cè)是未來(lái)軌檢車研制的必然趨勢(shì)。在分析了模擬濾波在空間域的移變機(jī)理的基礎(chǔ)上，詳細(xì)講述了任意階移變補(bǔ)償濾波器的設(shè)計(jì)方法，并推導(dǎo)出任意階移變補(bǔ)償濾波器傳遞函數(shù)系數(shù)的計(jì)算公式，解決了高階移變?yōu)V波器設(shè)計(jì)困難的問(wèn)題。未來(lái)，將有大量的補(bǔ)償濾波器運(yùn)用于軌道檢測(cè)中，通過(guò)推導(dǎo)的公式能夠快速計(jì)算出任意所需階次的移變補(bǔ)償濾波器。最后通過(guò)實(shí)際線路試驗(yàn)驗(yàn)證了模擬、數(shù)字混合濾波技術(shù)的正確性，它可以完全消除速度因子對(duì)檢測(cè)結(jié)果的影響。

未來(lái)，將有大量的軌道需要維護(hù)與檢修，而隨著列車運(yùn)行速度的不斷提高，對(duì)軌道的幾何參數(shù)要求越來(lái)越嚴(yán)格標(biāo)準(zhǔn)化，這對(duì)軌檢系統(tǒng)提出了更加急切的需求與嚴(yán)格的要求。這種混合濾波技術(shù)在未來(lái)也會(huì)得到更廣泛的應(yīng)用。