華中師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院 (郵編：430079)

本節(jié)課改變傳統(tǒng)教學(xué)的思路，讓學(xué)生在熟悉的情境中，用數(shù)學(xué)的眼光發(fā)現(xiàn)問題，用數(shù)學(xué)思維解決問題，發(fā)展數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng).學(xué)生學(xué)會(huì)運(yùn)用Excel計(jì)算有關(guān)隨機(jī)事件的概率.選用Excel作為課程整合的技術(shù)平臺，一是因?yàn)閷W(xué)生對Excel 較為熟悉，二是因?yàn)镋xcel有強(qiáng)大的統(tǒng)計(jì)功能，能夠即時(shí)反映運(yùn)算結(jié)果.教師既能在上課時(shí)放手讓學(xué)生操作，也可以將相關(guān)數(shù)據(jù)文件通過網(wǎng)絡(luò)傳送給學(xué)生，讓學(xué)生在課后通過操作來回顧教學(xué)內(nèi)容.從而使信息技術(shù)真正地為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)服務(wù).

1 教學(xué)流程

1.1 創(chuàng)設(shè)情境 引入問題

某周末，老師去公園散步的時(shí)候發(fā)現(xiàn)附近有一地方聚集了很多人，走近一看，原來是摸獎(jiǎng)游戲.其中有一人說：“摸獎(jiǎng)有什么好玩的！”，老板笑著說：“摸獎(jiǎng)不好玩，但是有重獎(jiǎng).”那人一聽便來了興趣，連忙問游戲規(guī)則，老板說：我在這個(gè)不透明的紙箱里放了十個(gè)紅球、十個(gè)白球.除顏色不同外，球的形狀、大小、重量都相同.攪拌均勻后摸球者從中任意摸出十個(gè)球，按下列規(guī)則計(jì)分：

表1

摸球5次，累計(jì)計(jì)分，如果最終為正分，就可以獲得獎(jiǎng)品.有意思的是，老師觀察了一段時(shí)間發(fā)現(xiàn)，雖然摸獎(jiǎng)的人很多，但是中獎(jiǎng)的人卻很少.有沒有同學(xué)知道這是為什么呢？

設(shè)計(jì)意圖通過現(xiàn)實(shí)中的摸獎(jiǎng)情境，激發(fā)學(xué)生的好奇心，使學(xué)生的注意力迅速轉(zhuǎn)移到課堂上來.教師通過進(jìn)一步的提問，引發(fā)學(xué)生思考，激發(fā)學(xué)生的探究意識.

1.2 啟發(fā)思考 深入探究

問題1我們一步一步來分析，假設(shè)我們一次從中抽取一個(gè)球，有幾種可能？每種可能的概率是相等的嗎？

學(xué)生活動(dòng)學(xué)生獨(dú)立思考之后，個(gè)別舉手回答：有兩種可能.抽出的球要么是紅球，要么不是紅球，也就是白球.而且兩種球數(shù)量相同，所以它們發(fā)生的概率也是相等的.

問題2為了驗(yàn)證同學(xué)們的猜想，我們可以借助Excel表格模擬摸球游戲.令隨機(jī)變量

具體操作：

第1步 打開Excel表格，點(diǎn)擊“數(shù)據(jù)”-“數(shù)據(jù)分析”-“分析工具”-“隨機(jī)數(shù)發(fā)生器”.

圖1

第2步 點(diǎn)開“隨機(jī)數(shù)發(fā)生器”，我們用“1”記作取到紅球，用“0”記作取到白球.我們以有放回的摸球5次為一組實(shí)驗(yàn)，共作20組.

圖2

第3步 錄入數(shù)據(jù)，計(jì)算頻率.

圖3

第4步 隨著實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增加，我們可以用計(jì)算機(jī)作出頻率波動(dòng)的折線圖.

學(xué)生活動(dòng)隨著實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增加，頻率穩(wěn)定于常數(shù)0.5.這也就驗(yàn)證了我們的猜想.

學(xué)生板書隨機(jī)變量X的分布列：

表2

總結(jié)像這樣的分布列我們稱為兩點(diǎn)分布列.如果隨機(jī)變量X的分布列為兩點(diǎn)分布列，就稱X服從兩點(diǎn)分布(two-point distribution)，稱p=P(X=1)為成功概率.兩點(diǎn)分布又稱為0-1分布.

設(shè)計(jì)意圖由計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)來模擬摸球游戲，使學(xué)生熟悉常用統(tǒng)計(jì)軟件的使用過程.

問題3我們剛剛已經(jīng)證實(shí)了兩種球摸到的概率是一樣大的，那么在這個(gè)游戲中有八種加分情況、兩種平分情況以及一種減分情況下，你覺得摸五次之后累計(jì)得正分的概率大嗎？老師為了驗(yàn)證同學(xué)們的猜想，也帶了相同的二十個(gè)球，有哪幾位同學(xué)想來試試看？

學(xué)生活動(dòng)上列十一種情況，論輸贏的話，有八種得正分，兩種平分，一種得負(fù)分.但奇怪的是，一連有十個(gè)同學(xué)各摸取五次，沒有一個(gè)同學(xué)出現(xiàn)正分.而且，出現(xiàn)的和都是在-60分到-140分的范圍之內(nèi).有一個(gè)同學(xué)摸取了15次，累計(jì)分?jǐn)?shù)為-260分.不論何人，摸5次以上都會(huì)得負(fù)分，摸的次數(shù)越多，負(fù)分就會(huì)越多.學(xué)生不禁問：在這十一種情況里面，僅有一種負(fù)分情況，為什么摸球時(shí)的累計(jì)分?jǐn)?shù)往往是負(fù)數(shù)呢？

問題4同學(xué)們想想看為什么會(huì)出現(xiàn)這種情況呢？在兩種球的數(shù)量、大小都一樣的情況下進(jìn)行摸球，這些情況出現(xiàn)的可能性是均等的嗎？

學(xué)生活動(dòng)如果每個(gè)事件發(fā)生的可能性是均等的，而且所有事件中只有一種情況記到負(fù)分，那么這個(gè)抽獎(jiǎng)游戲獲獎(jiǎng)的概率從直覺上來說還是很大的.但是，學(xué)生從所觀察到的以及操作后的實(shí)際情況中發(fā)現(xiàn)這個(gè)摸獎(jiǎng)游戲獲獎(jiǎng)概率是十分小的，這是不是就可以說明這些事件發(fā)生的概率是不均等的，且可能存在某個(gè)事件發(fā)生的概率要比其他事件發(fā)生概率大很多.

問題5這是一個(gè)典型的概率問題.因?yàn)榍虺伾酝?，大小、形狀、重量都相同，但是，這些事件每個(gè)發(fā)生的可能性不是均等的.同學(xué)們能否試著聯(lián)系之前學(xué)過的排列組合知識，思考下列問題，揭開摸球之“謎”.

(1)從這20個(gè)球中，任取10個(gè)球的結(jié)果數(shù)是多少？

(2)從這20個(gè)球中，任取10個(gè)球，其中恰好取到6個(gè)紅球的結(jié)果數(shù)是多少？

(3)從這20個(gè)球中，任取10個(gè)球，其中恰好取到6個(gè)紅球的概率是多少？

學(xué)生活動(dòng)學(xué)生迫切地想解開這個(gè)“謎”，于是聯(lián)系前面所學(xué)的排列組合，獨(dú)立列出每一個(gè)問題的結(jié)果：

問題6同學(xué)們都具有很強(qiáng)的邏輯推理能力，如果算不出具體結(jié)果就先列個(gè)式子，老師接下來會(huì)教大家一個(gè)“武林秘籍”來算出這個(gè)值.請你們先仿照上題，試試看能不能列出所有情況的概率.

“十個(gè)全紅”與“十個(gè)全白”的概率相等：

“九紅一白”與“一紅九白”的概率相等：

“八紅二白”與“二紅八白”的概率相等：

“七紅三白”與“三紅七白”的概率相等：

“六紅四白”與“四紅六白”的概率相等：

問題7老師發(fā)現(xiàn)同學(xué)們不僅有著很強(qiáng)的邏輯推理能力，還具有很強(qiáng)的歸納總結(jié)能力，那么老師再問同學(xué)們，根據(jù)上表，假設(shè)摸到紅球的個(gè)數(shù)為X,能否試著寫出X的分布列？

學(xué)生活動(dòng)學(xué)生嘗試獨(dú)立完成，師生進(jìn)行交流后，老師總結(jié)并補(bǔ)充學(xué)生答案，得出其隨機(jī)變量X的分布列為：

表3

總結(jié)我們把這樣的分布列稱為超幾何分布列，如果隨機(jī)變量X的分布列為超幾何分布列，就稱隨機(jī)變量服X從超幾何分布(hypergeometric distribution).

推廣到一般情況，在總數(shù)為N個(gè)元素中，有M個(gè)紅球，則從N中抽取n個(gè)元素，其中恰好有k個(gè)紅球的概率為：

m=min{M,n},n≤N,M≤N

由上式定義的一組概率稱為超幾何分布(這是由于上式右端形如一個(gè)超幾何數(shù)展開式中的一項(xiàng)系數(shù)而沿引名).超幾何分布常用來計(jì)算無放回?zé)o次序的隨機(jī)抽樣的概率.

設(shè)計(jì)意圖建立超幾何分布概率模型是本節(jié)課的一個(gè)重要目標(biāo).同時(shí)考慮到在識別具體的概率模型上，存在一定的困難.因此，從具體的概率計(jì)算入手，引導(dǎo)學(xué)生逐步抽象出具體模型，使學(xué)生頭腦中初步形成的模糊的概率模型更加清晰和準(zhǔn)確.

1.3 運(yùn)用工具 構(gòu)建知識

師：老師承諾大家的“武林秘籍”就在同學(xué)們面前——Excel.我們以摸出一個(gè)紅球和9個(gè)白球這一事件為例，具體操作：

第1步 打開Excel，在同一列表格中，輸入變量.

圖5

第2步 錄入數(shù)據(jù).如圖2所示，選擇B6，點(diǎn)擊插入函數(shù)，選擇HYPGEOMDIST函數(shù)，便可以得出事件發(fā)生的概率值.

圖6

第3步 計(jì)算出事件發(fā)生的概率值[1].

圖7

師生一起將結(jié)果填入表5：

表4

師：由上表我們可以看出事件發(fā)生的概率是不均等的.他們的可能性進(jìn)行了不均等的分配，概率分配又叫概率分布，為了直觀形象地描繪概率分布的情況，老師在電腦上畫出了概率分布圖(圖4).(其中橫坐標(biāo)表示發(fā)生的事件，縱坐標(biāo)表示相應(yīng)的概率.)

圖8

從圖表中看出，要恰好摸取“十個(gè)全紅”和“十個(gè)全白”的可能性僅有百萬分之五，這就是一個(gè)概率很小的事件，根據(jù)實(shí)際推斷原理，在一次摸取中，基本上是不會(huì)發(fā)生的.而摸到“五白五紅”的可能性是34.4%，這種情況是比較容易出現(xiàn)的，所以每次累計(jì)，一般都是負(fù)分.這就初步地揭開了摸球游戲之“謎”.

設(shè)計(jì)意圖本節(jié)課的教學(xué)使用Excel 作為技術(shù)載體，利用該軟件在概率統(tǒng)計(jì)計(jì)算與結(jié)果演示方面的優(yōu)勢.Excel界面簡潔、操作方便、函數(shù)豐富，便于在教學(xué)中即時(shí)錄入數(shù)據(jù)、呈現(xiàn)結(jié)果，教學(xué)內(nèi)容可以即時(shí)生成，教學(xué)過程交互性強(qiáng).從而使學(xué)生認(rèn)識到，技術(shù)的使用不再只是華麗的表演，而是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的真實(shí)需要.

1.4 課堂小結(jié) 鞏固練習(xí)

略

2 課例解析

現(xiàn)實(shí)生產(chǎn)和生活中的許多問題都是通過兩點(diǎn)分布與超幾何分布這兩個(gè)概率模型來實(shí)現(xiàn)的.本節(jié)教學(xué)在已經(jīng)學(xué)習(xí)了離散型隨機(jī)變量概念的基礎(chǔ)上，由生活實(shí)例引入，讓學(xué)生感受到隨機(jī)變量更深層次的分類.利用Excel表格中的隨機(jī)數(shù)生成器和超幾何分布函數(shù)，以及計(jì)算機(jī)的隨機(jī)模擬結(jié)果，引導(dǎo)學(xué)生更好理解隨機(jī)事件發(fā)生的概率和兩個(gè)重要的概率模型.同時(shí)，在一系列層次遞增的問題串中適當(dāng)回顧和運(yùn)用舊知識.從摸獎(jiǎng)活動(dòng)這一真實(shí)情境入手，教師向?qū)W生提出角度不同的問題.通過一系列問題的提出和解決，讓學(xué)生抽象出這兩個(gè)概率模型.摸獎(jiǎng)游戲所蘊(yùn)含的中獎(jiǎng)概率問題就轉(zhuǎn)化為了運(yùn)用這兩個(gè)概率模型去解決實(shí)際問題.

3 教學(xué)反思

數(shù)學(xué)的教育過程要有機(jī)融入核心素養(yǎng)，把“三會(huì)”具體化，賦予更深刻的內(nèi)涵[2].學(xué)生核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展，是在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生通過獨(dú)立思考，自己“悟”出來的.所以，在概率模型的建立過程中，借助信息技術(shù)彌補(bǔ)傳統(tǒng)教學(xué)在直觀感、立體感和動(dòng)態(tài)感方面的不足，幫助學(xué)生把握抽象的本質(zhì).識別一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的隨機(jī)變量是否服從超幾何分布，需要對問題進(jìn)行理性的分析.當(dāng)完成了識別，認(rèn)定某個(gè)隨機(jī)變量服從超幾何分布后，可以使用公式求解該隨機(jī)變量的概率分布列，但數(shù)據(jù)的計(jì)算、驗(yàn)證，以及將概率分布直觀化等工作，可由信息技術(shù)來完成. 創(chuàng)設(shè)適宜的教學(xué)情境，寓游戲于教學(xué)之中，增強(qiáng)教學(xué)的趣味性，感悟數(shù)學(xué)的基本思想，更好體現(xiàn)了知識發(fā)生的背景和應(yīng)用的價(jià)值，也為學(xué)生由感性認(rèn)識向理性思考過渡創(chuàng)造了條件.