江蘇省徐州市第一中學(xué) (郵編：221000)

1 問題的背景

江蘇高考卷在2016年，2017年附加題23題都考查了有關(guān)組合數(shù)的求和問題，借助該題型考查學(xué)生綜合運用所學(xué)基本知識，基本方法，分析問題和解決問題的能力.從考的情況看，學(xué)生掌握得很不好，得分率很低.這類題型在平時質(zhì)檢卷23題的位置直接出現(xiàn)和與計數(shù)原理問題等綜合出現(xiàn)的概率高達二分之一以上.學(xué)生反應(yīng)，看到這類題，就懵，感覺無從下手.

筆者將高二階段、高三一輪復(fù)習(xí)階段的練習(xí)題和考試題進行仔細篩選，重新組織，設(shè)計了一節(jié)二輪復(fù)習(xí)微專題——“有關(guān)組合數(shù)的求和問題”.由高考題導(dǎo)入，采用題組呈現(xiàn)、一題多解、一題多變、問題串、小組討論等豐富多彩的方式，讓學(xué)生們多思考、多動手、多討論、多總結(jié).在知識和方法上，努力讓學(xué)生達到融匯貫通、舉一反三的程度；在核心素養(yǎng)上，努力提升學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).

2 課堂引入

教師：這道題是前一天的作業(yè)，第一問都會，第二問同學(xué)的做法大多是數(shù)學(xué)歸納法，方法同標準答案，不同的是在證明n=k+1時的情況處理上，大家采用的是分析法書寫(要證……,只要證……)，由要證的結(jié)果倒推，想法自然，運算難度降低不少.

教師：還有沒有其他做法？第二問的每一項結(jié)構(gòu)有什么特點，上標，下標，前面的系數(shù)？第一問有什么作用？

教師：大家動手試一試.

右邊.

設(shè)計意圖由2016年江蘇高考題23題引入，引起學(xué)生對該類題的重視，方法上也復(fù)習(xí)了數(shù)學(xué)歸納法和組合數(shù)的常用性質(zhì)和結(jié)論.然后以課本書后習(xí)題作為鞏固練習(xí)，一方面是檢測學(xué)生對剛剛講過的高考題第二問思路二的掌握程度，并加深印象.一方面也因為這是道母題，經(jīng)常是復(fù)雜組合數(shù)求和的關(guān)鍵步，也是學(xué)生容易卡住的地方.最后自然而然地進入了該節(jié)課的探究中：還有哪些?？碱愋?？還有哪些常用方法？

3 例題講解

題型一逆用二項式定理求和

教師：(1)(2)兩題是二項式系數(shù)很重要的性質(zhì)，大家一定要熟練記憶.2018年徐州二模的23題，求和關(guān)鍵就是(1)(2)兩題的變式，見變式1—4.變式5出處是平時練習(xí)中學(xué)生沒吃透的題.

教師：大家小組討論，這道求和題通項形式是什么？二項式定理可以解決哪類組合數(shù)求和問題？并舉一些例子.

注問題變式1、3、4答案分別為：

題型二“各項下標相同，上標不同”問題

生二:由組合數(shù)的對稱性，結(jié)合等差數(shù)列的求和方法——倒序相加法，可得.

教師：將系數(shù)變?yōu)槠椒叫问?，如何求和?/p>

生二:聯(lián)想問題3的構(gòu)造法，在求導(dǎo)之后式子兩邊乘以x后，兩邊再求導(dǎo)，再兩邊令x=1,可得.

教師：完全正確，將未知的問題劃歸為已知的問題，大家邏輯推理和數(shù)學(xué)運算能力很不錯.如果將系數(shù)變?yōu)榱⒎叫问?，是不是可以類似可得?/p>

教師：這題是2018年南京一模的23題，結(jié)合變式1的做法，誰能說說思路？

下面結(jié)合問題3的構(gòu)造法和變式1的構(gòu)造法可得.

教師：很好，請大家課后將該題做在作業(yè)本上.

注答案為(n2+5n+4)·2n-2.

題型三“各項上標相同，下標不同”問題

生一：利用

得

生三:構(gòu)造，算兩次思想

構(gòu)造(x+1)n-1+2(x+1)n-2+…+(n-2)(x+1)2,

所求即為上式中x2的系數(shù).再由錯位相減求和得上式

教師：例3與2016年江蘇卷所考一題類型一致，各項上標相同，下標不同.兩類題的解決都有多種方法，大家課后認真消化.

題型四各項是組合數(shù)相乘的形式

學(xué)生：構(gòu)造，算兩次思想

為所求的式子.

教師：該題是蘇教版選修2-1課本43頁17題閱讀題，主要介紹算兩次的方法.計數(shù)原理法出自于課本二項式定理的證明方法，學(xué)生沒有想起來，但方法很簡潔，漂亮.要了解.

生二:聯(lián)想問題3的倒序相加法，可得所求.

題型五各項出現(xiàn)了(-1)n

簡析構(gòu)造，算兩次思想

簡析裂項求和法.因為當r=1,2,…時，

4 教后反思

這堂課所有題學(xué)生都做過，但分布在各張試卷上，知識和方法都非常零散，不便于比較，消化，吸收.微專題教學(xué)的設(shè)計就很好地彌補了這個問題.具體操作：引入和例題是前一天發(fā)給學(xué)生，要求做完.上課時讓學(xué)生們展示他們各種各樣的方法，然后通過問題串、變式題將他們的思維進一步深化和整合.目的是下次碰到類似題能夠較快地找到優(yōu)美解法，解決問題.

但真正上課才發(fā)現(xiàn)，雖然這些題學(xué)生都做過，但變式題學(xué)生做的并沒有想象中好，我認為老師講遠沒有學(xué)生自己思考出來收獲大，所以我有意識把速度放慢，多給學(xué)生“想一想，做一做，議一議”的時間.一節(jié)課的內(nèi)容，我拆成了一節(jié)半課講完，第二節(jié)課最后半節(jié)課留給學(xué)生自主整理、談?wù)摵痛鹨?課后和部分學(xué)生進行溝通，學(xué)生反映這節(jié)課收獲頗多，對這類題常見類型和方法也有了較深刻的理解，大部分的題也基本沒問題.但是課后還要定期通過復(fù)習(xí)和做題去鞏固提升.

高三中后期，將重要考點和頻繁考點通過微專題的形式呈現(xiàn)給學(xué)生，在不斷提升了學(xué)生對中檔題和難題的掌握程度的同時，也不斷提升了學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).但要關(guān)注一個“慢”字.在“慢”中老師要耐心傾聽、平等對話、追根溯源，讓學(xué)生充分思考、充分表達、充分消化，這樣才能收獲幸福、收獲精彩、收獲奇跡！