首都師范大學附屬回龍觀育新學校 (郵編：102208)北京市昌平區(qū)大東流中學 (郵編：102211)

文[1]中，梁昌金老師證明了三角形中關于外心、重心、垂心、內(nèi)心的四個優(yōu)美不等式，統(tǒng)一敘述如下：

在此基礎上，在文末提出了一個猜想：

文[2]中，曹程錦老師首先指出文[1]的一點瑕疵，并將命題A做如下修改：

文[2]用五種方法完成了猜想的證明，并加強了猜想的結論：

圖1

筆者認真學習了這兩篇文章，獲益良多，同時也有了一些自己的思考，通過探究，完成了猜想及其加強的簡證．

1 文[2]中證法2的商榷

2 猜想及其加強的簡證

為了證明猜想和其加強命題B，只需證明命題B.為此，先給出以下引理：

圖2

引理如圖2，設AD為△ABC的內(nèi)角平分線，射線AD交△ABC的外接圓O于點A1,過A1作BC的平行線l,則l與圓O切于點A1.

證明連結OA1交BC于點M,由于AD為△ABC的內(nèi)角平分線，則點M為線段BC的中點，由垂徑定理，OA1⊥BC,因為BC//l,所以OA1⊥l,即l與圓O切于點A1.

命題B的證明

圖3

結合以上的證明及命題A的證明，當且僅當△ABC為正三角形，且AD、BE、CF交于△ABC的中心時等號成立.