惲 珍, 費(fèi)為銀, 梁 勇

(安徽工程大學(xué) 數(shù)理學(xué)院, 安徽 蕪湖 241000)

最優(yōu)投資消費(fèi)問題是金融學(xué)研究的重要方向之一, 早在1969年, 文獻(xiàn)[1]針對(duì)連續(xù)時(shí)間情形下最優(yōu)投資選擇問題已經(jīng)進(jìn)行了研究, 文獻(xiàn)[2]探究了值函數(shù)的閉型解, 并提出了最優(yōu)投資-消費(fèi)決策。

上述文獻(xiàn)報(bào)道均是最優(yōu)投資消費(fèi)問題, 但在實(shí)際生活中, 人們可通過工作獲得勞動(dòng)收入, 還可合理地投資從而增加財(cái)富, 使得退休后的生活更有保障。 把收入、閑暇和退休引入模型才可使投資-消費(fèi)組合模型更貼合實(shí)際。文獻(xiàn)[3-4]考慮了勞動(dòng)收入是隨機(jī)情形時(shí)的消費(fèi)、投資、閑暇和退休問題, 均采用鞅方法解決最優(yōu)投資消費(fèi)問題。 文獻(xiàn)[5]在使用動(dòng)態(tài)規(guī)劃法解決投資消費(fèi)問題時(shí), 推廣了文獻(xiàn)[4]的結(jié)果, 并驗(yàn)證了鞅方法和動(dòng)態(tài)規(guī)劃法得到的解的等價(jià)性。 文獻(xiàn)[6]運(yùn)用α-極大極小期望CES(constant elasticity of substitution)效用模型, 研究了代理人的最優(yōu)消費(fèi)、閑暇、投資組合和退休選擇的問題, 其中區(qū)別了含糊與含糊態(tài)度。 文獻(xiàn)[7]考察了一個(gè)帶有CES型代理人的最優(yōu)投資消費(fèi)、閑暇和退休選擇問題, 代理人可通過消費(fèi)和閑暇獲得效用, 并在高于一個(gè)最低勞動(dòng)時(shí)間后可以靈活地安排勞動(dòng)和閑暇時(shí)間。 文獻(xiàn)[8]研究了帶有生存約束的代理人的最優(yōu)投資消費(fèi)、閑暇和自愿退休的問題, 運(yùn)用動(dòng)態(tài)規(guī)劃原理, 給出了最優(yōu)決策和值函數(shù)。 文獻(xiàn)[9]考察了在Knight不確定下3種借款約束情形及保險(xiǎn)和退休的最優(yōu)消費(fèi)投資決策。

通貨膨脹(簡(jiǎn)稱通脹)是一種無法避免的宏觀經(jīng)濟(jì)風(fēng)險(xiǎn)。 面對(duì)通脹帶來的壓力, 許多管理人重新調(diào)整了投資組合, 許多學(xué)者也在原來的最優(yōu)投資-消費(fèi)組合的基礎(chǔ)上, 考慮了通脹對(duì)投資-消費(fèi)的影響。文獻(xiàn)[10]證明了通脹對(duì)代理人的經(jīng)濟(jì)活動(dòng)有重要的影響。 通脹會(huì)帶來物價(jià)的上漲, 導(dǎo)致代理人可以購(gòu)買的消費(fèi)品減少, 消費(fèi)效用降低。 因此, 代理人需通過減少消費(fèi)、增加投資來應(yīng)對(duì)通脹。 文獻(xiàn)[11]研究了消費(fèi)籃子價(jià)格完全可觀察和部分可觀察兩種情況的通脹環(huán)境下的最優(yōu)消費(fèi)和最優(yōu)投資決策。 文獻(xiàn)[12]考察了通脹環(huán)境下, 一個(gè)可投資于現(xiàn)金、名義債券和股票的冪效用投資者的最優(yōu)資產(chǎn)配置。 文獻(xiàn)[13]分析了在跳擴(kuò)散環(huán)境下, 通脹因素和跳對(duì)投資者資產(chǎn)配置的影響。 文獻(xiàn)[14]研究了投資者在通脹環(huán)境下帶遞歸效用的最優(yōu)消費(fèi)和投資問題。 文獻(xiàn)[15]基于連續(xù)時(shí)間均值-方差框架, 探究了通脹影響下投資終止時(shí)間不確定的最優(yōu)投資組合選擇問題．文獻(xiàn)[16]運(yùn)用了隨機(jī)分析、動(dòng)態(tài)規(guī)劃原理和魯棒控制方法，研究了在通脹和模型不確定下投資者的最優(yōu)消費(fèi)和投資組合問題。

為考察代理人在通脹環(huán)境下的最優(yōu)投資-消費(fèi)、閑暇和自愿退休問題, 本文在文獻(xiàn)[17]的基礎(chǔ)上引入了通脹因素, 運(yùn)用動(dòng)態(tài)規(guī)劃原理, 通過求解優(yōu)化問題值函數(shù)所滿足的Hamilton-Jacobi-Bellman(HJB)方程, 獲得值函數(shù)的解析解和關(guān)于投資-消費(fèi)、閑暇和自愿退休的最優(yōu)決策。

1 模型建立

在完備的金融市場(chǎng)中, 設(shè)(Ω,F,{Ft}t≥0,P)為一個(gè)帶有Wiener過程W(t)的帶流概率空間, 代理人可以將財(cái)富投資于兩種資產(chǎn)：一種是名義利率為R的無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn), 如債券；另一種是預(yù)期收益率為μs和波動(dòng)率為σs>0的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn), 如股票。無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)名義價(jià)格BN(t)與風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)名義價(jià)格SN(t)分別滿足式(1)和(2)。

(1)

(2)

居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)(CPI)是度量通脹的重要指標(biāo),其是衡量所選定的一籃子消費(fèi)品購(gòu)買價(jià)格的指數(shù)。 文獻(xiàn)[10]中投資者的消費(fèi)籃子指代幾種消費(fèi)品及其權(quán)重。 本文為了簡(jiǎn)化, 忽略了多維的情況, 直接考慮消費(fèi)籃子中物品價(jià)格的加權(quán)和, 即消費(fèi)籃子價(jià)格。 消費(fèi)籃子價(jià)格的動(dòng)力學(xué)表達(dá)式如式(3)所示。

(3)

式中:μp為預(yù)期通脹率;σp>0為波動(dòng)率。

設(shè)XN(t)為代理人在時(shí)刻t的名義財(cái)富量,πN(t)為代理人在時(shí)刻t投資于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的名義資金額, 則XN(t)-πN(t)為代理人投資于無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的名義資金額，cN(t)為代理人在時(shí)刻t的名義消費(fèi)率, 且cN(t)>0，wN(t)為名義工資率。

(4)

且名義財(cái)富過程滿足

(5)

設(shè)Xt表示代理人在時(shí)刻t的真實(shí)財(cái)富量, 則

根據(jù)伊藤公式可得

(6)

考慮到模型簡(jiǎn)化和代理人心理, 假設(shè)真實(shí)工資率為常數(shù)w； 不受通脹的影響, 則名義工資率滿足wN(t)=w·P(t)。

真實(shí)財(cái)富過程滿足

(7)

式中:X0為零時(shí)刻財(cái)富水平；x為零時(shí)刻財(cái)富水平的具體數(shù)值。

設(shè)BN(t)為代理人在時(shí)刻t的名義無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)格,B(t)為代理人在時(shí)刻t的真實(shí)無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)格, 則

(8)

(9)

2 優(yōu)化問題

為使消費(fèi)和閑暇都能得到滿足, 根據(jù)文獻(xiàn)[3-4, 17]中定義的效用函數(shù), 本文引入Cobb-Douglas效用函數(shù)，如式(10)所示。

(10)

式中:γ為相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù);α為一個(gè)常數(shù)參數(shù), 用來度量代理人的消費(fèi)在就業(yè)階段中的份額。若定義γ1: =1-α(1-γ), 則Cobb-Douglas效用函數(shù)可寫為

(11)

期望折現(xiàn)效用的最大化為模型中代理人的目標(biāo), 則

(12)

假設(shè)1

(13)

由于式(12)中退休后的值函數(shù)U(·)和經(jīng)典Merton問題類似, 參照文獻(xiàn)[17], 定義退休后的值函數(shù)為

定義二次方程為

(14)

該方程有兩個(gè)根k+>0和k-<-1。

在假設(shè)1下, 值函數(shù)有如下表達(dá)式

命題1

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

證明: 退休前將控制變量l分為兩部分: 閑暇率lt為一個(gè)控制變量, 閑暇率lt為常數(shù)L。

當(dāng)0≤t<τ, 0≤l

(24)

由一階條件, 可得

(25)

將式(25)代入HJB方程(24), 可得

(26)

假設(shè)財(cái)富函數(shù)c=C(x),X(c)=C-1(x), 則

(27)

把式(27)代入式(26), 得

(28)

兩邊關(guān)于c求導(dǎo), 得

(29)

式(29)的解如式(30)所示。

(30)

式中:k-<-1為方程(14)的一個(gè)根。

將式(30)代入式(28), 得

(31)

式中:ξ為式(22)的解．

當(dāng)0≤t<τ，l=L時(shí), 優(yōu)化問題的HJB方程可寫為

(32)

由一階條件, 可得

(33)

同理, 可得式(32)的解和值函數(shù)如式(34)和(35)所示。

(34)

(35)

式中:ζ為式(23)的解．

將式(30)和(34)求導(dǎo), 代入上式, 得

(36)

(37)

即

(38)

由式(36)～(38)可知, 若可知B2, 則可求得式(18)中的B1和式(20)中的A2。

簡(jiǎn)化得

(39)

由式(34)定義

(40)

將式(39)代入式(40), 可得

(41)

(42)

將式(39)代入式(42), 可得

(43)

由式(41)和(43)可得B2。

命題2

式中:ξ和ζ為式(44)和(45)的解。

(44)

(45)

證明: 根據(jù)一階條件(25)和(33), 可得定理中的最優(yōu)消費(fèi)、閑暇、投資決策。 根據(jù)命題1中的式(23), 可得代理人在時(shí)刻t的財(cái)富Xt, 證畢。

3 數(shù)值模擬與經(jīng)濟(jì)學(xué)分析

為更好地分析財(cái)富水平和通脹因素對(duì)消費(fèi)與投資的影響, 本文結(jié)合文獻(xiàn)[7-11]中的數(shù)據(jù), 利用Matlab進(jìn)行了數(shù)值模擬。

3.1 財(cái)富水平對(duì)消費(fèi)和投資的影響

由圖1可知:相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)越大, 越厭惡風(fēng)險(xiǎn)的投資者消費(fèi)相對(duì)更低, 可適當(dāng)控制消費(fèi); 消費(fèi)的整體趨勢(shì)均是單調(diào)增加的, 這是由于隨著財(cái)富的積累, 消費(fèi)水平隨之提高; 在財(cái)富水平達(dá)到[-40, -20]之間時(shí), 出現(xiàn)了一個(gè)向上的跳, 這是由于第2階段時(shí), 代理人閑暇達(dá)到了退休前的最大且固定, 工作時(shí)間也相對(duì)固定, 收入穩(wěn)定可增加消費(fèi)。在第2階段和第3階段之間出現(xiàn)了一個(gè)向下的跳, 這是由于代理人已經(jīng)退休, 沒有了收入來源, 此階段投資者更愿意將所持有的資產(chǎn)用于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的投資, 以期獲得更多的財(cái)富, 減少了消費(fèi)。

圖1 財(cái)富水平Xt對(duì)最優(yōu)消費(fèi)Ct的影響Fig.1 Effect of wealth level Xton optimal consumption Ct

圖2 財(cái)富水平Xt對(duì)最優(yōu)投資π的影響Fig.2 Effect of wealth level Xton optimal investment π

由圖2可知:對(duì)風(fēng)險(xiǎn)更加厭惡的投資者, 會(huì)將更少的財(cái)富投資于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)上; 投資的整體趨勢(shì)均是單調(diào)增加的, 這是由于隨著財(cái)富的積累, 投資隨之增加。在第1階段和第2階段之間出現(xiàn)了一個(gè)向上的跳, 這是由于在第2階段代理人具有穩(wěn)定的收入, 財(cái)富的逐漸積累使其可以增加投資。 在第2階段和第3階段之間出現(xiàn)了一個(gè)向下的跳, 這是由于代理人已經(jīng)退休, 沒有了收入來源, 增加投資會(huì)不利于未來的消費(fèi), 因此投資會(huì)出現(xiàn)一個(gè)大幅度的下降．

3.2 通脹波動(dòng)率對(duì)消費(fèi)和投資的影響

(a)第1階段

(b)第2階段

(c)第3階段圖3 3個(gè)階段通脹波動(dòng)率σp對(duì)最優(yōu)投資π的影響Fig.3 Effect of inflation volatility σpon optimal investment π of three stages

(a)第1階段

(b)第2階段

(c)第3階段圖4 3個(gè)階段通脹波動(dòng)率σp 對(duì)最優(yōu)消費(fèi)Ct 的影響Fig.4 Effect of inflation volatility σp on optimal consumption Ct of three stages

由圖3(a)可知, 隨著通脹波動(dòng)率的增加, 投資先增加后減少。 投資先增加的原因：一方面是通脹剛剛出現(xiàn), 代理人心理上認(rèn)為市場(chǎng)的預(yù)期走勢(shì)好, 增加投資可以增值保值; 另一方面是此階段代理人的收入不是固定的, 如果某個(gè)時(shí)刻的投資出現(xiàn)虧損, 可通過減少閑暇、增加工作來增加收入，彌補(bǔ)虧損。 之后投資下降是由于通脹波動(dòng)率的增加, 使得市場(chǎng)的不確定性增強(qiáng), 代理人心理上更加擔(dān)憂, 因此降低了投資。

由圖3(b)可知, 隨著通脹波動(dòng)率的增加, 投資一直減少。 一方面是此階段的收入沒有前一階段的高, 可用于投資的財(cái)富減少。 隨著通脹波動(dòng)率的增加, 市場(chǎng)越來越不穩(wěn)定, 代理人更加擔(dān)心投資虧損。另一方面是此階段收入是個(gè)定值, 如果某個(gè)時(shí)刻的投資出現(xiàn)虧損, 代理人不能通過調(diào)節(jié)收入彌補(bǔ)虧損。因此第2階段投資呈現(xiàn)下降的趨勢(shì)。

由圖3(c)可知, 此階段隨著通脹波動(dòng)率的增加, 投資一直增加。這是由于退休之后, 財(cái)富有一定的積累, 但不會(huì)再有收入來源, 需要增加投資從而獲得收益．

由圖3可知, 相比于對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡更高的代理人，對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡更低的代理人而言, 無論在哪個(gè)階段, 其投資都會(huì)更高。這是由于其會(huì)認(rèn)為市場(chǎng)預(yù)期走勢(shì)好, 將財(cái)富更多地投資在風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)上可獲得更高的收益．

由圖4(a)可知, 隨著通脹波動(dòng)率的增加, 消費(fèi)先減小后增加。消費(fèi)先減小的原因：一方面是此時(shí)投資增加的原因另一方面是從消費(fèi)者的心理來看, 通脹剛剛出現(xiàn), 消費(fèi)欲望降低, 導(dǎo)致財(cái)富購(gòu)買力的下降。 之后消費(fèi)增加的原因：一方面是市場(chǎng)波動(dòng)越來越大, 代理人不愿進(jìn)行更多的投資, 用于消費(fèi)的資金將會(huì)更多; 另一方面是當(dāng)通脹出現(xiàn)時(shí), 相同的貨幣量消費(fèi)越晚買到的東西越少。 代理人可能提前消費(fèi), 提前消費(fèi)使等量貨幣價(jià)值最大化, 因此消費(fèi)會(huì)增加。

由圖4(b)可知, 消費(fèi)水平隨著通脹波動(dòng)率的增加而增加。 這是由于在這個(gè)階段投資隨著通脹波動(dòng)率增加而減小, 而代理人在此階段收入是個(gè)定值, 可以適當(dāng)?shù)卦黾酉M(fèi)。

由圖4(c)可知, 這個(gè)階段消費(fèi)隨通脹波動(dòng)率增加而持續(xù)增加, 這是由于退休之后, 代理人已經(jīng)積累了一定的財(cái)富, 可以承擔(dān)更高的消費(fèi)

由圖4可知,相比于對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡更高的代理人，對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡更低的代理人而言, 無論在哪個(gè)階段, 其消費(fèi)都會(huì)更低。這是由于此時(shí)的代理人已經(jīng)將更多的財(cái)富投資在風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn), 進(jìn)而消費(fèi)水平降低。

4 結(jié) 語

本文在通脹環(huán)境下建立模型, 推導(dǎo)了通脹折現(xiàn)后的財(cái)富過程。將代理人的生命周期依據(jù)閑暇率分為3個(gè)階段, 在每個(gè)階段建立相應(yīng)的HJB方程, 求解方程后得出關(guān)于投資-消費(fèi)、閑暇和自愿退休時(shí)間的最優(yōu)決策。數(shù)值模擬分析表明, 消費(fèi)和投資均隨著財(cái)富水平增加而增加, 在面對(duì)變化的通脹波動(dòng)率時(shí), 代理人為了減小風(fēng)險(xiǎn)、增加收益, 在不同的階段會(huì)選擇不同的最優(yōu)投資消費(fèi)策略。總體而言, 適當(dāng)?shù)耐洉?huì)刺激投資和消費(fèi)。