戴 超， 陶有山

(東華大學 理學院， 上海 201620)

趨化性是由化學信號的濃度梯度引起的細胞偏向運動。趨化吸引是指細胞朝化學信號濃度增大的地方遷移，而趨化排斥是指細胞朝遠離化學信號濃度增大的地方運動。著名的趨化數(shù)學模型是由Keller和Segel在20世紀70年代提出的KS模型[1]，本文在KS模型的基礎上，研究了文獻[2]提出的描述老年癡呆癥疾病中小神經(jīng)膠質細胞集聚現(xiàn)象，以及文獻[3]中給出的有關趨化過程中的群體效應的吸引-排斥趨化模型。從數(shù)學的角度來說，經(jīng)典的KS模型和群體效應吸引-排斥趨化模型存在的一個本質區(qū)別，即前者可以找到有用的Lyapunov泛函，而后者一般不存在這樣的泛函。

因此，本文考慮帶有Logistic源的吸引-排斥趨化模型，如式(1)所示。

式中：Ω?Rn(n≥1)是一個光滑有界凸區(qū)域；?ν表示邊界?Ω的外法向量的導數(shù)；χ，ζ，α1，α2，β1和β2均為給定的正參數(shù)；u=u(x，t)表示細胞的密度；v=v(x，t)表示吸引信號的濃度；w=w(x，t)表示排斥信號的濃度。f滿足Logistic條件，即

f(s)≤as-bs2，s≥0

(2)

式中：a≥0，b>0。

模型(1)中第一個方程描述細胞密度隨時間的變化情況，等式右邊第一項表示細胞的隨機擴散，第二項表示細胞向化學信號濃度增加的方向移動，第三項則表示細胞向遠離化學信號濃度增大的地方遷移，最后一項表明細胞的出生和死亡滿足Logistic定律。模型(1)中第二個和第三個方程表明趨化吸引和趨化排斥的化學物質均有細胞自身分泌，并隨時間經(jīng)歷擴散和衰減。模型(1)中，假設u，v，w滿足零流邊界條件，即假設在邊界處細胞和兩種化學物質的凈流量為零。

本文假設模型(1)初始值u0，v0，w0滿足：

(3)

在一些研究KS數(shù)學模型的報道[4-5]中，發(fā)現(xiàn)趨化吸引和排斥現(xiàn)象同時存在，從而產(chǎn)生了有趣的生物斑圖[6]。而文獻[7]中帶Logistic源的吸引-排斥趨化模型表明：當空間維數(shù)n≤2時，它存在唯一的整體古典解。因此本文的目標是：當n≥3時，證明模型(1)的整體古典解的存在性及有界性。更精確地說，本文獲得如下主要結果。

定理1假設Ω?Rn(n≥1)是一個光滑有界凸區(qū)域，并設f滿足式(2)，則對任意的u0，v0，w0滿足式(3)，存在b0>0，使得當b>b0時，模型(1)存在唯一的非負古典解(u，v，w)，且u，v，w在Ω×(0， ∞)上一致有界。

本文先建立古典解的局部存在性并推導基本的先驗估計，接下來再進一步推導解的更高正則性估計，完成定理1的證明。

1 局部存在性及基本估計

模型(1)的局部古典解的存在性建立在標準的不動點方法上[8]，這里省去其詳細的證明過程。

引理1假設Ω?Rn(n≥1)是一個光滑有界的區(qū)域，并設f滿足式(2)，且u0，v0，w0滿足式(3)，則存在Tmax∈(0， ∞]和唯一的非負函數(shù)組(u，v，w)，且滿足

使得(u，v，w)是模型(1)在Ω×(0，Tmax)上的古典解。進一步，則有

‖v(·，t)‖W1， k(Ω)+‖w(·，t)‖W1， k)=∞

引理2假設f滿足式(2)，則存在常數(shù)A>0，使模型(1)的解(u，v，w)滿足

(4)

證明：根據(jù)模型(1)中第一個方程，并利用分部積分可得

(5)

(6)

模型(1)中第二個方程兩邊同時乘以-Δv，并借助分部積分和Young不等式得

從而有

(7)

同理有

(8)

由此推得

y′(t)+c1y(t)≤c2,t∈(0，Tmax)，

式得

結合y的定義，得出式(4)。從而引理2得證。

2 高階正則性估計

引理3假設f滿足式(2)，則對于所有的p∈N和q∈{0， …，p}，成立

(9)

證明：直接計算得

(10)

由分部積分知

(11)

(12)

且

(13)

其中，t∈(0，Tmax)。接下來用Young不等式處理I4得

(14)

(15)

推論4假設f滿足式(2)，則對于所有的p∈N和q∈{0， …，p}，成立

(16)

證明：根據(jù)引理3的證明方法， 類似推得

(17)

結合式(9)，即可推出式(16)，從而推論4得證。

項的估計。

引理5假設f滿足式(2)，則對所有的p∈N，p≥2，存在c0>0和C0>0，使模型(1)的解具有下述性質

(18)

證明：式(16)中取q=0，利用分部積分和Young不等式得

(19)

同理

(20)

引理6若p∈N，p≥3且引理1的假設成立，則存在常數(shù)C1使得模型(1)的解滿足

(21)

證明：令式(16)中q=1得

：=I1+I2+I3+I4+I5，t∈(0，Tmax)

(22)

利用Young不等式估計得

(23)

(24)

(25)

(26)

其中，t∈(0，Tmax)。再次使用Young不等式估計式(26)的最后一項得

綜合式(22)～(26)推出

(27)

同理可得

(28)

令

結合式(27)和(28)，即推出式(21)，從而引理6得證。

為了處理式(21)中的右端項，需要在式(16)中考察q≥2的情形且要對式(16)右端項作進一步的處理，更精確地說，有如下引理7。

引理7假設f滿足式(2)，則對所有的p∈N，p≥3和每個q∈{2， …，p-1}，存在cq≥0和Cq≥0，使模型(1)的解滿足

(29)

證明：利用Young不等式估計式(9)左邊的第一項和最后一項得

(30)

(31)

再一次根據(jù)Young不等式得

(32)

其中，常數(shù)c′>0。同理有

(33)

(34)

(35)

(36)

其中，t∈(0，Tmax)。進一步由Young不等式得

(37)

(38)

(39)

(40)

綜合式(9)和(30)～(40)得

(41)

同理

(42)

因此，由式(41)和(42)得式(29)，從而引理7得證。

引理8假設f滿足式(2)，則對所有的p∈N，p≥2， 存在cp和Cp使模型(1)的解滿足

(43)

證明：式(16)中取p=q得

(44)

進一步根據(jù)Young不等式得

(45)

同理

(46)

再利用Young不等式得

(47)

綜合式(45)～(47)得

(48)

由式(48)很容易得出式(43)，從而引理8得證。

為了能用引理5～8所得到的估計中“左端的好項”來控制“相應的右端的積分項”，將這些估計式進行合適的線性組合，得到如下引理9。

引理9假設p∈N，p≥3且引理1中假設成立，則存在b0=b0(a，b，χ，ζ，β1，β2，p，n)，對任意的b>b0(>0)，存在正數(shù)c，C及d0， …，dp，使模型(1)的解滿足

(49)

證明：取c0， …，cp和C0， …，Cp是引理5～8中給出的常數(shù)， 同時取M?1，使得

Mcq>2，q∈{2， …，p}

(50)

進一步， 選取0<ε?1滿足

(51)

且

(52)

固定b0>0，并使其充分大，滿足

(53)

(54)

定義

d0：=1，dq：=εMq，q∈(1， …，p)

(55)

根據(jù)引理5～8， 在式(49)左邊的求和項中，分別取q=0，q=1，q={2， …，p-1}及q=p，并經(jīng)過重新排序得

(56)

聯(lián)合式(51)～(55)得

(57)

再由式(52)和(53)得

(58)

進一步，根據(jù)式(54)及假設b>b0得

(59)

由于dqcq-dq-1=εMq-1(Mcq-1)>εMq-1>εM，q∈(2， …，p)且式(50)中M>1， 故有

(60)

類似推得

(61)

和

(62)

引理10假設p∈N，p≥3且引理9中的假設成立，則存在L>0，滿足

(63)

證明： 對每個q∈{1， …，p-1}， 利用Young不等式得

(64)

(65)

(66)

(67)

同理

(68)

其中，t∈(0，Tmax)。綜合式(64)～(68)得

(69)

其中，L2>0和Lp>0。進一步，利用Young不等式得

(70)

據(jù)此便得到式(63)，從而引理10得證。

3 主要結果的證明

利用引理10中得到的高階正則性先驗估計，現(xiàn)在可完成定理1的證明。

定理1的證明：根據(jù)引理10及標準的Moser迭代可以得到：存在常數(shù)C>0，滿足

‖u(·，t)‖L∞(Ω)≤C，t∈(0，Tmax)。

據(jù)此并結合引理10，由引理1得到Tmax=+∞，從而模型(1)的整體古典解存在有界性，即定理1證畢。