多無人機(jī)輔助定位信標(biāo)的區(qū)域?qū)Ш蕉ㄎ凰惴?/h1>
2018-10-30 12:01:24許建新熊智陳明星劉建業(yè)
航空學(xué)報(bào) 2018年10期
許建新，熊智，陳明星，劉建業(yè)
南京航空航天大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院，南京 210016
目前以GPS、北斗為代表的衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)已成為無處不在的定位、導(dǎo)航和授時(shí)信息源，是現(xiàn)代軍民通用的重要信息基礎(chǔ)設(shè)施，但是由于衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)自身固有的局限性，如信號(hào)功率低，易被敵方壓制或欺騙，在高對(duì)抗的作戰(zhàn)環(huán)境下的應(yīng)用難以保障等，限制了其在一些特定條件和環(huán)境下的應(yīng)用[1-2]。因此，為解決衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)的固有缺陷帶來的導(dǎo)航定位問題，世界各國都在積極發(fā)展衛(wèi)星導(dǎo)航增強(qiáng)技術(shù)和區(qū)域?qū)Ш较到y(tǒng)[3]。為提高GPS抗干擾能力，美國國防高級(jí)研究計(jì)劃局最早提出了全球定位實(shí)驗(yàn)偽衛(wèi)星概念，并于2001年開始實(shí)施GPX計(jì)劃，演示了空基偽衛(wèi)星概念的可用性。日本也提出平流層偽衛(wèi)星飛艇輔助導(dǎo)航和定位的概念，將偽衛(wèi)星置于高空平臺(tái)，擴(kuò)大系統(tǒng)覆蓋范圍，將其應(yīng)用于環(huán)境監(jiān)測及通信等領(lǐng)域。澳大利亞的Locata公司發(fā)布了Locata系統(tǒng)，利用多個(gè)發(fā)射強(qiáng)無線電定位信號(hào)的地基偽衛(wèi)星發(fā)射器組成的網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)定位，是采用類GPS定位技術(shù)的地基局域網(wǎng)絡(luò)[4-5]。
在利用偽衛(wèi)星進(jìn)行輔助定位過程中，需要確定偽衛(wèi)星基站的位置及與用戶的距離，通過幾何定位解算出用戶位置[6-7]。為了更加快速靈活地部署偽衛(wèi)星基站，實(shí)現(xiàn)無衛(wèi)星環(huán)境下的區(qū)域?qū)Ш蕉ㄎ还δ?，本文以無人機(jī)(UAV)作為空基平臺(tái)，提出一種區(qū)域?qū)Ш蕉ㄎ凰惴?，?shí)現(xiàn)對(duì)地面用戶的定位。將無人機(jī)部署在預(yù)定空域，并播發(fā)自身位置及時(shí)鐘信息，地面用戶通過接收無人機(jī)位置及與無人機(jī)的距離，分別采用列文伯格-馬夸爾特(LM)算法模型和兩步最小二乘算法模型計(jì)算出地面用戶的實(shí)時(shí)位置，在衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)不可用情況下，滿足一定區(qū)域范圍內(nèi)用戶的導(dǎo)航定位需求。
1 無人機(jī)輔助區(qū)域?qū)Ш蕉ㄎ环桨?/h2>
(1)
以地面戰(zhàn)車為例，本文設(shè)計(jì)了基于無人機(jī)輔助的地面用戶導(dǎo)航定位方案。在圖1的區(qū)域?qū)Ш蕉ㄎ粓鼍爸?，在沒有GNSS信號(hào)的情況下，無人機(jī)編隊(duì)處于獨(dú)立組網(wǎng)模式，以其中一架無人機(jī)作為時(shí)間基準(zhǔn)，其他無人機(jī)通過時(shí)間同步鏈路與基準(zhǔn)無人機(jī)實(shí)現(xiàn)高精度時(shí)間同步[8-9]?？紤]到無人機(jī)本身的定位誤差及測距誤差，直接采用式(1)求解可能會(huì)出現(xiàn)無解或虛數(shù)解的情況。
圖1 無人機(jī)輔助的地面用戶定位示意圖Fig.1 Sketch map of regional navigation based on unmanned aerial vehicles
為了綜合利用多架無人機(jī)的定位信息，本文采用LM非線性優(yōu)化算法來求解地面用戶位置。LM算法能通過修改參數(shù)達(dá)到結(jié)合高斯-牛頓算法以及梯度下降法的優(yōu)點(diǎn)，并對(duì)兩者的不足作改善，如高斯-牛頓算法中逆矩陣不存在時(shí)將無法繼續(xù)迭代的問題[10]。此外，為提高一般最小二乘算法的計(jì)算精度，消除地面戰(zhàn)車接收機(jī)與無人機(jī)之間的時(shí)鐘誤差，提出了兩步最小二乘算法，通過距離差分，消除鐘差，提高定位精度。在獲得地面戰(zhàn)車位置后，利用車載的慣性傳感器輸出信息，通過卡爾曼濾波算法進(jìn)行數(shù)據(jù)融合，得到最終的導(dǎo)航結(jié)果輸出。具體方案圖如圖2所示。
圖2 基于無人機(jī)輔助的地面用戶定位方案Fig.2 Scheme of regional navigation based on unmanned aerial vehicles
2 無人機(jī)輔助的地面用戶定位算法模型
2.1 LM算法模型
在圖1的定位場景中，對(duì)地面用戶接收到的N架無人機(jī)信息，考慮到地面用戶的等效時(shí)鐘誤差εU，有
(2)
(3)
式中：AU為衛(wèi)星導(dǎo)航偽距單點(diǎn)定位算法中的一個(gè)計(jì)算矩陣；
令
fi(Υ)=(xU-xi)2+(yU-yi)2+
(zU-zi)2-(Li-εU)2
式中：i=1,2,…,N，則用戶的坐標(biāo)位置U的最優(yōu)解U0等價(jià)為求解
(4)
根據(jù)泰勒公式將f(Υ)在Υ=Υk處展開，忽略二階小項(xiàng)，可得
f(Υ)≈f(Υk) +Ak(Υ-Υk)
(5)
式中：
f(Υ)的雅克比矩陣。
則
Q(Υ)≈(f(Υk) +Ak(Υ-Υk))T(f(Υk) +
Ak(Υ-Υk))
(6)
在傳統(tǒng)的高斯-牛頓迭代算法中，用戶位置及時(shí)鐘等效誤差的遞推公式為
(7)
(8)
(9)
在式(9)中，γk過大則會(huì)影響Υk+1的收斂速度，可以通過對(duì)比Q(Υk+1)和Q(Υk)的值進(jìn)行動(dòng)態(tài)調(diào)整。
2.2 兩步最小二乘算法模型
傳統(tǒng)最小二乘算法中，根據(jù)式(2)，第2～N個(gè)方程均減去第一個(gè)方程，整理后可得
HsΥ=bs
(10)
式中：
則，通過最小二乘計(jì)算可得
(11)
該算法簡單易實(shí)現(xiàn)，但是由于沒有考慮無人機(jī)的位置誤差和測距誤差，使得計(jì)算的定位結(jié)果誤差較大。針對(duì)圖1的定位場景，考慮到地面用戶與無人機(jī)的鐘差問題，并綜合利用無人機(jī)的位置誤差和測距誤差統(tǒng)計(jì)值，提出了兩步最小二乘算法，用于計(jì)算地面用戶的位置信息，其算法模型如下。
(12)
2(Uo-Si)TΔSi+2(Uo-S1)TΔS1
(13)
(14)
因此，式(13)可改寫為
(15)
(16)
(17)
式中：
(18)
(19)
(20)
cov(θ)=E(Δφ1(1:4)Δφ1(1:4)T)=
(GT(BQLBT)-1G-
GT(BQLBT)-1DR-1DT(BQLBT)-1G)-1
(21)
(22)
(23)
式中：Δθ(1∶3)為θ(1∶3)的估計(jì)誤差。
在式(23)中，兩端同時(shí)減去S1，再對(duì)向量中每個(gè)元素平方，略去二階小量，可得
-2(Uo-S1)⊙Δθ(1∶3)=
(Uo-S1)⊙(Uo-S1)
(24)
式中：⊙表示向量中對(duì)應(yīng)元素的乘積。
(25)
將式(24)和式(25)合并寫成矩陣形式，得
(26)
式中：
根據(jù)最小二乘準(zhǔn)則，可得地面用戶的位置結(jié)果為
(27)
由此可得地面用戶的定位結(jié)果表達(dá)式為
(28)
該算法第1步先求出地面用戶的誤差粗值，并求出其協(xié)方差矩陣，第2步利用誤差粗值的協(xié)方差矩陣及無人機(jī)的位置信息，計(jì)算出用戶與參考無人機(jī)的位置坐標(biāo)差值，最終獲得地面用戶的位置估計(jì)結(jié)果。該算法綜合利用了無人機(jī)的位置誤差和測距誤差統(tǒng)計(jì)值，使得最終的計(jì)算結(jié)果相比一般最小二乘算法更為準(zhǔn)確。
2.3 組合導(dǎo)航算法模型
以地面戰(zhàn)車為例，在采用以上方法計(jì)算出其位置之后，可以結(jié)合自身裝備的慣性導(dǎo)航系統(tǒng)輸出的傳感器信息進(jìn)行組合導(dǎo)航，獲得連續(xù)可靠的定位。
2.3.1 系統(tǒng)狀態(tài)方程
在慣性導(dǎo)航系統(tǒng)中，選取18維系統(tǒng)誤差狀態(tài)量為[12]
X=
導(dǎo)航坐標(biāo)系選取為東北天坐標(biāo)系，可以獲得慣性導(dǎo)航系統(tǒng)的誤差狀態(tài)方程為
Xk=Φk|k-1Xk-1+Gk-1Wk-1
(29)
式中：Φk|k-1為慣性導(dǎo)航系統(tǒng)誤差方程所對(duì)應(yīng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣；Gk-1為慣性導(dǎo)航系統(tǒng)誤差方程所對(duì)應(yīng)的白噪聲誤差系數(shù)矩陣；Wk-1為慣性導(dǎo)航系統(tǒng)誤差方程所對(duì)應(yīng)的白噪聲隨機(jī)誤差向量。
2.3.2 系統(tǒng)量測方程
在2.1和2.2節(jié)中，采用LM算法和兩步最小二乘算法計(jì)算出的地面用戶位置信息均為經(jīng)度、緯度和高度。因此，在東北天導(dǎo)航坐標(biāo)系下，2種 算法的量測模型相同，如式(30)所示。
ZM=HMX+VM=
(30)
式中：ZM為k時(shí)刻獲得的量測信息；HM為k時(shí)刻的量測系數(shù)矩陣；VM為k時(shí)刻的量測噪聲；wM1、wM2和wM3分別為緯度、經(jīng)度和高度方向的定位誤差。
根據(jù)以上所推導(dǎo)的系統(tǒng)狀態(tài)方程和量測方程，設(shè)計(jì)對(duì)應(yīng)的閉環(huán)卡爾曼濾波器為[13]
(31)
3 算法仿真驗(yàn)證與分析
為驗(yàn)證所提定位算法的有效性，首先采用Monte-Carlo方法進(jìn)行靜態(tài)仿真，測試LM算法和兩步最小二乘算法的定位精度，然后再與地面戰(zhàn)車中的慣性導(dǎo)航定位算法進(jìn)行組合導(dǎo)航仿真。
3.1 靜態(tài)測試
對(duì)無人機(jī)的空間分布已有學(xué)者進(jìn)行了研究，本文假設(shè)有6架無人機(jī)，按照蜂窩型空間布局[14-15]，地面用戶靜止，仿真參數(shù)如表1所示，采用本文所提算法進(jìn)行10 000次Monte-Carlo仿真。圖3為無人機(jī)和地面用戶的空間分布圖。
圖4～圖6分別為LM算法、一般最小二乘算法和兩步最小二乘算法的定位誤差分布。從圖中可以看出地面用戶的經(jīng)度、緯度和高度的誤差分布皆近似服從正態(tài)分布，并且經(jīng)度和緯度方向誤差較小，高度方向誤差較大。根據(jù)以上仿真結(jié)果分別統(tǒng)計(jì)了經(jīng)度、緯度、高度3個(gè)方向的均值和標(biāo)準(zhǔn)差，如表2所示。
從表2的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可以看出，LM算法和兩步最小二乘算法在水平方向定位誤差為10～13 m，2種算法的誤差標(biāo)準(zhǔn)差相近，但LM算法的誤差均值更小，在高度方向LM算法定位誤差標(biāo)準(zhǔn)差為334.5 m，兩步最小二乘算法誤差標(biāo)準(zhǔn)差為290.7 m，兩步最小二乘算法誤差更小，從三維分布誤差來看，兩步最小二乘算法略優(yōu)。此外，從表中標(biāo)準(zhǔn)差數(shù)據(jù)可以得到，相比一般最小二乘算法，本文所提出的LM算法在經(jīng)度、緯度和高度方向誤差分別降低了79.1%、63.2%和11.7%，兩步最小二乘算法在經(jīng)度、緯度和高度方向誤差分別降低了78.9%、65.8%和23.2%，在精度上有較大提升。
表1 靜態(tài)環(huán)境下仿真參數(shù)設(shè)置Table 1 Simulation parameters setting in static condition
圖3 無人機(jī)和地面戰(zhàn)車的空間分布Fig.3 Space distribution of UAVs and terrestrial user
圖4 LM算法定位誤差Fig.4 Position error using LM algorithm
圖6 兩步最小二乘算法定位誤差Fig.6 Position error using two-step least square algorithm
AlgorithmParameterLongitude error/mLatitude error/mAltitude error/m3-D error/mConventional least square algorithmLM algorithmTwo-step least square al-gorithmMean value-0.76 0.195.265.32Standard deviation 61.39 30.42378.7384.85Mean value-0.19-0.295.175.18Standard deviation 12.85 11.19334.5334.93Mean value3.21 2.770.374.26Standard deviation 12.96 10.39290.7291.17
3.2 動(dòng)態(tài)測試
在實(shí)際應(yīng)用中，無人機(jī)和地面用戶每時(shí)每刻都處于運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。本文設(shè)計(jì)了6架無人機(jī)及地面戰(zhàn)車的運(yùn)動(dòng)航跡，并通過提出的算法利用無人機(jī)位置信息和距離信息實(shí)時(shí)求解地面用戶的位置，再結(jié)合地面戰(zhàn)車本身的慣性導(dǎo)航系統(tǒng)獲得連續(xù)的位置輸出。圖7為無人機(jī)和地面戰(zhàn)車的三維航跡圖，在0～2 000 s，無人機(jī)起飛飛到預(yù)定區(qū)域，并在上空盤旋，在第2 000 s地面戰(zhàn)車開始運(yùn)動(dòng)，初始位置為109.75 °E，19.5 °N，高度為500 m。整個(gè)仿真時(shí)長為3 600 s。
圖8中紅色為一般最小二乘算法的定位誤差曲線，藍(lán)色為LM算法的定位誤差曲線，綠色為兩步最小二乘算法的定位誤差曲線。從圖中可以看出地面用戶的定位誤差呈現(xiàn)一定的周期性變化，這是由于無人機(jī)在空中盤旋使得幾何構(gòu)型改變，從而引起定位誤差的變化。表3為動(dòng)態(tài)情況下地面戰(zhàn)車的定位誤差統(tǒng)計(jì)，可以看出在地面戰(zhàn)車的運(yùn)動(dòng)過程中本文所提出的2種定位方法的標(biāo)準(zhǔn)差相近，但LM算法的高度方向精度稍差。
圖7 地面用戶和無人機(jī)的三維航跡圖Fig.7 Three dimensional trajectory of terrestrial user and UAVs
圖8 無人機(jī)輔助定位誤差Fig.8 Position error based on unmanned aerial vehicles
AlgorithmParameterLongitude error/mLatitude error/mAltitude error/m3-D error/mConventional least square algorithmLM algorithmTwo-step least square algorithmMean value-2.531.71-19.2919.53Standard deviation 44.1738.33 476.2479.8Mean value-0.310.44 2.542.60Standard deviation 17.118.91 330.1331.1Mean value 0.431.07-6.806.89Standard deviation 17.9318.81 297.2298.3
下面測試地面戰(zhàn)車組合導(dǎo)航結(jié)果。地面戰(zhàn)車的慣性導(dǎo)航系統(tǒng)參數(shù)配置如表4所示。
根據(jù)表3地面戰(zhàn)車定位誤差統(tǒng)計(jì)，將卡爾曼濾波算法中的量測噪聲經(jīng)度、緯度和高度方向分別設(shè)置為20、20、300 m。
圖9和圖10分別為一般最小二乘算法、LM算法和兩步最小二乘算法下地面戰(zhàn)車組合導(dǎo)航的速度誤差和位置誤差曲線。表5對(duì)地面戰(zhàn)車組合導(dǎo)航的速度誤差和位置誤差進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)。從以上誤差對(duì)比結(jié)果可以看出，在與地面車輛慣性導(dǎo)航系統(tǒng)輸出進(jìn)行卡爾曼濾波數(shù)據(jù)融合后，導(dǎo)航輸出結(jié)果更加穩(wěn)定，本文提出的2種算法的誤差標(biāo)準(zhǔn)差相近。在高度方向，2種定位算法誤差均較大，可以考慮采用氣壓計(jì)等高度傳感器輔助，用以提高定位精度。
表4 地面用戶捷聯(lián)慣性導(dǎo)航系統(tǒng)參數(shù)配置
圖9 組合導(dǎo)航速度誤差曲線Fig.9 Velocity error curve of integrated navigation
圖10 組合導(dǎo)航位置誤差曲線Fig.10 Position error curve of integrated navigation
ParametersConventional least square algorithmLM algorithmTwo-step least square algorithmMean valueStandard deviationMean valueStandard deviationMean valueStandard deviationEast velocity error/(m·s-1)-0.330.93-0.290.72-0.250.75North velocity error/(m·s-1) 0.470.99-0.060.71 0.390.71Up velocity error/(m·s-1)-1.122.50 1.032.17-0.202.16Longitude error/m-5.2115.12-2.567.53-1.498.23Latitude error/m 5.7713.79 0.768.27 4.338.00Altitude error/m-28.37106.8 25.8579.01-8.7568.09
4 結(jié) 論
1) 針對(duì)衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)受到干擾不可用的情況，利用無人機(jī)的位置及其與用戶的距離信息，分別采用LM算法模型和兩步最小二乘算法模型計(jì)算出地面用戶的實(shí)時(shí)位置，解決了偽距定位算法中矩陣不可逆問題，從定位結(jié)果來看，本文所提出的算法相比一般最小二乘算法在精度有較大提升。
2) 結(jié)合地面用戶自身的慣性導(dǎo)航系統(tǒng)，通過卡爾曼濾波算法進(jìn)行信息融合，獲得地面用戶連續(xù)的位置信息。仿真驗(yàn)證表明，采用本文所提出的區(qū)域?qū)Ш蕉ㄎ凰惴?，可以在衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)拒止環(huán)境下，滿足一定區(qū)域范圍內(nèi)用戶的導(dǎo)航定位需求。
3) 從靜態(tài)定位精度結(jié)果來看，LM算法和兩步最小二乘算法均能實(shí)現(xiàn)對(duì)地面用戶的定位，從三維空間誤差統(tǒng)計(jì)來看，兩步最小二乘算法精度略優(yōu)。但由于2種算法的原理不同，無人機(jī)分布的幾何構(gòu)型以及無人機(jī)本身定位精度和測距誤差等因素對(duì)這兩種算法的影響還需要再深入研究。
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在利用偽衛(wèi)星進(jìn)行輔助定位過程中，需要確定偽衛(wèi)星基站的位置及與用戶的距離，通過幾何定位解算出用戶位置[6-7]。為了更加快速靈活地部署偽衛(wèi)星基站，實(shí)現(xiàn)無衛(wèi)星環(huán)境下的區(qū)域?qū)Ш蕉ㄎ还δ?，本文以無人機(jī)(UAV)作為空基平臺(tái)，提出一種區(qū)域?qū)Ш蕉ㄎ凰惴?，?shí)現(xiàn)對(duì)地面用戶的定位。將無人機(jī)部署在預(yù)定空域，并播發(fā)自身位置及時(shí)鐘信息，地面用戶通過接收無人機(jī)位置及與無人機(jī)的距離，分別采用列文伯格-馬夸爾特(LM)算法模型和兩步最小二乘算法模型計(jì)算出地面用戶的實(shí)時(shí)位置，在衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)不可用情況下，滿足一定區(qū)域范圍內(nèi)用戶的導(dǎo)航定位需求。
1 無人機(jī)輔助區(qū)域?qū)Ш蕉ㄎ环桨?/h2>
(1)
以地面戰(zhàn)車為例，本文設(shè)計(jì)了基于無人機(jī)輔助的地面用戶導(dǎo)航定位方案。在圖1的區(qū)域?qū)Ш蕉ㄎ粓鼍爸?，在沒有GNSS信號(hào)的情況下，無人機(jī)編隊(duì)處于獨(dú)立組網(wǎng)模式，以其中一架無人機(jī)作為時(shí)間基準(zhǔn)，其他無人機(jī)通過時(shí)間同步鏈路與基準(zhǔn)無人機(jī)實(shí)現(xiàn)高精度時(shí)間同步[8-9]?？紤]到無人機(jī)本身的定位誤差及測距誤差，直接采用式(1)求解可能會(huì)出現(xiàn)無解或虛數(shù)解的情況。
圖1 無人機(jī)輔助的地面用戶定位示意圖Fig.1 Sketch map of regional navigation based on unmanned aerial vehicles
為了綜合利用多架無人機(jī)的定位信息，本文采用LM非線性優(yōu)化算法來求解地面用戶位置。LM算法能通過修改參數(shù)達(dá)到結(jié)合高斯-牛頓算法以及梯度下降法的優(yōu)點(diǎn)，并對(duì)兩者的不足作改善，如高斯-牛頓算法中逆矩陣不存在時(shí)將無法繼續(xù)迭代的問題[10]。此外，為提高一般最小二乘算法的計(jì)算精度，消除地面戰(zhàn)車接收機(jī)與無人機(jī)之間的時(shí)鐘誤差，提出了兩步最小二乘算法，通過距離差分，消除鐘差，提高定位精度。在獲得地面戰(zhàn)車位置后，利用車載的慣性傳感器輸出信息，通過卡爾曼濾波算法進(jìn)行數(shù)據(jù)融合，得到最終的導(dǎo)航結(jié)果輸出。具體方案圖如圖2所示。
圖2 基于無人機(jī)輔助的地面用戶定位方案Fig.2 Scheme of regional navigation based on unmanned aerial vehicles
2 無人機(jī)輔助的地面用戶定位算法模型
2.1 LM算法模型
在圖1的定位場景中，對(duì)地面用戶接收到的N架無人機(jī)信息，考慮到地面用戶的等效時(shí)鐘誤差εU，有
(2)
(3)
式中：AU為衛(wèi)星導(dǎo)航偽距單點(diǎn)定位算法中的一個(gè)計(jì)算矩陣；
令
fi(Υ)=(xU-xi)2+(yU-yi)2+
(zU-zi)2-(Li-εU)2
式中：i=1,2,…,N，則用戶的坐標(biāo)位置U的最優(yōu)解U0等價(jià)為求解
(4)
根據(jù)泰勒公式將f(Υ)在Υ=Υk處展開，忽略二階小項(xiàng)，可得
f(Υ)≈f(Υk) +Ak(Υ-Υk)
(5)
式中：
f(Υ)的雅克比矩陣。
則
Q(Υ)≈(f(Υk) +Ak(Υ-Υk))T(f(Υk) +
Ak(Υ-Υk))
(6)
在傳統(tǒng)的高斯-牛頓迭代算法中，用戶位置及時(shí)鐘等效誤差的遞推公式為
(7)
(8)
(9)
在式(9)中，γk過大則會(huì)影響Υk+1的收斂速度，可以通過對(duì)比Q(Υk+1)和Q(Υk)的值進(jìn)行動(dòng)態(tài)調(diào)整。
2.2 兩步最小二乘算法模型
傳統(tǒng)最小二乘算法中，根據(jù)式(2)，第2～N個(gè)方程均減去第一個(gè)方程，整理后可得
HsΥ=bs
(10)
式中：
則，通過最小二乘計(jì)算可得
(11)
該算法簡單易實(shí)現(xiàn)，但是由于沒有考慮無人機(jī)的位置誤差和測距誤差，使得計(jì)算的定位結(jié)果誤差較大。針對(duì)圖1的定位場景，考慮到地面用戶與無人機(jī)的鐘差問題，并綜合利用無人機(jī)的位置誤差和測距誤差統(tǒng)計(jì)值，提出了兩步最小二乘算法，用于計(jì)算地面用戶的位置信息，其算法模型如下。
(12)
2(Uo-Si)TΔSi+2(Uo-S1)TΔS1
(13)
(14)
因此，式(13)可改寫為
(15)
(16)
(17)
式中：
(18)
(19)
(20)
cov(θ)=E(Δφ1(1:4)Δφ1(1:4)T)=
(GT(BQLBT)-1G-
GT(BQLBT)-1DR-1DT(BQLBT)-1G)-1
(21)
(22)
(23)
式中：Δθ(1∶3)為θ(1∶3)的估計(jì)誤差。
在式(23)中，兩端同時(shí)減去S1，再對(duì)向量中每個(gè)元素平方，略去二階小量，可得
-2(Uo-S1)⊙Δθ(1∶3)=
(Uo-S1)⊙(Uo-S1)
(24)
式中：⊙表示向量中對(duì)應(yīng)元素的乘積。
(25)
將式(24)和式(25)合并寫成矩陣形式，得
(26)
式中：
根據(jù)最小二乘準(zhǔn)則，可得地面用戶的位置結(jié)果為
(27)
由此可得地面用戶的定位結(jié)果表達(dá)式為
(28)
該算法第1步先求出地面用戶的誤差粗值，并求出其協(xié)方差矩陣，第2步利用誤差粗值的協(xié)方差矩陣及無人機(jī)的位置信息，計(jì)算出用戶與參考無人機(jī)的位置坐標(biāo)差值，最終獲得地面用戶的位置估計(jì)結(jié)果。該算法綜合利用了無人機(jī)的位置誤差和測距誤差統(tǒng)計(jì)值，使得最終的計(jì)算結(jié)果相比一般最小二乘算法更為準(zhǔn)確。
2.3 組合導(dǎo)航算法模型
以地面戰(zhàn)車為例，在采用以上方法計(jì)算出其位置之后，可以結(jié)合自身裝備的慣性導(dǎo)航系統(tǒng)輸出的傳感器信息進(jìn)行組合導(dǎo)航，獲得連續(xù)可靠的定位。
2.3.1 系統(tǒng)狀態(tài)方程
在慣性導(dǎo)航系統(tǒng)中，選取18維系統(tǒng)誤差狀態(tài)量為[12]
X=
導(dǎo)航坐標(biāo)系選取為東北天坐標(biāo)系，可以獲得慣性導(dǎo)航系統(tǒng)的誤差狀態(tài)方程為
Xk=Φk|k-1Xk-1+Gk-1Wk-1
(29)
式中：Φk|k-1為慣性導(dǎo)航系統(tǒng)誤差方程所對(duì)應(yīng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣；Gk-1為慣性導(dǎo)航系統(tǒng)誤差方程所對(duì)應(yīng)的白噪聲誤差系數(shù)矩陣；Wk-1為慣性導(dǎo)航系統(tǒng)誤差方程所對(duì)應(yīng)的白噪聲隨機(jī)誤差向量。
2.3.2 系統(tǒng)量測方程
在2.1和2.2節(jié)中，采用LM算法和兩步最小二乘算法計(jì)算出的地面用戶位置信息均為經(jīng)度、緯度和高度。因此，在東北天導(dǎo)航坐標(biāo)系下，2種 算法的量測模型相同，如式(30)所示。
ZM=HMX+VM=
(30)
式中：ZM為k時(shí)刻獲得的量測信息；HM為k時(shí)刻的量測系數(shù)矩陣；VM為k時(shí)刻的量測噪聲；wM1、wM2和wM3分別為緯度、經(jīng)度和高度方向的定位誤差。
根據(jù)以上所推導(dǎo)的系統(tǒng)狀態(tài)方程和量測方程，設(shè)計(jì)對(duì)應(yīng)的閉環(huán)卡爾曼濾波器為[13]
(31)
3 算法仿真驗(yàn)證與分析
為驗(yàn)證所提定位算法的有效性，首先采用Monte-Carlo方法進(jìn)行靜態(tài)仿真，測試LM算法和兩步最小二乘算法的定位精度，然后再與地面戰(zhàn)車中的慣性導(dǎo)航定位算法進(jìn)行組合導(dǎo)航仿真。
3.1 靜態(tài)測試
對(duì)無人機(jī)的空間分布已有學(xué)者進(jìn)行了研究，本文假設(shè)有6架無人機(jī)，按照蜂窩型空間布局[14-15]，地面用戶靜止，仿真參數(shù)如表1所示，采用本文所提算法進(jìn)行10 000次Monte-Carlo仿真。圖3為無人機(jī)和地面用戶的空間分布圖。
圖4～圖6分別為LM算法、一般最小二乘算法和兩步最小二乘算法的定位誤差分布。從圖中可以看出地面用戶的經(jīng)度、緯度和高度的誤差分布皆近似服從正態(tài)分布，并且經(jīng)度和緯度方向誤差較小，高度方向誤差較大。根據(jù)以上仿真結(jié)果分別統(tǒng)計(jì)了經(jīng)度、緯度、高度3個(gè)方向的均值和標(biāo)準(zhǔn)差，如表2所示。
從表2的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可以看出，LM算法和兩步最小二乘算法在水平方向定位誤差為10～13 m，2種算法的誤差標(biāo)準(zhǔn)差相近，但LM算法的誤差均值更小，在高度方向LM算法定位誤差標(biāo)準(zhǔn)差為334.5 m，兩步最小二乘算法誤差標(biāo)準(zhǔn)差為290.7 m，兩步最小二乘算法誤差更小，從三維分布誤差來看，兩步最小二乘算法略優(yōu)。此外，從表中標(biāo)準(zhǔn)差數(shù)據(jù)可以得到，相比一般最小二乘算法，本文所提出的LM算法在經(jīng)度、緯度和高度方向誤差分別降低了79.1%、63.2%和11.7%，兩步最小二乘算法在經(jīng)度、緯度和高度方向誤差分別降低了78.9%、65.8%和23.2%，在精度上有較大提升。
表1 靜態(tài)環(huán)境下仿真參數(shù)設(shè)置Table 1 Simulation parameters setting in static condition
圖3 無人機(jī)和地面戰(zhàn)車的空間分布Fig.3 Space distribution of UAVs and terrestrial user
圖4 LM算法定位誤差Fig.4 Position error using LM algorithm
圖6 兩步最小二乘算法定位誤差Fig.6 Position error using two-step least square algorithm
AlgorithmParameterLongitude error/mLatitude error/mAltitude error/m3-D error/mConventional least square algorithmLM algorithmTwo-step least square al-gorithmMean value-0.76 0.195.265.32Standard deviation 61.39 30.42378.7384.85Mean value-0.19-0.295.175.18Standard deviation 12.85 11.19334.5334.93Mean value3.21 2.770.374.26Standard deviation 12.96 10.39290.7291.17
3.2 動(dòng)態(tài)測試
在實(shí)際應(yīng)用中，無人機(jī)和地面用戶每時(shí)每刻都處于運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。本文設(shè)計(jì)了6架無人機(jī)及地面戰(zhàn)車的運(yùn)動(dòng)航跡，并通過提出的算法利用無人機(jī)位置信息和距離信息實(shí)時(shí)求解地面用戶的位置，再結(jié)合地面戰(zhàn)車本身的慣性導(dǎo)航系統(tǒng)獲得連續(xù)的位置輸出。圖7為無人機(jī)和地面戰(zhàn)車的三維航跡圖，在0～2 000 s，無人機(jī)起飛飛到預(yù)定區(qū)域，并在上空盤旋，在第2 000 s地面戰(zhàn)車開始運(yùn)動(dòng)，初始位置為109.75 °E，19.5 °N，高度為500 m。整個(gè)仿真時(shí)長為3 600 s。
圖8中紅色為一般最小二乘算法的定位誤差曲線，藍(lán)色為LM算法的定位誤差曲線，綠色為兩步最小二乘算法的定位誤差曲線。從圖中可以看出地面用戶的定位誤差呈現(xiàn)一定的周期性變化，這是由于無人機(jī)在空中盤旋使得幾何構(gòu)型改變，從而引起定位誤差的變化。表3為動(dòng)態(tài)情況下地面戰(zhàn)車的定位誤差統(tǒng)計(jì)，可以看出在地面戰(zhàn)車的運(yùn)動(dòng)過程中本文所提出的2種定位方法的標(biāo)準(zhǔn)差相近，但LM算法的高度方向精度稍差。
圖7 地面用戶和無人機(jī)的三維航跡圖Fig.7 Three dimensional trajectory of terrestrial user and UAVs
圖8 無人機(jī)輔助定位誤差Fig.8 Position error based on unmanned aerial vehicles
AlgorithmParameterLongitude error/mLatitude error/mAltitude error/m3-D error/mConventional least square algorithmLM algorithmTwo-step least square algorithmMean value-2.531.71-19.2919.53Standard deviation 44.1738.33 476.2479.8Mean value-0.310.44 2.542.60Standard deviation 17.118.91 330.1331.1Mean value 0.431.07-6.806.89Standard deviation 17.9318.81 297.2298.3
下面測試地面戰(zhàn)車組合導(dǎo)航結(jié)果。地面戰(zhàn)車的慣性導(dǎo)航系統(tǒng)參數(shù)配置如表4所示。
根據(jù)表3地面戰(zhàn)車定位誤差統(tǒng)計(jì)，將卡爾曼濾波算法中的量測噪聲經(jīng)度、緯度和高度方向分別設(shè)置為20、20、300 m。
圖9和圖10分別為一般最小二乘算法、LM算法和兩步最小二乘算法下地面戰(zhàn)車組合導(dǎo)航的速度誤差和位置誤差曲線。表5對(duì)地面戰(zhàn)車組合導(dǎo)航的速度誤差和位置誤差進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)。從以上誤差對(duì)比結(jié)果可以看出，在與地面車輛慣性導(dǎo)航系統(tǒng)輸出進(jìn)行卡爾曼濾波數(shù)據(jù)融合后，導(dǎo)航輸出結(jié)果更加穩(wěn)定，本文提出的2種算法的誤差標(biāo)準(zhǔn)差相近。在高度方向，2種定位算法誤差均較大，可以考慮采用氣壓計(jì)等高度傳感器輔助，用以提高定位精度。
表4 地面用戶捷聯(lián)慣性導(dǎo)航系統(tǒng)參數(shù)配置
圖9 組合導(dǎo)航速度誤差曲線Fig.9 Velocity error curve of integrated navigation
圖10 組合導(dǎo)航位置誤差曲線Fig.10 Position error curve of integrated navigation
ParametersConventional least square algorithmLM algorithmTwo-step least square algorithmMean valueStandard deviationMean valueStandard deviationMean valueStandard deviationEast velocity error/(m·s-1)-0.330.93-0.290.72-0.250.75North velocity error/(m·s-1) 0.470.99-0.060.71 0.390.71Up velocity error/(m·s-1)-1.122.50 1.032.17-0.202.16Longitude error/m-5.2115.12-2.567.53-1.498.23Latitude error/m 5.7713.79 0.768.27 4.338.00Altitude error/m-28.37106.8 25.8579.01-8.7568.09
4 結(jié) 論
1) 針對(duì)衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)受到干擾不可用的情況，利用無人機(jī)的位置及其與用戶的距離信息，分別采用LM算法模型和兩步最小二乘算法模型計(jì)算出地面用戶的實(shí)時(shí)位置，解決了偽距定位算法中矩陣不可逆問題，從定位結(jié)果來看，本文所提出的算法相比一般最小二乘算法在精度有較大提升。
2) 結(jié)合地面用戶自身的慣性導(dǎo)航系統(tǒng)，通過卡爾曼濾波算法進(jìn)行信息融合，獲得地面用戶連續(xù)的位置信息。仿真驗(yàn)證表明，采用本文所提出的區(qū)域?qū)Ш蕉ㄎ凰惴?，可以在衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)拒止環(huán)境下，滿足一定區(qū)域范圍內(nèi)用戶的導(dǎo)航定位需求。
3) 從靜態(tài)定位精度結(jié)果來看，LM算法和兩步最小二乘算法均能實(shí)現(xiàn)對(duì)地面用戶的定位，從三維空間誤差統(tǒng)計(jì)來看，兩步最小二乘算法精度略優(yōu)。但由于2種算法的原理不同，無人機(jī)分布的幾何構(gòu)型以及無人機(jī)本身定位精度和測距誤差等因素對(duì)這兩種算法的影響還需要再深入研究。
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