趙新偉 馬超群 徐光魯

摘要：基于大宗商品收益率與便利收益服從均值回復過程的假設，建立帶協(xié)整效應的多資產(chǎn)大宗商品期權定價模型，求解多資產(chǎn)大宗商品期權價格的解析解，將大宗商品期權定價推廣到更一般情況。結(jié)果表明：標的資產(chǎn)收益率增加，期權價格上升，替代品期權價格下降；標的資產(chǎn)的便利收益增加，期權價格下降，相應替代品的期權價格上升。

關鍵詞：大宗商品；期權定價；隨機收益率；隨機便利收益；協(xié)整

中圖分類號：F830.9文獻標識碼：A文章編號：10037217（2018）04005908

一、引言

2017年3月31日，豆粕期權在大連商品交易所上市，4月19日，白糖期權在鄭州商品交易所正式掛牌交易，從此，中國大宗商品開啟期權時代。商品期權的推出有助于深化期貨市場功能，豐富風險管理工具[1]，提升企業(yè)期貨市場參與程度與期貨市場運行質(zhì)量，使金融能夠更好地服務于實體經(jīng)濟。

標的資產(chǎn)收益率是影響大宗商品衍生品價格的主要因素。收益率越高，投資者持有該資產(chǎn)所獲得的利潤越高，相應衍生產(chǎn)品越受投資者青睞。收益率是衡量資產(chǎn)價值的重要指標，對大宗商品期權定價具有重要影響。以往有關大宗商品衍生品定價的研究大多以無風險利率代替標的資產(chǎn)收益率，甚至假設其為常數(shù)[2，3]，不能反映大宗商品收益的不確定性，因此，Schwartz[4]認為用均值回復過程刻畫標的資產(chǎn)收益率更為準確。眾多學者均認為大宗商品收益率具有隨機性，例如Miltersen和Schwartz[5]，Casassus和Dufresne[6]，Cheng[7]，Lai和Mellios[8]等。因此，大宗商品期權定價應考慮不同資產(chǎn)收益率對標的資產(chǎn)期權價格的影響。

便利收益是影響大宗商品衍生品價格的重要因素。與其他期權不同，商品期權屬于實物期權，投資者持有實物資產(chǎn)的價值與便利收益有關。Brennan[9]，F(xiàn)ama和French[10，11]研究發(fā)現(xiàn)，大宗商品持有者在持有實物資產(chǎn)時會產(chǎn)生便利收益（ConvenienceYield）。便利收益是大宗商品的固有屬性，是投資者持有實物資產(chǎn)時獲得的收益[12]，本質(zhì)上，便利收益依賴于資產(chǎn)持有者對大宗商品的儲存屬性[13]，實物資產(chǎn)持有者對市場供需狀況帶來的沖擊反應較迅速，可以選擇最有利的策略應對該沖擊[14]。以往有關大宗商品期權定價的研究忽略了便利收益對期權價格的影響，而便利收益是大宗商品衍生品價格的重要影響因素之一。Black[15]在BlackSchole[16]期權定價公式基礎上首次研究了大宗商品期權定價問題。AsayMR[17]認為已有期權定價公式的標的資產(chǎn)更適于商品期貨合約，因為商品期貨較大宗商品流動性更好，其價格變化更符合隨機過程假設，而以實物為標的資產(chǎn)，則需考慮便利收益等因素。Heinkel等[18]以期權收益視角對便利收益進行了深入分析。Gibson和Schwartz[2]認為便利收益應服從均值回復過程，首先從理論上建立了二因子模型來描述原油價格變化過程，此后，眾多學者研究大宗商品衍生品定價時均采用均值回復過程刻畫便利收益，例如Schwartz[4]，Miltersen和Schwartz[5]，Casassus和Dufresne[6]，Schwartz和Smith[19]等。Hinz和Fehr[20]認為大宗商品期權定價需考慮儲存成本，便利收益與儲存成本密切相關（例如儲存成本為負時即可理解為便利收益），Liu和Tang[21]研究發(fā)現(xiàn)，便利收益具有異方差性，且呈動態(tài)變化。因此，便利收益是研究大宗商品期權定價必不可少的影響因素之一。

相關資產(chǎn)間的協(xié)整效應也是影響大宗商品衍生品價格的因素之一。大宗商品屬于功能類商品，某些商品間具有替代性（例如原油與取暖油），因此，其市場價格間會產(chǎn)生相互影響，這種影響被稱為資產(chǎn)間的協(xié)整效應。Duan和Pliska[22]在風險中性條件下研究了帶協(xié)整效應的期權定價問題。Nakajima和Ohashi[3]認為當便利收益存在時，風險中性測度下商品價格漂移項會偏離無風險利率，因此，Duan和Pliska的期權定價公式將不再成立。Nakajima和Ohashi[3，23]在隨機便利收益的假設下拓展了Gibson和Schwartz的二因子模型，研究了帶協(xié)整效應的大宗商品期貨期權定價問題，并通過實證研究證明了大宗商品間協(xié)整效應的存在性。大宗商品作為金融資產(chǎn)，與股票等資產(chǎn)不同，其價格會受到生產(chǎn)和儲存條件的影響，同時，還會受到同類商品價格的影響，因此，研究大宗商品期權定價問題，必須考慮不同資產(chǎn)間的協(xié)整效應。

安寧和劉志新[24]根據(jù)便利收益理論發(fā)現(xiàn)中國商品期貨收益具備看漲期權的特性，且呈現(xiàn)周期性循環(huán)變化。潘堅和劉福來[25]，周洪海等[26]研究了一類帶交易費的商品期權定價問題。呂永琦[27]基于商品的日便利收益研究了期權定價問題，研究發(fā)現(xiàn)，交換期權的性質(zhì)可以解釋便利收益的變化。王蘇生等[28]將便利收益作為一種看漲期權，進而研究了碳排放及期權定價問題。

雖然已有研究從不同角度研究了大宗商品期權定價問題，但沒有同時考慮標的資產(chǎn)收益率與便利收益的隨機性，以及不同資產(chǎn)間的協(xié)整效應。因此，本文在隨機收益率和隨機便利收益的假設下研究了帶協(xié)整效應的大宗商品期權定價問題，可以同時刻畫大宗商品收益的不確定性以及便利收益的隨機性，并能夠反映同類大宗商品間的價格影響關系。本文貢獻在于：在標的資產(chǎn)收益率和便利收益服從均值回復過程的假設下，建立了帶協(xié)整效應的多資產(chǎn)大宗商品期權定價模型，并得到了該模型下歐式看漲期權的定價公式，拓展了大宗商品期權定價理論；分析了收益率、便利收益對標的資產(chǎn)及其替代品期權價格的影響，解釋了大宗商品間的價格影響機理，對投資者及商品期權市場具有一定的指導意義。

二、多資產(chǎn)大宗商品期權定價

（一）模型建立

假設市場上有n個存在協(xié)整效應的大宗商品，t（t≥0）時刻第i（i=1，…n）個商品的價格為Si（t），其便利收益為δi（t），收益率為ri（t），三者均為概率空間（Ω，F(xiàn)，Q）上的隨機變量，令Xi（t）=lnSi（t），標的資產(chǎn)對數(shù)價格服從如下隨機過程，dXi（t）=ri（t）-σ2Si2-δi（t）+biz（t）dt+

σSidWSi（t）（1）

其中，標的資產(chǎn)收益率和便利收益服從均值回復過程，

dri（t）=kri（mi-ri（t））dt+σridWri（t）（2）

dδi（t）=kδi（αi-δi（t））dt+σδidWδi（t）（3）

z（t）為標的資產(chǎn)間的協(xié)整效應，

z（t）=μz+a0t+∑ni=1aiXi（t）（4）

i，j=1…n，μz，a0，ai，bi，kri，kδi，αi，mi，σSi，σri，σδi為常數(shù)，WS，Wr，Wδ為概率空間（Ω，F(xiàn)，Q）上具有相關性的標準布朗運動，其協(xié)方差矩陣為

1ρSrρSδ

ρSr1ρrδ

ρSδρrδ1t（5）

為保證布朗運動協(xié)方差矩陣的非負定性，令相關系數(shù)滿足如下條件，

1+2ρSrρSδρrδ-ρ2Sr-ρ2Sδ-ρ2rδ≥0（6）

當標的資產(chǎn)收益率為常數(shù)，多個資產(chǎn)間無協(xié)整效應時，上述模型退化為GibsonSchwartz[2]的GS模型，當資產(chǎn)間不存在協(xié)整效應，且標的資產(chǎn)收益率服從均值回復過程時，本模型退化為Schwartz[4]的三因子模型。

（二）歐式看漲期權定價

假設t時刻第i個標的資產(chǎn)價格為Si（t），T時刻歐式看漲期權的執(zhí)行價格為K，由式（2）可知，收益率服從均值回復過程，則遠期測度QT下，該看漲期權的價格Ci（t，T）為

Ci（t，T）=EQTe-∫Ttri（s）ds（Si（T）-K）+（7）

定義遠期測度QT下拉東-尼柯迪姆導數(shù)為

dQTdQ=e-∫Ttri（s）dsEe-∫Ttri（s）dsFt（8）

其中，E·為測度Q下的數(shù)學期望，令Pi（t，T）=Ee-∫Ttri（s）dst，則遠期測度QT下歐式看漲期權價格可寫為

Ci（t，T）=Pi（t，T）EQT（Si（T）-K）+（9）

對任意u∈t，T，由式（2）直接計算可得，

ri（u）=mi+（ri（t）-mi）e-kri（u-t）+

e-kriu∫utσriekrisdWri（s）（10）

令M（u，T，k）=1-e-k（T-u），那么

-∫Ttri（s）ds=-mi（T-t）-（ri（t）-mi）kriM（t，

T，kri）-σrikri∫TtM（s，T，kri）dWri（s）（11）

直接計算可得，

Pi（t，T）=exp

-mi（T-t）-（ri（t）-mi）kriM（t，T，kri）+

12∫Ttσ2rik2riM2（s，T，kri）ds（12）

dQTdQ=exp-∫TtσrikriM（s，T，kri）dWri（s）-

12∫Ttσ2rik2riM2（s，T，kri）ds（13）

則遠期測度QT下的布朗運動WTri（u）為

WTri（u）=Wri（u）+∫utσrikriM（s，T，kri）ds（14）

定義布朗運動ri（t），Si（t），δi（t），令

Wri（t）=ri（t）（15）

WSi（t）=ρSrri（t）+1-ρ2SrSi（t）（16）

Wδi（t）=ρSrri（t）+ρSδ-ρSrρrδ1-ρ2Srri（t）+

（1-ρ2Sr）（1-ρ2rδ）-（ρSδ-ρSrρrδ）21-ρ2Srδi（t）

（17）

根據(jù)Fan等[29]可知，ri（t），Si（t），δi（t）為概率空間（Ω，F(xiàn)，Q）上相互獨立的標準布朗運動。

令：

i（t，T）=∫Tt（ri（s）-σ2Si2-δi（s）+

biz（s））ds+∫TtσSidWSi（s）（18）

則Si（T）=Si（t）expi（t，T），即式（18）與式（1）等價。

引理1令ρ1=ρSδ-ρSrρrδ1-ρ2Sr，ρ2=（1-ρ2Sr）（1-ρ2rδ）-（ρSδ-ρSrρrδ）21-ρ2Sr，β=∑ni=1biai，

γ=-a0+12∑ni=1aiσ2Siβ，

M（u，T，k）=1-e-k（T-u），

M（u，T，k，c）=e-（cT+k（T-u））-e-cu，

（x，y）=exT-extx-exT-e-yT+（x+y）tx+y，

（x）=T-t-M（t，T，x）x，

fri=mi+（ri（t）-mi）e-kri（T-t）kri，

fδi=αi+（δi（t）-αi）e-kδi（T-t）kδi，

f0=（biγ-σ2Si2+mi-αi-∑nj=1

biaj（mj-αj）β）（T-t）

+（bi（γ-z（t））β-

∑nj=1biajkrjmjβ2（krj+β）+∑nj=1biajkδjαjβ2（kδj+β））

M（t，T，-β），

f1（x）=biajβx-biajeβ（T-t）β（x+β），f2（x）=biajβx-biajβ（x+β），f3（x，y）=biajσxβkx-biajσyβky，

g1i=-σrie-kriTkriekris+σrikri+ρrδσδie-kδiTkδiekδis+ρSrσSi-ρrδσδikδi，

g2i=ρ2σδie-kδiTkδiekδis-ρ2σδikδi，

g3i=ρ1σδie-kδiTkδiekδis-ρ1σδikδi+1-ρ2SrσSi

g1ij=σrje-krjTf2（krj）ekrjs-

ρrδσδje-kδjTf2（kδj）ekδjs-f3（rj，δj）+biajσrjeβTβ（krj+β）e-βs-ρrδbiajσδjeβTβ（kδj+β）e-βs+ρSrσSjbiaj（eβ（T-s）-1）β

g2ij=ρ2σδje-kδjTf2（kδj）ekδjs+ρ2biajσδjeβTβ（kδj+β）e-βs，

g3ij=ρ1σδje-kδjTf2（kδj）ekδjs+ρ1biajσδjeβTβ（kδj+β）e-βS+biajσSj1-ρ2SrM（s，T，-β）β，

假設kri，kδi，β不為零，且β≠-kri，β≠-kδi，那么，遠期測度QT下i（t，T）的期望μi（t，T）和方差σ2i（t，T）分別為：

μi（t，T）=f0-fri+fδi+ri（t）kri-δi（t）kδi-

σ2rie-kγiTk2ri（kri，kri）+ρrδσriσδie-kδiTkrikδi（kδi，kri）

+σ2rik2ri（kri）-ρrδσriσδikrikδi（kri）+

ρSrσriσSikri（kri）-∑nj=1f1（krj）rj（t）+

∑nj=1f1（kδj）δj（t）+∑nj=1f2（krj）frjkrj-

∑nj=1f2（kδj）fδjkδj-∑nj=1（σrjkrjf3（rj，δj）+ρSrσrjσSjbiajβkrj）（krj）+

∑nj=1σ2rje-krjTkrjf2（krj）（krj，krj）-

∑nj=1ρrδσrjσδje-kδjTkrjf2（kδj）（kδj，krj）+

∑nj=1（biajσ2rjeβTkrjβ（krj+β）-ρrδbiajσδjσrjeβTkrjβ（kδj+β）+

ρSrσrjσSjeβTbiajβkrj）（-β，krj）

σ2i（t，T）=∫Ttg21ids+∫Ttg22ids+∫Ttg23ids+

∑nj=1∑nk=1∫Ttg1ijg1ikds+

∑nj=1∑nk=1∫Ttg2ijg2ikds+

∑nj=1∑nk=1∫Ttg3ijg3ikds+2∫Ttρrδg1ig2ids+

2∫TtρSrg1ig3ids+∑nj=12∫Ttg1ig1ijds-

∑nj=12∫Ttρrδg1ig2ijds-∑nj=12∫TtρSrg1ig3ijds+

2∫TtρSδg2ig3ids+∑nj=12∫Ttρrδg2ig1ijds-

∑nj=12∫Ttg2ig2ijds-∑nj=12∫TtρSδg2ig3ijds+

∑nj=12∫TtρSrg3ig1ijds-∑nj=12∫TtρSδg3ig2ijds-

∑nj=12∫Ttg3ig3ijds-∑nj=1∑nk=1∫Ttρrδg1ijg2ikds-

∑nj=1∑nk=1∫TtρSrg1ijg3ikds+∑nj=1∑nk=1∫TtρSδg2ijg3ikds

證明為了計算遠期測度QT下i（t，T）的期望μi（t，T）和方差σ2i（t，T），首先需計算測度Q下的未知項∫Ttri（s）ds，∫Ttδi（s）ds和∫Ttz（s）ds。

因為β=∑ni=1biai，γ=-a0+12∑ni=1aiσ2Siβ，根據(jù)式（4），利用伊藤引理可得：

dz（t）=-β（γ-z（t））dt+∑ni=1airi（t）dt-

∑ni=1aiδi（t）dt+∑ni=1aiσSidWSi（t），

所以，

∫Ttz（s）ds=z（T）-z（t）β+γ（T-t）-∑ni=1aiβ∫Ttri（s）ds+∑ni=1aiβ∫Ttδi（s）ds-∑ni=1aiβσSi∫TtdWSi（s）（19）

利用分部積分公式直接計算可得：

z（T）=eβ（T-t）z（t）+γM（t，T，-β）+∑ni=1∫Tteβ（T-s）ai（ri（s）-δi（s））ds+∑ni=1∫Tteβ（T-s）aiσSidWSi（s）（20）

類似的，根據(jù)式（2）、（3），我們有：

∫Ttri（s）ds=mi（T-t）-ri（T）-ri（t）kri+

σrikri∫TtdWri（s）（21）

∫Ttδi（s）ds=αi（T-t）-δi（T）-δi（t）kδi+

σδikδi∫TtdWδi（s）（22）

其中，

ri（T）=mi+（ri（t）-mi）e-kri（T-t）+

e-kriT∫TtσriekrisdWri（s）（23）

δi（T）=αi+（δi（t）-αi）e-kδi（T-t）+

e-kδiT∫TtσδiekδisdWδi（s）（24）

將式（20）-（24）帶入式（19）得：

∫Ttz（s）ds=（γ-z（t））M（t，T，-β）β+γ（T-t）+∑ni=1aiβeβT∫Tte-βs（ri（s）-δi（s））ds-∑ni=1aiβ∫Tt（ri（s）-δi（s））ds+∑ni=1aiβσSieβT∫Tte-βsdWSi（s）-∑ni=1aiβσSi∫TtdWSi（s）（25）

由式（15）-（17）可知，遠期測度QT下，

dWTri（u）=σrikriM（u，T，kri）du+dri（u）（2.26）

dWTSi（u）=ρSrσrikriM（u，T，kri）du+ρSrdri（u）+1-ρ2SrdSi（u）（27）

dWTδi（u）=ρrδσrikriM（u，T，kri）du+ρrδdri（u）+ρ1dSi（u）+ρ2dδi（u）（28）

將式（19）-（28）帶入i（t，T），遠期測度QT下，直接計算可得：

Ti（t，T）=f0-fri+fδi+ri（t）kri-δi（t）kδi-

σ2rie-kriTk2ri（kri，kri）+ρrδσriσδie-kδiTkrikδi（kδi，kri）+

σ2rik2ri（kri）-ρrδσriσδikrikδi（kri）+ρSrσriσSikri（kri）-

∑nj=1f1（krj）rj（t）+∑nj=1f1（kδj）δj（t）+

∑nj=1f2（krj）frjkrj-∑nj=1f2（kδj）fδjkδj-

∑nj=1σrjkrjf3（rj，δj）（krj）-

∑nj=1ρSrσrjσSjbiajβkrj（krj）+

∑nj=1σ2rje-krjTkrjf2（krj）（krj，krj）-

∑nj=1ρrδσrjσδje-kδjTkrjf2（kδj）（kδj，krj）+

∑nj=1（biajσ2rjeβTkrjβ（krj+β）-ρrδbiajσδjσrjeβTkrjβ（kδj+β）+

ρSrσrjσSjeβTbiajβkrj）（-β，krj）+∫Ttg1idri（s）+

∫Ttg2idδi（s）+∫Ttg3idSi（s）+

∑nj=1∫Ttg1ijdrj（s）-∑nj=1∫Ttg2ijdδj（s）-

∑nj=1∫Ttg3ijdSj（s）（29）

直接對式（29）中Ti（t，T）求期望和方差，即得所求結(jié)果。

證畢。

根據(jù)式（18）可知，標的資產(chǎn)對數(shù)價格Xi的期望μXi（t，T）即μi（t，T），方差σ2Xi（t，T）即σ2i（t，T），因此我們有如下定理求解多資產(chǎn)大宗商品期權定價模型，進而得到歐式看漲期權定價公式。

定理1假設t時刻第i個標的資產(chǎn)價格為Si（t），Xi（t）=lnSi（t），T時刻歐式看漲期權的執(zhí)行價格為K，n（xi|μXi（t，T），σ2Xi（t，T））為標的資產(chǎn)對數(shù)價格Xi的概率密度函數(shù)，則t時刻到期日為T的歐式看漲期權價格為

Ci（t，T）=Pi（t，T）eμXi+σ2Xi2（1-Φ（di1（t，T）））-Pi（t，T）K（1-Φ（di2（t，T））），

其中，di1（t，T）=lnK-（μXi+σ2Xi）σXi，di2（t，T）=lnK-μXiσXi。

證明由假設條件可知，T時刻歐式看漲期權的收益為Si（T）-K，風險中性條件下，期望收益為

EQT（Si（T）-K）+：=EQT[max（Si（T）-K，0）]，

則該看漲期權現(xiàn)值為

Ee-∫Ttri（s）ds（Si（T）-K）+，

因為Xi（t）=lnSi（t），所以該期權對數(shù)價格的可行域為D=xixi≥K，

記μXi（t，T）為μXi，σ2Χi（t，T）為σ2Xi，則期權價格可寫為

Ci（t，T）=Ee-∫Ttri（s）ds（Si（T）-K）+=

Pi（t，T）∫D（exi-K）n（xiμXi，σ2Xi）dxi=

Pi（t，T）（∫Dexin（xiμXi，σ2Xi）dxi-

K∫Dn（xiμXi，σ2Xi）dxi）（30）

而

∫Dexin（xiμXi，σ2Xi）dxi=

∫Dexi12πσXie-（xi-μXi）22σ2Xidxi=

eμXi+σ2Χi2∫D12πσXie-（xi-（μXi+σ2Xi））22σ2Xidxi（31）

令y=xi-（μXi+σ2Xi）σXi進行變量代換得：

∫Dexin（xiμXi，σ2Xi）dxi=

eμXi+σ2Xi212πσXi∫+∞di1e-y22dy（32）

其中，di1（t，T）=lnK-（μXi+σ2Xi）σXi。

同理，

∫Dn（xiμXi，σ2Xi）dxi=12πσXi∫+∞di2e-y22dy（33）

其中，di2（t，T）=lnK-μXiσXi。

整理得：

Ci（t，T）=Pi（t，T）（∫Dexin（xiμXi，σ2Xi）dxi-K∫Dn（xiμXi，σ2Xi）dxi）=Pi（t，T）eμXi+σ2Xi2（1-Φ（di1（t，T）））-Pi（t，T）K（1-Φ（di2（t，T）））（34）

證畢。

由定理1中的期權價格公式可知，資產(chǎn)i的期權價格不僅與合約期限及行權價格K有關，還與該資產(chǎn)的收益與風險有關，而資產(chǎn)i的期望收益μXi（t，T）與風險σ2Xi（t，T）會受到具有協(xié)整效應的相關產(chǎn)品影響，根據(jù)μXi（t，T）和σ2Xi（t，T）的計算公式可知，多資產(chǎn)大宗商品期權定價模型中各參數(shù)會對μXi（t，T）與σ2Xi（t，T）產(chǎn)生影響。因此，大宗商品期權價格不僅受到模型參數(shù)及初始條件的影響，還會受到行權價格K的影響，帶協(xié)整效應的相關產(chǎn)品也會對大宗商品期權定價產(chǎn)生影響，除此之外，各資產(chǎn)的隨機收益率與便利收益對大宗商品期權價格也產(chǎn)生重要影響[30]。

三、數(shù)值分析

通過前文理論分析可知，本文所提模型為隨機收益與隨機便利收益條件下，帶協(xié)整效應的多資產(chǎn)大宗商品期權定價模型。模型中包含μz，a0，ai，bi，kri，kδi，αi，mi，σSi，σri，σδi等參數(shù)，這些參數(shù)反映了大宗商品的市場環(huán)境，當任意給定一組參數(shù)后，t時刻任一資產(chǎn)的期權價格可根據(jù)定理1計算得到。

本文分別計算固定收益與協(xié)整效應條件下、隨機收益與無協(xié)整效應條件下、隨機收益與協(xié)整效應共存條件下的大宗商品期權價格，對比分析隨機收益與協(xié)整效應對多資產(chǎn)大宗商品期權定價的必要性。

假設市場上存在兩種具有協(xié)整效應的大宗商品，根據(jù)Nakajima和Ohashi（2012）參數(shù)估計結(jié)果，本文取μz=1.144262，a0=0.072，a1=-2.6，a2=-2.1，b1=0.58，b2=0.48，kr1=1.5，kr2=1.2，kδ1=1.140883，kδ2=1.085038，σS1=0.381896，σS2=0.406307，σr1=0.2，σr1=0.15，σδ1=0.287109，σδ2=0.699693，ρδ1δ2=0.165843，ρδ1S1=0.767305，ρδ1S2=0.628424，ρδ2S1=0.000072，ρδ2S2=0.620514，ρS1S2=0.748660。由于大宗商品期權合約有固定到期日，所以本文令到期日T=1，而到期前期權價格會隨時間變化，為了滿足實際需要，本文設定0≤t≤T，不失一般性，我們可以取t=0.4。為計算方便，令X1（t）=1，X2（t）=1?；谄跈嗟臋嗬麑傩?，行權價格應小于標的資產(chǎn)價格，所以本文令行權價格K=0.6。

本文模型在GSC模型的基礎上加入隨機變量ri（t），使得影響期權價格的隨機變量變?yōu)殡S機收益率與隨機便利收益。由于m1，m2為資產(chǎn)收益率的長期均值，可以顯示收益率的大小，所以，收益率對期權價格的影響可以通過m1，m2與期權價格C1，C2的關系說明。由于α1，α2代表標的資產(chǎn)便利收益的大小，所以，我們可以通過研究α1，α2與期權價格C1，C2的關系來說明便利收益與期權價格的關系。

圖1中，圖（a）至圖（d）為標的資產(chǎn)收益率與便利收益對期權價格的影響關系圖，由圖（a）和（c）可知，期權價格C1隨著m1增大而增大，隨著α1的增大而減小，隨著m2的增大而減小，隨著α2的增大而增大；由圖（b）和（d）可知，期權價格C2隨著m1增大而減小，隨著α1的增大而增大，隨著m2的增大而增大，隨著α2的增大而減小。這說明標的資產(chǎn)收益率增大，期權價格上升，替代品的期權價格下降；便利收益增大，期權價格下降，替代品的期權價格上升；即標的資產(chǎn)收益率與期權價格正相關，與替代品的期權價格負相關；標的資產(chǎn)便利收益與期權價格負相關，與替代品的期權價格正相關。這是因為存在競爭性的大宗商品功能相似，可以起到替代作用，標的資產(chǎn)的收益率增加，表明該資產(chǎn)市場行情較好，價格上升，所以期權價格也隨之上升，由于市場需求短期內(nèi)不會產(chǎn)生巨大變化，所以替代品交易量會降低，導致流動性差，價格下降，所以替代品期權價格也隨之下降；標的資產(chǎn)的便利收益增加，表明投資者更傾向持有該資產(chǎn)，流動性變差，交易量減少，價格下降，期權價格也隨之下降，為滿足市場需求，消費者轉(zhuǎn)而購買功能相似的替代品，從而使替代品流動性增加，交易量增加，價格上升，替代品的期權價格也隨之上升。

通過以上分析可知，大宗商品期權價格不僅與便利收益有關，還與標的資產(chǎn)隨機收益有關，同時會受到替代品的影響，因此，大宗商品期權定價模型應同時考慮隨機收益率、便利收益與協(xié)整效應三個因素。

本文所提多資產(chǎn)大宗商品期權模型不僅包含了便利收益對標的資產(chǎn)期權價格的影響，還研究了標的資產(chǎn)隨機收益率和協(xié)整效應共存條件下的多資產(chǎn)大宗商品期權定價問題，拓展了大宗商品期權定價理論。

四、結(jié)論

大宗商品在我國經(jīng)濟發(fā)展中占有核心地位，相應衍生產(chǎn)品備受投資者青睞。當前有關大宗商品期權定價研究主要集中于便利收益對期權價格的影響，現(xiàn)有文獻缺乏收益不確定性下帶協(xié)整效應的多資產(chǎn)大宗商品期權定價研究?？紤]到市場經(jīng)濟中大宗商品收益的不確定性與便利收益的不可觀測性，本文在隨機收益率與隨機便利收益服從均值回復過程的假設下，研究了大宗商品的隨機收益率、隨機便利收益與相關產(chǎn)品的協(xié)整效應對大宗商品期權定價的影響，建立了多資產(chǎn)大宗商品期權定價模型，解決了多資產(chǎn)大宗商品期權定價問題，得到了隨機收益與隨機便利收益條件下帶協(xié)整效應的大宗商品期權定價問題的解析解。本文放寬了大宗商品期權定價模型有關收益率的限制，假設更具一般化。通過數(shù)值分析發(fā)現(xiàn)，當大宗商品的收益增加時，標的資產(chǎn)價值升高，期權價格上升，由于同類產(chǎn)品之間存在替代性與競爭性，所以替代品的期權價格下降；當大宗商品的便利收益增加時，標的資產(chǎn)流動性變差，導致期權價格下降，投資者轉(zhuǎn)而購買同類替代品，使得替代品的期權價格上升。本文研究了收益不確定性與協(xié)整關系共存條件下的大宗商品期權定價問題，拓展了大宗商品期權定價理論。

參考文獻：

[1]CatlettLB，BoehljeM.Commodityoptions，hedging，andriskpremiums[J].NorthCentralJournalofAgriculturalEconomics，1982：95-101.

[2]GibsonR，SchwartzES.Stochasticconvenienceyieldandthepricingofoilcontingentclaims[J].TheJournalofFinance，1990，45（3）：959-976.

[3]NakajimaK，OhashiK.Acointegratedcommoditypricingmodel[J].JournalofFuturesmarkets，2012，32（11）：995-1033.

[4]SchwartzES.Thestochasticbehaviorofcommodityprices：implicationsforvaluationandhedging[J].TheJournalofFinance，1997，52（3）：923-973.

[5]MiltersenKR，SchwartzES.Pricingofoptionsoncommodityfutureswithstochastictermstructuresofconvenienceyieldsandinterestrates[J].JournalofFinancialandQuantitativeAnalysis，1998，33（1）：33-59.

[6]CasassusJ，CollinDufresneP.Stochasticconvenienceyieldimpliedfromcommodityfuturesandinterestrates[J].TheJournalofFinance，2005，60（5）：2283-2331.

[7]ChengB，SchloglE.Hedgingfuturesoptionswithstochasticinterestrates[J].WorkingPaper，2016（66）：402-414.

[8]LaiAN，MelliosC.Valuationofcommodityderivativeswithanunobservableconvenienceyield[J].ComputersandOperationsResearch，2016（66）：402-414.

[9]BrennanMJ.Thecostofconvenienceandthepricingofcommoditycontingentclaims[M].CenterfortheStudyofFuturesMarkets，ColumbiaBusinessSchool，ColumbiaUniversity，1986.

[10]FamaEF，F(xiàn)renchKR.Commodityfuturesprices：Someevidenceonforecastpower，premiums，andthetheoryofstorage[J].JournalofBusiness，1987：55-73.

[11]FamaEF，F(xiàn)renchKR.Businesscyclesandthebehaviorofmetalsprices[J].TheJournalofFinance，1988，43（5）：1075-1093.

[12]BrennanMJ.Thepriceofconvenienceandthevaluationofcommoditycontingentclaims[J].StochasticModelsandOptionValues，1991（200）：33-71.

[13]HilliardJE，ReisJ.Valuationofcommodityfuturesandoptionsunderstochasticconvenienceyields，interestrates，andjumpdiffusionsinthespot[J].JournalofFinancialandQuantitativeAnalysis，1998，33（1）：61-86.

[14]NielsenMJ，SchwartzES.Theoryofstorageandthepricingofcommodityclaims[J].ReviewofDerivativesResearch，2004，7（1）：5-24.

[15]BlackF.Thepricingofcommoditycontracts[J].Journaloffinancialeconomics，1976，3（1-2）：167-179.

[16]BlackF，ScholesM.Thepricingofoptionsandcorporateliabilities[J].Journalofpoliticaleconomy，1973，81（3）：637-654.

[17]AsayMR.Anoteonthedesignofcommodityoptioncontracts[J].JournalofFuturesMarkets，1982，2（1）：1-7.

[18]HeinkelR，HoweME，HughesJS.Commodityconvenienceyieldsasanoptionprofit[J].JournalofFuturesMarkets，1990，10（5）：519-533.

[19]SchwartzE，SmithJE.Shorttermvariationsandlong-termdynamicsincommodityprices[J].ManagementScience，2000，46（7）：893-911.

[20]HinzJ，F(xiàn)ehrM.Storagecostsincommodityoptionpricing[J].SiamJournalonFinancialMathematics，2010，1（1）：729-751.

[21]LiuP，TangK.Thestochasticbehaviorofcommoditypriceswithheteroskedasticityintheconvenienceyield[J].JournalofEmpiricalFinance，2011，18（2）：211-224.

[22]DuanJC，PliskaSR.Optionvaluationwithcointegratedassetprices[J].JournalofEconomicDynamicsandControl，2004，28（4）：727-754.

[23]NakajimaK，OhashiK.Commodityspreadoptionwithcointegration[J].AsiaPacificFinancialMarkets，2016，23（1）：1-44.

[24]安寧，劉志新.商品期貨便利收益的期權定價及實證檢驗[J].中國管理科學，2006（6）：119-123.

[25]潘堅，劉福來.一類帶有儲藏費和交易費的商品期權定價模型[J].贛南師范學院學報，2007（6）：28-30.

[26]周洪海，劉福國，徐云.一類商品期權定價[J].新疆師范大學學報（自然科學版），2008（1）：35-39.

[27]呂永琦.商品日便利收益的期權定價及實證分析[J].管理科學，2009，22（4）：107-114.

[28]王蘇生，常凱，劉艷，等.碳排放便利收益與期權價值分析[J].系統(tǒng)管理學報，2012，21（4）：552-558.

[29]FanKShenY，SiuTK，etal.Valuingcommodityoptionsandfuturesoptionswithchangingeconomicconditions[J].EconomicModeling，2015（51）：524-533.

[30]劉軍嶺，屈軍.我國商品期貨價格收益率及波動率長記憶性研究[J].商業(yè)研究，2017（1）：57-68.

（責任編輯：鐘瑤）