盛 偉，馮占榮，王利霞，鄒 濛，王文軒

(南昌航空大學(xué) 航空制造工程學(xué)院，江西 南昌 330063)

0 引 言

對(duì)于漸開(kāi)線齒輪彎曲應(yīng)力的分析，一般將載荷Fn分為Fncosλ和Fnsinλ兩個(gè)分量，因剪應(yīng)力和壓應(yīng)力較小，所以主要計(jì)算Fncosλ分力產(chǎn)生的齒根彎曲應(yīng)力，并通過(guò)修正系數(shù)來(lái)降低此計(jì)算帶來(lái)的誤差[1]。而對(duì)于邏輯齒輪而言，目前對(duì)于齒根應(yīng)力的研究還處于利用分析軟件計(jì)算最大應(yīng)力分布情況。鑒于直齒輪的外載荷作用于與端面平行的平面內(nèi)，并沿齒寬方向均勻分布，可將其簡(jiǎn)化為平面應(yīng)力問(wèn)題，馮顯英等人[2]利用ANSYS分析軟件在距離齒頂1 mm處施加載荷，研究表明最大應(yīng)力發(fā)生在齒根的過(guò)渡曲線處；黃康、趙韓等人[3-4]考慮到輪齒剛進(jìn)入單齒嚙合區(qū)時(shí)，齒根所受彎矩最大，所以他們?cè)诠?jié)點(diǎn)以上的齒頂部分選擇幾個(gè)不同的點(diǎn)施加集中力利用COSMOS/M有限元分析軟件計(jì)算輪齒彎曲應(yīng)力。劉德平等人[5]以單對(duì)齒在節(jié)點(diǎn)處嚙合分析不同齒根曲線對(duì)邏輯齒輪彎曲應(yīng)力的影響。

根據(jù)文獻(xiàn)[1]，輪齒在齒頂處處于雙對(duì)齒嚙合狀態(tài)時(shí)，兩對(duì)齒共同分擔(dān)載荷，此時(shí)齒根處的彎曲應(yīng)力并不是最大的，當(dāng)載荷作用于單對(duì)齒嚙合的最高點(diǎn)時(shí)，齒根處的彎曲應(yīng)力最大邏輯齒輪單對(duì)齒嚙合的最高點(diǎn)的求解方法不同于漸開(kāi)線直齒輪(主要是因?yàn)檫壿孆X輪的齒形參數(shù)比較特別，如無(wú)確定的基圓半徑、存在初始?jí)毫呛拖鄬?duì)壓力角等)，通過(guò)對(duì)邏輯齒輪副的嚙合過(guò)程分析，并以齒輪齒條嚙合模型簡(jiǎn)化了嚙合線的求解過(guò)程，推導(dǎo)了邏輯齒輪的嚙合軌跡，并由此確定單齒嚙合的最高點(diǎn)位置。然后以齒輪加載軸有限元分析方法[6]研究齒根彎曲應(yīng)力分布情況并分析了齒形參數(shù)(初始基圓半徑)對(duì)其的影響。

1 嚙合過(guò)程分析

1.1 嚙合過(guò)程

分析邏輯齒輪的一個(gè)輪齒的單側(cè)齒面從開(kāi)始嚙合至結(jié)束嚙合的過(guò)程來(lái)研究單個(gè)齒嚙合最高點(diǎn)的位置。如圖1所示，主動(dòng)輪逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，從動(dòng)輪順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，輪齒 2 的左側(cè)齒面的從開(kāi)始嚙合到退出嚙合，其中包含4個(gè)臨界位置(8個(gè)臨界嚙合點(diǎn))和3個(gè)嚙合過(guò)程。

圖1 邏輯齒輪嚙合過(guò)程

圖1(a)表示輪齒2在其左側(cè)齒根處與從動(dòng)輪齒頂A點(diǎn)處開(kāi)始嚙合；圖1(b)表示輪齒1在其左側(cè)齒頂C點(diǎn)處即將退出嚙合狀態(tài)；圖(c)表示輪齒3在其左側(cè)齒根F點(diǎn)處與從動(dòng)輪的齒頂剛開(kāi)始進(jìn)入嚙合狀態(tài)；圖(d)表示輪齒2的左側(cè)齒頂G點(diǎn)處即將退出嚙合狀態(tài)。

從a位置到b位置的過(guò)程中輪齒1、輪齒2均與從動(dòng)輪嚙合，在輪齒1的左側(cè)齒面在逐漸退出嚙合狀態(tài)時(shí)，輪齒2逐漸進(jìn)入嚙合狀態(tài)，此時(shí)輪齒2上的嚙合點(diǎn)在左側(cè)齒面上從齒根向節(jié)圓位置慢慢移動(dòng)。嚙合點(diǎn)C表示輪齒2左側(cè)齒面在齒輪副嚙合中的雙齒嚙合的最高點(diǎn)。

從b位置到c位置的過(guò)程中，主動(dòng)輪只有輪齒2參與嚙合，當(dāng)輪齒2左側(cè)齒面上的嚙合點(diǎn)達(dá)到最高嚙合位置時(shí)(將退出嚙合)，輪齒3的左側(cè)齒根處開(kāi)始進(jìn)入嚙合狀態(tài)，嚙合點(diǎn)E表示輪齒2左側(cè)齒面在齒輪副嚙合中的單對(duì)齒嚙合的最高點(diǎn)。

從c位置到d位置的過(guò)程中輪齒1、輪齒2均與從動(dòng)輪嚙合，在輪齒2的左側(cè)齒面與從動(dòng)輪逐漸退出嚙合狀態(tài)時(shí)，輪齒3左側(cè)齒面上的嚙合點(diǎn)從齒根向節(jié)圓位置慢慢移動(dòng)。嚙合點(diǎn)G表示輪齒2左側(cè)齒面在齒輪副嚙合中的雙齒嚙合的最高點(diǎn)。

1.2 嚙合軌跡線的求解

邏輯齒輪的嚙合軌跡線可以通過(guò)求解邏輯齒條與邏輯齒輪的嚙合點(diǎn)并加以曲線擬合得到。由歐拉-沙瓦里公式可得，邏輯齒輪各個(gè)邏輯點(diǎn)的曲率半徑分別與邏輯齒條上嚙合對(duì)應(yīng)邏輯點(diǎn)相同，那么一個(gè)齒條加工出的兩個(gè)相嚙合的齒輪的齒廓曲線上分布著曲率半徑相等的對(duì)應(yīng)邏輯點(diǎn)，曲率中心分別在各自的節(jié)圓上，按照標(biāo)準(zhǔn)中心距安裝的邏輯齒輪副對(duì)應(yīng)嚙合的邏輯點(diǎn)都通過(guò)節(jié)圓的公切線，且曲率半徑相等，且嚙合點(diǎn)的公法線通過(guò)兩節(jié)圓相切的節(jié)點(diǎn)[7]。

建立坐標(biāo)系，如圖2所示。以?xún)晒?jié)圓相切的節(jié)點(diǎn)為原點(diǎn)建立嚙合線的坐標(biāo)系。此時(shí)的嚙合邏輯點(diǎn)在坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為:

(1)

依據(jù)式(1)利用MATLAB計(jì)算出邏輯點(diǎn)在嚙合時(shí)的坐標(biāo)，并將其導(dǎo)入到CATIA進(jìn)行曲線擬合，并構(gòu)造如圖1(c)所示的嚙合位置的邏輯齒輪副，測(cè)量E點(diǎn)在主動(dòng)輪上的半徑值，即單對(duì)齒嚙合最高點(diǎn)位置。

圖2 邏輯齒輪單對(duì)齒嚙合最高點(diǎn)示意圖

2 齒根應(yīng)力有限元分析

2.1 前處理

根據(jù)圣維南定理，齒輪傳動(dòng)過(guò)程中，單個(gè)齒在輪體徑向的影響范圍約三個(gè)齒，在超出這個(gè)范圍后，應(yīng)力就變得很小[8]。同時(shí)考慮到邏輯齒輪的形成是基于邏輯齒條，邏輯齒輪毛坯通過(guò)與邏輯齒條范成運(yùn)動(dòng)生成邏輯齒輪。同條件下，就彎曲強(qiáng)度而言，單圓角齒條刀具對(duì)應(yīng)齒根過(guò)渡曲線的邏輯齒輪比雙圓角齒條成形的邏輯齒輪好。所以以單圓角齒條刀具成形的邏輯齒輪的三齒模型為研究對(duì)象，如圖3所示。

邏輯齒輪除了與漸開(kāi)線齒輪的共有參數(shù)外，與邏輯齒條齒廓線相關(guān)的參數(shù)有：初始基圓半徑G0、初始?jí)毫铅?、相對(duì)壓力角δ等[9]。筆者選用的模型參數(shù)如表1所示。根據(jù)經(jīng)驗(yàn)公式，基圓半徑變化規(guī)律取Gi=G0[1-sin(0.6αi)]。

表1 模型參數(shù)列表

選用齒輪加載軸有限元分析方法對(duì)邏輯齒輪的齒根彎曲進(jìn)行分析，由上節(jié)中確定的最高嚙合點(diǎn)(邏輯點(diǎn))，該點(diǎn)處的壓力角可以通過(guò)作圖的方法(簡(jiǎn)稱(chēng)圖解法)獲得，也可以通過(guò)MATLAB程序計(jì)算出邏輯點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的壓力角。建立齒輪加載軸模型，如圖4所示。

圖3 邏輯齒輪三齒模型

圖4 邏輯齒輪加載軸建模

在Workbench靜力結(jié)構(gòu)分析中，齒輪材料選用結(jié)構(gòu)鋼，對(duì)于模型的網(wǎng)格劃分，采用掃掠式網(wǎng)格劃分方法，定義單元大小為1 mm，并對(duì)齒根處的的網(wǎng)格進(jìn)行細(xì)化，劃分結(jié)果如圖5所示。對(duì)加載軸的長(zhǎng)方形表面施加固定約束，對(duì)齒輪的內(nèi)孔表面施加圓柱形約束，只保留圓周方向的自由度，最后在內(nèi)孔表面加載800 N·m的力矩。

圖5 模型的網(wǎng)格劃分

2.2 后處理

利用ANSYS Workbench軟件分析邏輯齒輪所受的最大主應(yīng)力，結(jié)果如6所示。

從圖6中可以看出邏輯齒輪的彎曲應(yīng)力主要集中在齒根處，并且對(duì)于同載荷工況下不同初始基圓半徑齒條所產(chǎn)形的邏輯齒輪，所對(duì)應(yīng)的齒根應(yīng)力有所不同，從這三個(gè)數(shù)據(jù)可以看出，初始基圓半徑取10 000 mm時(shí)邏輯齒輪的彎曲強(qiáng)度最好，這為邏輯齒輪從齒形參數(shù)方面優(yōu)化設(shè)計(jì)提供了參考。

圖6 邏輯齒輪彎曲應(yīng)力圖

3 結(jié) 論

(1) 結(jié)合邏輯齒輪的齒形特點(diǎn)，分析了一對(duì)齒的單側(cè)齒廓線嚙合的過(guò)程，并推導(dǎo)嚙合線的方程，根據(jù)嚙合的臨界點(diǎn)位置，確立單對(duì)齒嚙合的最高點(diǎn)所處的位置及載荷作用角。

(2) 利用齒輪軸加載有限元分析方法，可真實(shí)地模擬邏輯齒輪承受載荷時(shí)的受力情況。并分析邏輯齒輪齒形參數(shù)初始基圓半徑G0對(duì)齒根彎曲應(yīng)力的影響，有助于從齒形參數(shù)層面上優(yōu)化邏輯齒輪的設(shè)計(jì)。