馬慧元

一

偶然地，我在文集《音樂和數(shù)學(xué)：從畢達(dá)哥拉斯到分形》（Music and Mathematics： From Pythagoras to Fractals，2006）一書中發(fā)現(xiàn)了一篇有趣的文章《音樂中的幾何學(xué)》，想必其作者霍奇斯（Wilfrid Hodges）也是位標(biāo)新立異的音樂家。好奇地搜索了一下，只見網(wǎng)上有個(gè)一九四一年出生的霍奇斯，是倫敦大學(xué)的數(shù)學(xué)教授，英國(guó)科學(xué)院院士，主攻模型論—我不相信是同一個(gè)人，但居然真是！大多數(shù)介紹他的網(wǎng)頁(yè)只提及他的數(shù)學(xué)成就，他自己也沒拿音樂文章當(dāng)回事，可是這篇洋洋灑灑的宏文，涉及從早期音樂到二十世紀(jì)的偏門曲目，引證清晰，譜例完備，儼然音樂學(xué)家所為。除了“音樂幾何”，他對(duì)樂器調(diào)律也能洋洋灑灑，如數(shù)家珍。真可謂，學(xué)霸的世界我們不懂。

《音樂中的幾何學(xué)》一文并不長(zhǎng)，但這應(yīng)該是他多年來的興趣和關(guān)注。他像采集標(biāo)本一般，收集了許多自己喜歡的、能佐證一些音樂/數(shù)學(xué)猜想的例子。我居然在網(wǎng)上看見了他的草稿和筆記。也許出于數(shù)學(xué)家的本能，霍奇斯著迷的是那些有特定結(jié)構(gòu)和形態(tài)的音樂。文章開始，講的是埃爾加的《謎語變奏曲》，說他作曲的時(shí)候，正好寶貝狗狗掉進(jìn)河里，“嗷嗷”叫著爬上來，他索性把這段寫進(jìn)去，一串下降的十六分音符一墜到底。這算是個(gè)音樂和空間相“勾結(jié)”的小例子。任何有音樂經(jīng)驗(yàn)的人，都能想出太多的例子，比如攀登狀態(tài)時(shí)聲音的“上升”，掙扎狀態(tài)時(shí)的迂回等等。就拿西方音樂來講，從古至今的教會(huì)音樂都有這樣明顯的情景結(jié)合，有時(shí)是一種通俗化的音樂圖解。還有，英國(guó)作曲家蒂皮特（Michael Tippett，1905-1998）的清唱?jiǎng)　段覀儠r(shí)代的孩子》中的一段《寒冷愈深》中，女高音下行表示“下降”，管弦樂隊(duì)的低聲部卻在上升，跟女高音的聲音相撞后分開。兩者間的空腔之中，暗流涌動(dòng)，并且互相牽扯羈絆，堆積得濃而澀。而在舒伯特的歌曲《死神與少女》中，少女歌聲熱烈，充滿彈性，鋼琴的低聲部卻在下降，霍奇斯認(rèn)為，這是少女沉向死亡的暗示。

如果不從霍奇斯的幾何理論去想，我自己揣測(cè)一下，音樂與無聲的空間，為什么有這樣的對(duì)應(yīng)？音樂是寫在譜子上的，盡管并不只有從低到高，從左到右一種方式，但人仍然可以從音區(qū)的距離之中感發(fā)出遠(yuǎn)近。在這一點(diǎn)上，音樂和語言體現(xiàn)出類似的通感，比如會(huì)將對(duì)一些事情的理解稱為“更深”“更廣”，我們還會(huì)說“圓通” “棱角”“剛直不阿”“尖酸刻薄”，仿佛抽象概念也有幾何形狀，這不都是想象出來的隱喻嗎？當(dāng)然，譜紙上的形態(tài)和音樂的聲音不一定有完好的對(duì)應(yīng)，有些密密麻麻的和弦，聽起來很空，反之亦然—音樂是一種特別的、有循環(huán)性的結(jié)構(gòu)，我們?cè)谏钪杏龅降牟欢?，所以這種隱喻是可能失準(zhǔn)的。這是我作為聽者的經(jīng)驗(yàn)。

霍奇斯把自己感興趣的音樂標(biāo)本按音樂在紙上體現(xiàn)的幾何變換分類，也就是說，在組織音樂的時(shí)候，不少作曲家都用了一些對(duì)稱的手段來形成呼應(yīng)和變化。霍奇斯把音樂按音高和時(shí)間兩個(gè)重要變量想成二維空間，而二維空間中的幾何變換的形式大約有這么幾種：平移、比例縮放、旋轉(zhuǎn)反射、錯(cuò)切等等。而反射（也就是對(duì)稱）又分幾種：上下對(duì)稱、左右對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)對(duì)稱。音樂中體現(xiàn)的對(duì)稱關(guān)系，可以用幾個(gè)字母的形態(tài)直觀地顯示：FGJ （無對(duì)稱）、CEK（上下對(duì)稱）、AMV（左右對(duì)稱）、NSZ（旋轉(zhuǎn)對(duì)稱）、HOX（全方位對(duì)稱）。

他為這五種都找到了音樂的譜例。第一種似乎沒什么可說，但這里有個(gè)著名的例子，就是《帕格尼尼狂想曲》的第二十四首，被拉赫瑪尼諾夫?qū)懗闪艘粋€(gè)二十多分鐘的漫長(zhǎng)主題變奏《帕格尼尼主題變奏曲》，其中最有名的第十八變奏，是把帕格尼尼的不對(duì)稱的主題倒置過來的—它并不是嚴(yán)格的鏡像對(duì)稱，但處處略可辨認(rèn)。下圖中，每?jī)尚械牡谝恍惺桥粮衲崮嵩?，第二行是拉赫瑪尼諾夫的變奏，讀者可以看到主題的倒置和變化：

至于更貼切的上下或左右鏡像對(duì)稱，巴托克的《小宇宙》中就太多了。

對(duì)稱之外，霍奇斯也提到“比例放縮”這種變換，不過并沒有用“放縮高手”巴赫做例子（這本來也是賦格這種音樂形式的常態(tài)處理），卻提到了專門給自動(dòng)鋼琴作曲的南卡羅（Conlon Nancarrow，1912-1997），這完全可以理解。在玩弄數(shù)字比例方面，南卡羅比巴赫刺激多了，他的“演奏家”是自動(dòng)鋼琴，不受技術(shù)限制，可以讓“兩只手”同時(shí)以無理數(shù)比例的節(jié)奏同時(shí)彈（如果換成活人，拍子都數(shù)不出來），又可以讓音符在琴鍵上完全放飛自我，三十二分音符跟全音符相鄰堆積，空間真是寬到無限，跟數(shù)學(xué)公式的對(duì)應(yīng)也可隨心所欲。順便說一下，南卡羅終身不太為人所知，晚年暴得大名，但近年又漸漸銷聲匿跡，大概是因?yàn)閿?shù)學(xué)公式終究不易吸收為音樂印象之故，所以最終還是沒能像艾夫斯那樣擠進(jìn)經(jīng)典曲庫(kù)。

音樂中還有一種很極端的對(duì)稱，就是把主題的音符一個(gè)個(gè)倒過來作為新主題（retrograde symmetry），猶如回文詩(shī)。一般來說，除了靜態(tài)的、譜面形態(tài)的特點(diǎn)，音樂是運(yùn)動(dòng)的藝術(shù)。同一條旋律，交換幾個(gè)音的順序，效果和情緒就完全不同，不僅因?yàn)橐粽{(diào)變了，更重要的是，解決的趨勢(shì)反過來，就不再是解決。此外，主題結(jié)尾往往略拖長(zhǎng)，倒過來變成開頭，往往要縮短，所以不可能紋絲不變。作曲家這么玩的話，一般會(huì)選擇比較中性的主題，比如巴赫的《音樂的奉獻(xiàn)》中的螃蟹卡農(nóng)，主題呈圓弧形，來去自如。

霍奇斯又用了一個(gè)比較現(xiàn)代的例子，里姆斯基-科薩科夫有個(gè)歌劇名叫《金雞》，劇情中有這么一段，占星家說一只金雞能預(yù)示國(guó)家“和平”還是“危險(xiǎn)”的命運(yùn)。作曲家把這么兩種對(duì)立而又對(duì)稱的運(yùn)動(dòng)分別埋藏在開頭和結(jié)尾，開頭是“和平”主題舒舒服服地展開，氣氛祥和，歌劇末尾則是金雞怒啄國(guó)王，然后天昏地暗，一切灰飛煙滅之際，“危險(xiǎn)”的聲音出現(xiàn)了。