方愛(ài)珍

金華市第六中學(xué) 浙江金華 321000

解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，常遇到一些問(wèn)題直接求解較為困難，往往需要變換，將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)對(duì)自己較熟悉的新問(wèn)題，通過(guò)新問(wèn)題的求解，達(dá)到解決原問(wèn)題的目的，這一思想方法我們稱之為“化歸與轉(zhuǎn)化的思想方法”.本文就不等式問(wèn)題談?wù)勥@種思想方法的應(yīng)用，以供參考.

一、利用“等價(jià)變換”思想，解不等式

解不等式實(shí)際上是等價(jià)變換,也就是說(shuō)，要求每一次變形所得到的不等式與變形前的不等式是等價(jià)的,因此，解不等式通常運(yùn)用這種化歸與轉(zhuǎn)化思想。比如：解分式不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為整式不等式、解含絕對(duì)值不等式轉(zhuǎn)化為不含絕對(duì)值不等式、解高次不等式向低次不等式轉(zhuǎn)化，等等.

例 1.解不等式|x-1|-|x-2|＜0.

本題也可以利用不等式的乘方性質(zhì)可直接轉(zhuǎn)化為不含絕對(duì)值的不等式，原不等式即|x-1|＜|x-2|,兩邊平方等價(jià)于(x-1)2＜(x-2)2，整理即得當(dāng)然，利用絕對(duì)值的幾何意義，即|x-1|表示在數(shù)軸上到表示實(shí)數(shù)1的點(diǎn)的距離小于到表示實(shí)數(shù)2的點(diǎn)的距離，這樣的實(shí)數(shù)在數(shù)軸上表示的點(diǎn)在實(shí)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的左側(cè)，可直接得

二、利用“函數(shù)方程”思想，變換不等式問(wèn)題為函數(shù)方程問(wèn)題

不等式、函數(shù)、方程三者密不可分，相互聯(lián)系、相互制約.在解決不等式問(wèn)題時(shí)，函數(shù)與方程思想是一種重要方法，同時(shí)利用數(shù)形結(jié)合，以達(dá)到“以數(shù)輔形，以形助數(shù)”目的，從而使問(wèn)題迎刃而解.

例2設(shè)不等式x2-2ax+a+2≤0的解集為M，且 ，求實(shí)數(shù)a的取值范圍[1】。

三、利用“反客為主”思想，解決含參不等式問(wèn)題

例3.若不等式2x-1＞m(x2-1)對(duì)|m|≤2的所有m都成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍.

解析 形式上看這個(gè)問(wèn)題是含參數(shù)m的x的不等式問(wèn)題，直接令（fx）=mx2-2x+(1-m)難以解決.若將其化為含參數(shù)x的m的一次不等式（x2-1）m（-2x-1）＜0，再令（fm）=（x2-1）m（-2x-1），這是因?yàn)椋╢m）是關(guān)于m的一次函數(shù)或常數(shù)函數(shù)，（fm）在[-2，2]上的最大值必在端點(diǎn)位置取得，所以（f-2），（f2）必有一個(gè)是最大值，因此只要f（-2）＜0，且f（2）＜0，解得

可見(jiàn)，在解決此不等式問(wèn)題時(shí)，有時(shí)將條件等價(jià)轉(zhuǎn)化，利用“反客為主”思想，將含參數(shù)m的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為含參數(shù)x的問(wèn)題，變換主元與參數(shù)地位，從而使問(wèn)題迎刃而解.

四、利用“導(dǎo)數(shù)”思想，證明不等式

不等式問(wèn)題中，經(jīng)常遇到不等式的證明。有些不等式證明似乎很難下手，但通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，利用“導(dǎo)數(shù)”工具將所求問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值來(lái)解決顯得思路簡(jiǎn)潔.

誠(chéng)然，在解決不等式問(wèn)題時(shí)運(yùn)用轉(zhuǎn)換的思想并不僅限于此，限于篇幅，這里不再贅述.總之，在平時(shí)不等式教學(xué)過(guò)程中，教師注重這些思想方法的滲透，有利于提高學(xué)生的解題能力，從而培養(yǎng)了學(xué)生良好的思維品質(zhì)。