關(guān) 鍵

(黑龍江省大慶四中 163000)

數(shù)學(xué)知識是相通的，許多高等數(shù)學(xué)中的解題方法可直接用來求解初等數(shù)學(xué)題，使我們能快速地確定解題思路，進(jìn)而能夠找出更簡捷的解題方法.因此作為高中的數(shù)學(xué)教師在進(jìn)行教學(xué)時，可以教會學(xué)生一些高等數(shù)學(xué)的解題方法，以幫助他們能夠用多種方法解決初等數(shù)學(xué)問題，同時還可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，提高他們解決實(shí)際問題的能力.

一、高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)之間的聯(lián)系

初等數(shù)學(xué)是高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，高等數(shù)學(xué)是由初等數(shù)學(xué)發(fā)展而來的.因此只有先學(xué)習(xí)和掌握了初等數(shù)學(xué)知識才能夠?qū)W會和運(yùn)用高等數(shù)學(xué)知識.同理，學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)知識有助于加深對初等數(shù)學(xué)知識的理解，進(jìn)一步提高學(xué)生解決問題的能力.如在研究函數(shù)的增減性以及求極值和最值等一些特性時，具有較大的局限性.如果用高等數(shù)學(xué)知識中的極限、級數(shù)和導(dǎo)數(shù)就可以很好地解決函數(shù)的特性問題.有些題可以選擇用高等數(shù)學(xué)知識和初等數(shù)學(xué)知識同時解決，通過對比，提高學(xué)生對這兩種方法的理解和認(rèn)知水平，同時還可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.有些問題在初等數(shù)學(xué)中沒有得到充分的解決，但是應(yīng)用高等數(shù)學(xué)知識就很容易解答.如函數(shù)的遞增性問題.

二、高等數(shù)學(xué)知識解決初等數(shù)學(xué)題的應(yīng)用

1.用高等數(shù)學(xué)知識解決初等數(shù)學(xué)中不等式的問題

如可以利用柯西不等式或者用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)證明不等式等.運(yùn)用高等數(shù)學(xué)知識中的導(dǎo)數(shù)方法證明不等式，把需要證明的一元不等式通過構(gòu)造成函數(shù)的方式轉(zhuǎn)化 成了關(guān)于x的函數(shù)，然后再通過求F(x)的最值的方法達(dá)到證明不等式的目的.進(jìn)而打破了利用初等數(shù)學(xué)解不等式的局限性，也最終能夠使不等式這類問題得到充分的解決.

通過解題可知，當(dāng)F(x)在[a,b]上單調(diào)遞增，則aF(a)．如果f(a)=φ(a)，要證明當(dāng)x>a時，f(x)>φ(x)，那么，只要令F(x)=f(x)-φ(x)，就可以利用F(x)的單調(diào)增性來推導(dǎo)．也就是說，在F(x)可導(dǎo)的前提下，只要證明F′(x)>0即可．

2.高等數(shù)學(xué)中離散數(shù)學(xué)在初等數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用

離散數(shù)學(xué)的內(nèi)容包括數(shù)理邏輯、數(shù)論、圖論、集合論以及代數(shù)結(jié)構(gòu)等知識.其中利用數(shù)理邏輯的方法解決初等數(shù)學(xué)問題，具有較強(qiáng)的概括性和推理便捷性，便于分析.

如對于若P則Q類的證明，可以順著P、Q的成立條件來進(jìn)行分析，當(dāng)P滿足時Q則滿足，意識P為Q的先導(dǎo)條件.可以假設(shè)P已經(jīng)成立時，推導(dǎo)出Q是否成立，命題即可得到證明.具體證明實(shí)例如下.

3.常微分方程的建模技術(shù)應(yīng)用

方程在實(shí)際問題的解決中占有非常重要的地位，它是解決問題的一種重要的方法.笛卡兒曾經(jīng)設(shè)想過把任何問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題然后再把任何數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，再指導(dǎo)代數(shù)問題歸結(jié)為解方程的萬能方法.雖然笛卡兒的設(shè)想沒有成功，但是它仍然是個偉大的思想.常微分方程建模技術(shù)的形成，讓方程的思想發(fā)揮越來越重要的作用.如有一個空水池，如果單獨(dú)灌水需24個小時灌滿，單獨(dú)排水需48小時.如果同時灌水和排水，用多少小時可將空水池灌滿？可以設(shè)水池的容積為V，水池灌滿所需的時間為t建立方程，結(jié)果需要48小時灌滿水.但是在實(shí)際中，可以用灌水為衡量，排水是隨水池水位下降流量而不斷減少的.而簡單通過建立微分方程是無法灌滿水的，通過實(shí)驗(yàn)或者觀察而求解的做法是行不通的.通過建立和處理數(shù)學(xué)模型，把數(shù)學(xué)理論知識運(yùn)用于實(shí)際的問題中，問題就迎刃而解了.

用高等數(shù)學(xué)中的理論和方法對初等數(shù)學(xué)的相關(guān)問題進(jìn)行分析，可以很好地拓寬學(xué)生的解題思路；把高等數(shù)學(xué)中的一些內(nèi)容融合到初等數(shù)學(xué)中，還可促進(jìn)學(xué)生更好地學(xué)習(xí)初等數(shù)學(xué)知識，使學(xué)生的思維更加靈活.