吳成姚，王洪春

(重慶師范大學 數(shù)學科學學院，重慶 401331)

目前，復(fù)雜系統(tǒng)的故障診斷是人工智能的核心問題之一，它的方式也是多樣的，比如貝葉斯網(wǎng)絡(luò)[1-2]、故障樹[3-4]、有向圖、認知圖、因果圖[5-7]等。而由張勤教授提出的因果圖推理方法更加擴大了復(fù)雜系統(tǒng)故障診斷的應(yīng)用。樊興華[7]提出了多值因果圖的推理算法研究；王洪春[8]提出了因果圖不確定性推理及其結(jié)構(gòu)的學習；沈文武等[9]提出了因果圖迭代推理算法以及專家系統(tǒng)的應(yīng)用研究。然而在一些復(fù)雜多樣的故障機理、數(shù)據(jù)缺乏等問題上還無法有效獲得概率值，于是利用超橢球模型來對因果圖基本事件的區(qū)間概率加以約束，以及用T-S模糊門來描述事件間的聯(lián)系，使其因果圖對故障數(shù)據(jù)的缺乏和故障機理不再進行深入研究，解決了事件間的不確定性問題。

1 因果圖

因果圖是由張勤教授[7]提出來的，用圖形化的方式使因果知識表達直觀，更加容易分析處理。圖1就是典型的因果圖，它可以表示系統(tǒng)中因果關(guān)系，處理或推斷系統(tǒng)中的不確定性問題，還可以進行由因到果的正向推理和由果到因的反向推理以及正反向混合推理。在因果圖中，用圓圈表中間事件，可將它視為現(xiàn)象，方框表基本事件，可將它視為故障，中間事件和基本事件統(tǒng)稱為節(jié)點事件；門節(jié)點通常表示“與”門、“或”門等，有向邊表示“連接事件”、“可以事件”之間的關(guān)系，使其在不確定性的因果間知識表達更加清楚明了，更有意義。

圖1 因果圖Fig.1 Causality diagram

梁新元等[5]在因果圖向故障樹的轉(zhuǎn)換應(yīng)用中，使因果圖模型更好地擴大了應(yīng)用范圍，便于故障樹建模；在故障樹向因果圖的轉(zhuǎn)換[6]應(yīng)用中，也能夠更好地運用到復(fù)雜系統(tǒng)中。于是在采用故障樹分析方法(FTA)與因果圖法的相互轉(zhuǎn)換中，因果圖模型能夠發(fā)揮更大的作用。

2 D-S理論的T-S模糊因果圖

2.1 T-S模糊因果圖描述

在因果圖中描述事件間的聯(lián)系往往具有不確定性，大多情況下系統(tǒng)的故障機理也不清楚，因此本文將因果圖中節(jié)點事件作為樹根得到微因果樹，將其過程轉(zhuǎn)化為T-S模糊因果樹(圖2)，用T-S模糊門代替因果圖中的“與”門、“或”門[10]，處理不確定性的問題。T-S模糊因果樹如圖3所示。

2.2 D-S理論描述

因果圖的故障診斷在一些復(fù)雜多樣的故障機理、數(shù)據(jù)缺乏等問題上還無法有效獲得概率值，因此本文用區(qū)間數(shù)來描述事件發(fā)生概率。

用Dempster[12]，G.Shafer[13]提出的D-S證據(jù)理論來處理不精確推理問題。在D-S理論中，一個推測空間描述為一個“辨識框架”，用符號Ω表示，它由一些完備的互不相容的元素組成。D-S證據(jù)理論的基本概率分配函數(shù)(m函數(shù))，滿足條件：

0≤m(A)≤1

m(?)=0

其中，?A?Ω，?為空集，m(A)表示A的Mass函數(shù)或基本概率函數(shù)。

A的信任函數(shù)Bel：2Ω→[0，1]表示為

其中，Bel(A)是總的信任，表示所有A的子集的精確信任程度的和。

A的似然函數(shù)Pl：2Ω→[0，1]表示為

于是，用D-S理論確定了因果樹基本事件故障概率區(qū)間[Bel(A)，Pl(A)],然后由D-S理論的合成公式得：

圖2 因果圖1對應(yīng)的因果樹Fig.2 Causality tree

圖3T-S模糊因果樹

Fig.3T-Sfuzzycausalitytree

其中,m1(A)表示根據(jù)證據(jù)A的Mass函數(shù)；m2(B)表示根據(jù)證據(jù)B的Mass函數(shù)；m(C)表示總的Mass函數(shù)。

2.3 結(jié)合D-S理論的T-S模糊門算法

1985年，Takagi和Sugeno兩位學者提出T-S(Takagi Sugeno)模糊模型，它是一種萬能逼近器，由一系列IF-THEN模糊規(guī)則組成，可用來表示事件間的聯(lián)系，從而構(gòu)成T-S模糊門。

設(shè)基本事件B1，B2，…，Bn的上級事件為Y，則它們之間的聯(lián)系可由圖4所示。

圖4 T-S門Fig.4 T-S fuzzy gate

若有Bi(i=1，2，…，n)個基本事件，則B1，B2，…，Bn發(fā)生的概率區(qū)間表示為[Bel(xi)，Pl(xi)]。

如果各基本事件發(fā)生故障概率為

因此上級事件Y的模糊可能性為

圖5 二維區(qū)間模型Fig.5 Two dimensional interval model

于是利用區(qū)間數(shù)的運算規(guī)則：

(5)

由圖5和式(5)可看出，基本事件的發(fā)生區(qū)間概率必須同時取邊界值時，才能得到上級事件發(fā)生概率區(qū)間的邊界值。而在實際工程中，基本事件發(fā)生的區(qū)間概率同時取邊界值的極端情況的概率比較小，因此，用區(qū)間數(shù)的T-S模糊因果圖的方法來計算，結(jié)果偏于實際。

2.4 結(jié)合超橢球模型的T-S模糊因果圖

由于區(qū)間模型在實際工程中，基本事件發(fā)生故障概率的區(qū)間同時取邊界值的極端情況比較少，采用超橢球模型對區(qū)間加以約束[14-15]，如圖6所示，超橢球模型更合實際。

圖6 二維區(qū)間模型與二維超橢球模型Fig.6 Two dimensional interval model and two dimensional super ellipsoid model

于是由D-S理論可以表示基本事件發(fā)生的區(qū)間概率:

用超橢球模型可描述為

(6)

各基本事件的發(fā)生概率區(qū)間要滿足式(6)的超橢球區(qū)域內(nèi)部，為此引入矢量y=DP，其中，

y=(y1，y2，…，yn)T

將原超橢球模型轉(zhuǎn)成單位超橢球模型

(y-y0)Τ(y-y0)≤1

令Δy=y-y0，由式(7)知，在超橢球內(nèi)產(chǎn)生均勻分布的隨機數(shù)，相當在Δy空間單位超橢球體內(nèi)進行均勻采樣。

設(shè)單位超橢球體[14-15]的坐標為(r，θ1，θ2，…，θn-1)，r∈[0，1]，θi∈[0，2π]，i=1，2，…，n-1，則它們之間關(guān)系轉(zhuǎn)化為

(8)

于是由式(8)得出基本事件的發(fā)生區(qū)間概率為

則T-S規(guī)則l執(zhí)行的可能性區(qū)間概率為

因此上級事件Y的模糊可能性的概率為

3 實 例

在復(fù)雜系統(tǒng)中，由于數(shù)據(jù)的缺乏以及一些多樣的故障機理，很難獲取精確值和事件之間聯(lián)系的不確定性，都會增加因果圖的不確定性，因此采用區(qū)間分析、T-S模糊門進行分析。以圖7故障系統(tǒng)為例，根據(jù)專家經(jīng)驗與歷史數(shù)據(jù)構(gòu)造T-S門規(guī)則表，如表1、表2，用D-S理論確定出其區(qū)間概率[15]。假設(shè)基本事件B1，B2，B3發(fā)生故障程度為1的區(qū)間概率分別為[9.7×10-6，1.02×10-5][1.7×10-6，2.2×10-6]，[4.5×10-6，5.0×10-6]，在故障程度為0.5的區(qū)間概率相同，結(jié)合公式(3)(4)(6)，求得概率區(qū)間。圖7中B1，B2，B3，y1，y2分別為控制系統(tǒng)、電動執(zhí)行器、球閥、電動閥門控制器和電動球閥的故障程度。

圖7 電動球閥故障系統(tǒng)Fig.7 Fault system of electric bally

序號B1B2y10.00.51.010.00.01.00.00.020.00.50.20.40.430.01.00.00.01.040.50.00.20.50.350.50.50.20.30.560.51.00.00.01.071.00.00.00.01.081.00.50.00.01.091.01.00.00.01.0

表2 T-S模糊門2Table.2 T-S fuzzy gate 2

表1、表2中的每一行為一條模糊規(guī)則，如表1第5行代表的規(guī)則：若B1為0.5，B2為0.5，則y1為0的概率為0.2，為0.5的概率為0.3，為1 的概率為0.5。

[1.862 5×10-5，2.128×10-5]

[1.6776 5×10-4，1.948 4×10-4]

[2.37×10-5，2.916 4×10-5]

[1.692 6×10-3，2.177 1×10-3]

而利用超橢球T-S模糊因果圖方法得出的區(qū)間概率為

[1.892 5×10-5，2.087 5×10-5]

[1.688 7×10-5，1.807 7×10-5]

[2.416 4×10-5，2.863 5×10-5]

[1.702 1×10-3，1.987 8×10-3]

可見，超橢球T-S模糊因果圖與區(qū)間T-S模糊因果圖得到的區(qū)間概率寬度較小，避免了基本事件發(fā)生的區(qū)間概率同時取邊界值這一極端情況的發(fā)生，結(jié)果更為合理，能夠更好地分析系統(tǒng)的實質(zhì)。

4 結(jié) 論

在實際系統(tǒng)中，基于因果圖很難獲取精確值與不確定性事件之間的聯(lián)系的情況下，提出了基于超橢球模型下的因果圖分析方法，避免了因果圖難以獲取精確數(shù)據(jù)的問題；并采用T-S模糊因果圖，解決了零部件故障概率與系統(tǒng)故障機理不確定性的問題，同時不用精確挖掘基本事件發(fā)生的概率，使因果圖模型更加具有實際意義。