張潔鈺， 保 宏

(西安電子科技大學(xué)電子裝備結(jié)構(gòu)設(shè)計教育部重點實驗室, 陜西 西安 710071)

引 言

隨著深空探測對射電望遠鏡的探測范圍以及精度要求的提高，大型化成為射電望遠鏡發(fā)展的趨勢。然而，結(jié)構(gòu)大型化必使其固有頻率降低，柔性增加，從而給保障天線高指向精度帶來困難[1]。當(dāng)前，最優(yōu)控制成為有效保障大口徑天線高指向精度的控制算法，其主要特點是伺服性能好，抑制干擾能力強[2-3]，但其控制器設(shè)計需要較為精確的被控對象模型。因此，大口徑射電望遠鏡的精確建模成為實現(xiàn)最優(yōu)控制算法的先決條件。

對于小口徑天線，傳統(tǒng)建模方法是將其等效為剛性。文獻[4]采用堆聚質(zhì)量法建立天線系統(tǒng)動力學(xué)分析模型后，基于拉格朗日方程建立了其動力學(xué)方程。

隨著天線口徑增大，柔性增加，傳統(tǒng)建模方法難以輸出柔性運動，因而已不適用。當(dāng)前已有學(xué)者對大口徑天線的建模進行了研究。文獻[5]討論了天線驅(qū)動系統(tǒng)的模型；文獻[6]考慮風(fēng)荷對結(jié)構(gòu)輸入的影響，建立了動力學(xué)方程；文獻[7]研究分析了上海65 m射電望遠鏡在太陽輻射作用下的非均勻溫度場。但文獻[6-7]中的風(fēng)荷和溫度主要影響電性能，對伺服系統(tǒng)中的控制起不到作用。文獻[8]利用系統(tǒng)辨識思想構(gòu)建了伽利略望遠鏡模型，但該方法是在已有實物的基礎(chǔ)上，通過采集實驗的輸入輸出數(shù)據(jù)進行建模，因此只能用于已有天線實物模型后期的研究，在天線設(shè)計階段無法提供幫助。文獻[9]根據(jù)有限元模型建立了GBT伺服系統(tǒng)的模型。文獻[10-12]介紹了射電望遠鏡的有限元模型，隨后根據(jù)有限元模型建立了用于DSS13俯仰指向的狀態(tài)空間控制系統(tǒng)模型，然后將此方法擴展到方位，建立了全控系統(tǒng)模型。但該方法只考慮了大齒輪的影響因素，未考慮副面在整個射電望遠鏡指向精度中的影響。

由于大射電望遠鏡結(jié)構(gòu)復(fù)雜，模態(tài)眾多，不便于系統(tǒng)全過程建模以及后期的最優(yōu)控制，因此需要對模態(tài)進行合理縮聚，得到能真實反映復(fù)雜系統(tǒng)動力學(xué)特性的簡化模型。常見的模態(tài)縮聚的方法有3種：1) 模態(tài)有效參數(shù)判別法[13]，根據(jù)前n階模態(tài)的有效質(zhì)量分?jǐn)?shù)和進行模態(tài)截斷。由于它能降階的階數(shù)是有限的，一般只適用于建模的初期。2) 模態(tài)能量法[14]，以能量響應(yīng)信息的收斂程度來進行模態(tài)截斷。3) 傳遞函數(shù)范數(shù)法[15-16]。該方法本質(zhì)上是能量法，通過各階模態(tài)對系統(tǒng)輸出能量的貢獻進行模態(tài)選取。它可以得到各階模態(tài)對應(yīng)的范數(shù)指標(biāo)，不僅能應(yīng)用于模態(tài)截斷，也能應(yīng)用于模態(tài)選取。經(jīng)綜合考慮，本文采用傳遞函數(shù)范數(shù)法對25 m口徑射電望遠鏡進行模態(tài)縮聚。

本文基于Gawronski的建模思想，依據(jù)25 m射電望遠鏡的有限元模型，建立了由電機到大齒輪和主反射面直至副面的全過程模型。

1 問題提出

大射電望遠鏡的俯仰運動過程為：電機通過減速器帶動大齒輪和主反射面轉(zhuǎn)動，副面撐桿和副面則跟隨其一起轉(zhuǎn)動。該俯仰運動的目的在于從特定指向角度接收所需電磁波，電磁波經(jīng)主反射面反射到副面，由副面收集信號進入接收機來分析信號，所以高指向精度與伺服控制過程密切相關(guān)。圖1為25 m射電望遠鏡的反射體的有限元模型。該模型由14 619個梁單元、12 156個殼單元、449個質(zhì)量單元和20 627個節(jié)點組成，結(jié)構(gòu)復(fù)雜，柔性因素較大，嚴(yán)重影響主副面的伺服控制。傳統(tǒng)伺服控制方法無法解決該問題，所以采用最優(yōu)控制，但其控制器設(shè)計需要較為精確的被控對象模型。而傳統(tǒng)建模方法難以正確反映實際運動，也無法輸出各關(guān)鍵部位的工作過程，而且現(xiàn)有模型都不含副面撐桿和副面這個柔性最強的環(huán)節(jié)。因此，建立一個能夠模擬整體俯仰運動和各部分實際運轉(zhuǎn)狀況的模型成為亟待解決的關(guān)鍵問題?；诖?，本文提出了全過程建模。

圖1 反射體有限元模型

2 全過程建模

射電望遠鏡在俯仰運動過程中，首先由電機產(chǎn)生輸入力矩τm，經(jīng)減速器放大，獲得大齒輪和主反射面的輸入力矩τ。電機和減速器的動力學(xué)方程計算為

(1)

2.1 大齒輪和主反射面建模

使用如下的狀態(tài)空間方程來建立大齒輪和主反射面的控制模型：

(2)

2.1.1 柔性部分建模

為了使結(jié)構(gòu)可以在俯仰方向自由旋轉(zhuǎn)，施加的約束條件如圖2所示。釋放俯仰軸兩端點16740和17026繞俯仰軸旋轉(zhuǎn)的自由度，約束其他剩余自由度；約束大小齒輪嚙合點16244沿大齒輪邊緣切向的自由度。

圖2 大齒輪和主反射面的約束圖

通過ANSYS模態(tài)分析，可獲得大齒輪和主反射面的各階固有頻率ωi和模態(tài)振型Φ。由于第1階為剛性模態(tài)(固有頻率和模態(tài)位移均為0)，在此處計算柔性模態(tài)，所以i= 2, 3,…,n。

模態(tài)矩陣的規(guī)模與結(jié)構(gòu)有限元的節(jié)點數(shù)量和選取的模態(tài)階數(shù)相關(guān)。當(dāng)節(jié)點數(shù)量和選取的模態(tài)階數(shù)過多時，模態(tài)矩陣的規(guī)模將呈爆炸性增加，給相關(guān)參數(shù)的進一步計算帶來困難。因此，本文選取少量的節(jié)點，配以合適數(shù)量的模態(tài)振型構(gòu)建模態(tài)矩陣。如圖3所示，選取了n1、n2和n33點，其中，n1為俯仰大齒輪和小齒輪的嚙合點，n2為大齒輪的中心點，n3為大齒輪z方向上與n2相距為l的一點，α為嚙合點切向方向與方位軸的夾角,Fn1為嚙合點處切向方向的作用力，F(xiàn)n1y和Fn1z為Fn1在y軸和z軸上的分量，r為小齒輪半徑。

圖3 大小齒輪嚙合圖

因此，模態(tài)矩陣Φ=[Φn3Φn1Φn2]T。其中：

Φn2和Φn3的表達式與Φn1類似。

假設(shè)結(jié)構(gòu)的模態(tài)阻尼系數(shù)ζi= 0.005，則Ami[11]為

(3)

大齒輪和主反射面的輸入力矩為τ，小齒輪半徑為r，則Fn1為

Fn1=τ/r=[Fn1xFn1yFn1z]T=

[0r-1sinαr-1cosα]Tτ=Bn1τ

(4)

式中，F(xiàn)n1x為Fn1在x軸上的分量。

所以整個射電望遠鏡結(jié)構(gòu)的輸入矩陣B0為

B0=[0Bn10]T

(5)

將輸入矩陣B0轉(zhuǎn)化成模態(tài)輸入矩陣bm得：

(6)

式中，Mm為從ANSYS提取的模態(tài)質(zhì)量矩陣。

因此輸入矩陣Bmi為

(i=2,3,…,n)

(7)

俯仰角θe為

(8)

式中：Φn3y=[φ2n3yφ3n3y…φin3y…φnn3y]；Φn2y=[φ2n2yφ3n2y…φin2y…φnn2y]。

(9)

(10)

對應(yīng)的輸出矩陣Cmi為

(11)

2.1.2 剛性部分建模

剛性部分的計算方程為

(12)

(13)

2.1.3 剛?cè)峤Y(jié)合

Am=diag(Ami) (i=1,2,…,n)
Bm=[Bm1Bm2…Bmn]T
Cm=[Cm1Cm2…Cmn]

(14)

式中：Am1、Bm1和Cm1代表大齒輪和主反射面結(jié)構(gòu)的剛性部分；Am2…Amn、Bm2…Bmn和Cm2…Cmn代表結(jié)構(gòu)的柔性部分。

若要單獨輸出實際轉(zhuǎn)角，則對應(yīng)的輸出矩陣為Cma；若要單獨輸出實際角速度，則對應(yīng)的輸出矩陣為Cmb。

2.2 副面撐桿和副面建模

EIy(4)=0

(15)

圖4 副面撐桿和副面的等效結(jié)構(gòu)示意圖

柔性梁被分為2段，分別對其進行4次積分后得：

(16)

式中：y1(x)為第1段梁；y2(x)為第2段梁。

在滿足連續(xù)性：

y1(0)=0
y1′(0)=0
y1(L/2)=y2(L/2)
y1′(L/2)=y2′(L/2)
y1″(L/2)=y2″(L/2)

(17)

幾何條件：

(18)

動力學(xué)條件：

(19)

的前提下，可得狀態(tài)空間方程：

(20)

(21)

C3=[I3×303×3]

此時，反饋力矩為

(22)

最終可得電機到大齒輪和主反射面直至副面的全過程模型，即式(1)、(14)和(21)。

3 簡化模型

上述模型均為全尺寸狀態(tài)空間方程，經(jīng)分析可知，方程參數(shù)過多，維數(shù)過大，控制困難，因此本部分對上述模型進行簡化：首先，對大齒輪和主反射面模型進行模態(tài)選取，從而實現(xiàn)結(jié)構(gòu)的模型縮聚；其次，對副面撐桿和副面模型進行簡化，通過忽略副面撐桿質(zhì)量以及副面俯仰轉(zhuǎn)動慣量，實現(xiàn)結(jié)構(gòu)模型簡化[18]。

3.1 大齒輪和主反射面的模型縮聚

利用Ami、Bmi和Cmi可計算出各階模態(tài)對應(yīng)的傳遞函數(shù)的H2范數(shù)的平方[15-16]：

(23)

基于此，得到模態(tài)縮聚范數(shù)圖，如圖5所示。

圖5 模態(tài)縮聚范數(shù)圖

由圖5中的前n階范數(shù)的比重可看出，前50階所占比重接近于1，所以提取前50階模態(tài)。

已知H2范數(shù)可用來檢測每個狀態(tài)變量的能控性和能觀性，因此可刪除具有極小H2范數(shù)的模態(tài)，因為它們是弱能控和弱能觀的，引起的建模誤差可忽略?？紤]到剛性模態(tài)(第1階模態(tài))是必須保留的，這里只對柔性模態(tài)(第2～50階模態(tài))進行選取。根據(jù)‖Gi‖2的大小對狀態(tài)變量重新排序：新的第1階模態(tài)對應(yīng)的范數(shù)值最大，最后一階模態(tài)對應(yīng)的范數(shù)值最小。根據(jù)縮減相對誤差，可刪除后面的模態(tài)，找出剩余模態(tài)排序前的對應(yīng)位置。

取縮減相對誤差≤0.01，由圖5中的各階范數(shù)可知，保留的柔性模態(tài)為第10階和第12階。此時，可將式(14)簡化為

Am=diag(Am1,Am10,Am12)
Bm=[Bm1Bm10Bm12]T
Cm=[Cm1Cm10Cm12]

(24)

3.2 副面撐桿和副面的模型簡化

(25)

(26)

該模型的主要特點是模擬副面變化的影響非常簡單。此時，反饋力矩為

τ3=K2(θ2-θ3)

(27)

最終可得電機到大齒輪和主反射面直至副面的縮減后的全過程模型，即式(1)、(24)和(26)，可以直接用于控制器的設(shè)計。

4 仿真分析

利用上面建模得到的狀態(tài)空間方程，搭建Simulink框圖，如圖6所示。仿真過程中需要用到的一些參數(shù)分別在表1、表2和表3中列出。

圖6 俯仰力傳遞路徑框圖

參數(shù)數(shù)值Jm/(kg·m2)0.4Km/(V·s·rad-1)1.36Kt/(N·m·A-1)1.23K1/(N·m·rad-1)4.958e9Rm/Ω0.223Lm/H0.003 65N36 000

表2 大齒輪和主反射面參數(shù)

注：表中B2為粘滯摩擦系數(shù)。

表3 副面撐桿和副反射面參數(shù)

查閱電機表，當(dāng)額定電壓為440 V時，對應(yīng)的額定轉(zhuǎn)速為3 090 r/min，即323.58 rad/s。設(shè)計時未考慮放大器環(huán)節(jié)，所以直接輸入440 V的電壓。電機經(jīng)過減速比為 36 000的減速箱后，角速度減小為0.009 rad/s。

圖7為大齒輪實際角速度。由圖7可以看出，大齒輪的實際角速度在0.009rad/s附近波動，波動范圍為0.008 9～0.009 1 rad/s，這是考慮了柔性因素的緣故。

圖7 輸出角速度

圖8為副面頂端角速度。從圖8可以看出，副面頂端角速度在0.009 rad/s附近波動，波動范圍為0.008 6～ 0.009 4 rad/s。很顯然，副面頂端角速度相對大齒輪實際角速度更大，符合副面撐腿相對大齒輪更柔的特點，所以符合實際情況。

圖8 副面頂端角速度

圖9為副面撐桿和副面對大齒輪和主反射面端的反饋力矩。從圖9可以看出，該方法可以直接輸出中間環(huán)節(jié)的值，突出了它的優(yōu)點。

圖9 反饋力矩

5 結(jié)束語

本文依據(jù)25 m射電望遠鏡的有限元模型，建立了俯仰系統(tǒng)從電機到副面運動的全過程模型，并對模型進行了簡化，使其能直接用于最優(yōu)控制器設(shè)計，提高射電望遠鏡的指向精度。將射電望遠鏡整體運動過程分為電機到大齒輪和主反射面、大齒輪和主反射面到副面2部分并分別建模，其優(yōu)點在于：1)不受限于實物模型，在天線設(shè)計階段就可模擬各部分的實際運轉(zhuǎn)狀況；2)能準(zhǔn)確模擬射電望遠鏡的整體俯仰運動，體現(xiàn)結(jié)構(gòu)的各部分特性，不僅可以得到副面頂端的速度，還可以得到中間環(huán)節(jié)值，如扭矩、電流、大齒輪速度等。仿真驗證表明該建模方法是可行的。下一步將通過現(xiàn)場實驗進一步驗證該方法的可靠性與準(zhǔn)確性。