李永紅

教學(xué)目標(biāo)：

1.認(rèn)識(shí)漢諾塔。了解漢諾塔歷史及游戲規(guī)則，學(xué)會(huì)移動(dòng)1～6個(gè)圓盤的玩法。能用條理清晰的語言闡述自己的想法。

2.在學(xué)習(xí)過程中，經(jīng)過自己的探索，發(fā)現(xiàn)前面探究獲得的結(jié)果可以幫助解決后面未知的問題，總結(jié)首環(huán)移動(dòng)與圓盤的奇偶性關(guān)系。體驗(yàn)數(shù)學(xué)方法倒推、轉(zhuǎn)換、遞歸等在游戲中的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生思考力。

3.開發(fā)動(dòng)手能力，培養(yǎng)遇到難題時(shí)堅(jiān)持不懈的精神。

教學(xué)重點(diǎn)：掌握漢諾塔的游戲規(guī)則，發(fā)現(xiàn)最優(yōu)步驟取決于首環(huán)移動(dòng)位置。

教學(xué)難點(diǎn)：倒推和遞歸等數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用。

教學(xué)準(zhǔn)備：多媒體教學(xué)課件，每人一個(gè)漢諾塔。

活動(dòng)過程：

一、展示預(yù)習(xí)作業(yè)，導(dǎo)入新課

師：昨天老師留了預(yù)習(xí)作業(yè)，讓大家收集有關(guān)漢諾塔的資料?，F(xiàn)在我們就來看看幾位同學(xué)收集的資料吧。

生1：通過搜集我知道了漢諾塔的構(gòu)造，它是由一個(gè)底座和三根同樣高的柱子構(gòu)成，這三根柱子從左到右可以叫A柱、B柱、C柱。其中一根柱子上，由下至上還排列著由大到小的8個(gè)不同顏色的圓環(huán)。

生2：我通過搜集資料了解到漢諾塔的游戲規(guī)則：

（1） 將所有盤按原來的排列移到另一根柱子上。

（2） 在玩的時(shí)候，每次只能移動(dòng)一個(gè)圓盤。

（3）大圓環(huán)永遠(yuǎn)不能壓在小圓環(huán)上面。

（4）按上邊規(guī)則盡可能用最少的步數(shù)移出。

為了玩得更輕松，有人還把器具的玩法編成了口訣：一次一環(huán)，大不壓小。

生3：我搜集到了有關(guān)漢諾塔的傳說。印度有一個(gè)古老的傳說：在世界中心貝拿勒斯的圣廟里，一塊黃銅板上插著三根寶石柱。印度教的主神梵天在創(chuàng)造世界的時(shí)候，在其中一根柱子上從下到上地穿好了由大到小的64片金盤，這就是所謂的漢諾塔。不論白天黑夜，總有一個(gè)僧侶按照下面的法則移動(dòng)這些金盤：一次只移動(dòng)一個(gè)金盤，不管在哪根柱子上，小金盤必須在大金盤上面。僧侶們預(yù)言，當(dāng)所有的金盤都從梵天穿好的那根柱子移到另外一根柱子上時(shí)，世界將會(huì)在一聲霹靂中消滅，而梵塔、廟宇和眾生也都將同歸于盡，世界末日隨之到來！

師：世界末日真的會(huì)到來嗎？一位法國的著名數(shù)學(xué)家愛德華聽了這個(gè)故事，就動(dòng)手玩了這個(gè)游戲，結(jié)果他笑了，他為什么笑了呢？今天我們玩一玩這個(gè)器具，共同走進(jìn)奇妙的漢諾塔。（板書課題。）

二、嘗試活動(dòng)，探尋數(shù)學(xué)思想

師：（出示課件。）剛才同學(xué)介紹了漢諾塔的三根柱子分別叫A柱、B柱、C柱。為了一會(huì)兒操作方便我們還可以把圓環(huán)所在的A柱叫起始柱；假如我們想把圓環(huán)移到C柱上，C柱就叫目標(biāo)柱；B柱就叫過渡柱。而在圓環(huán)的移動(dòng)過程中，有時(shí)候它們的角色會(huì)發(fā)生轉(zhuǎn)變。這8個(gè)圓環(huán)也可以叫做圓盤，我們可以從上至下叫1環(huán)、2環(huán)、3環(huán)……8環(huán)，另外這8個(gè)環(huán)的首領(lǐng)是最小的1環(huán)，所以1環(huán)也可以叫首環(huán)。

師：大家還記得這個(gè)游戲的規(guī)則嗎？把圓環(huán)按原來的順序，也就是原來小環(huán)在上，大環(huán)在下，把它們移到另一根柱子上時(shí)，仍然要小環(huán)在上，大環(huán)在下。同學(xué)們想想移動(dòng)的過程中我們的第一個(gè)目標(biāo)是把最大環(huán)移至目標(biāo)柱，還是把最小環(huán)移至目標(biāo)柱。（板書：一次一環(huán)，大不壓小。）動(dòng)手試試吧。

師：剛才在操作中你遇到了什么困難？

生1：我移到3根柱子都有圓環(huán)的時(shí)候就不知道怎么辦了。

生2：有時(shí)候我移來移去又移回到起始柱了。

師：看來要成功地移出8個(gè)環(huán)確實(shí)有難度，它的移動(dòng)一定是有規(guī)律可尋的，那我們可不可以降低難度由易到難，從一個(gè)盤的移動(dòng)開始體會(huì)。接下來請(qǐng)大家借助老師為你準(zhǔn)備的導(dǎo)學(xué)單，我們一起來研究一下。

師：導(dǎo)學(xué)單的第一列是什么？（生：環(huán)數(shù)。師板書。）也就是要移動(dòng)幾個(gè)環(huán)；第二列呢？這里哪個(gè)詞最重要？（生：最少用幾步。師板書。）“最少”體現(xiàn)了數(shù)學(xué)上的優(yōu)化思想，所以也可以說是最優(yōu)步數(shù)；第三列呢？（生：首環(huán)位置。師板書。）就是第一步先把首環(huán)放在哪根柱子上？這正是我們要驗(yàn)證的一個(gè)重要問題。

師：現(xiàn)在我們就從易到難從一個(gè)環(huán)開始研究。一環(huán)移動(dòng)用幾步？

（生演練。）

毋庸置疑一環(huán)移出沒有障礙，一步就可以完成，第一步首環(huán)直接落在目標(biāo)柱上。（板書：1-1-目。）

師：要是兩個(gè)環(huán)我們?cè)趺匆瞥瞿?？?qǐng)你試試。

（生匯報(bào)，分別請(qǐng)5步完成及3步完成的學(xué)生演示。）

師：這兩位同學(xué)的操作，雖然都把圓環(huán)送達(dá)了目標(biāo)柱，但是你更喜歡誰的方法？為什么？（生：用3步完成的。）（板書：3。）當(dāng)我們選擇最簡潔的步驟完成任務(wù)時(shí)，就體現(xiàn)了我們數(shù)學(xué)中的“優(yōu)化”思想。在學(xué)習(xí)和生活中我們會(huì)選擇優(yōu)化的方法，效率就會(huì)提高，我們的頭腦也會(huì)變得更聰明更智慧。

現(xiàn)在我們看一下兩位同學(xué)演示過程的解析圖，為什么有的同學(xué)用3步，有的同學(xué)用5步？他們?cè)诘趲撞匠霈F(xiàn)了不同？

師：首環(huán)移動(dòng)時(shí)就不同了。用5步完成的同學(xué)第一步把首環(huán)落在哪了？（生：目標(biāo)柱。）。用3步完成的同學(xué)，第一步把首環(huán)落在哪了？（生：過渡柱。）

移出兩環(huán)時(shí)為什么把首環(huán)落在過渡柱上步數(shù)才最優(yōu)呢？在移動(dòng)兩環(huán)時(shí)我們的第一目標(biāo)是——（生：最大環(huán)——目標(biāo)柱。）最大圓環(huán)能否直接移去目標(biāo)柱？（生：不能。）原因是——（生：首環(huán)壓住了最大環(huán)。）怎么辦？（生：上面的首環(huán)是障礙，所以先把首環(huán)落在過渡柱上，首環(huán)要禮讓才能順利移出最大環(huán)。）就像排隊(duì)一樣，越想往前擠就越浪費(fèi)時(shí)間，首環(huán)如果先擠占了目標(biāo)柱，最大環(huán)就不能直接去目標(biāo)柱了，就浪費(fèi)了步數(shù)，所以首環(huán)應(yīng)落在——（生：過渡柱。）

師：再次操作，請(qǐng)所有同學(xué)把首環(huán)落在過渡柱上移出兩環(huán)。如果同桌有困難，請(qǐng)相互幫助。

師：看來首環(huán)的位置就已經(jīng)決定我們的步數(shù)是否最優(yōu)。 要想優(yōu)化兩環(huán)的步驟，我們的第一步一定落在哪里？（生：過渡柱上）。回頭看移出一環(huán)時(shí)我們直接把它落到哪根柱子上了？（生：目標(biāo)柱）。那要想優(yōu)化三環(huán)的步驟首環(huán)應(yīng)該落到哪根柱子上？看課件讓我們分組試試，女生落在目標(biāo)住上，男生落在過渡柱上，把你的步驟記錄在導(dǎo)學(xué)單上。

（男女生分別匯報(bào)，得出優(yōu)化三環(huán)步驟為7步，首環(huán)落在目標(biāo)柱。）

師：為什么把首環(huán)落到目標(biāo)柱用的步數(shù)最少？請(qǐng)同學(xué)們?cè)俅我苿?dòng)找出原因。誰來講講移三環(huán)的時(shí)候?yàn)槭裁窗咽篆h(huán)落到目標(biāo)柱用的步數(shù)最少？

生：移三環(huán)的第一目標(biāo)還是最大環(huán)先移到目標(biāo)柱上，那上面兩個(gè)環(huán)就是大環(huán)的障礙，要想把上面兩個(gè)環(huán)都移至過渡柱上，第一個(gè)環(huán)又是第二個(gè)環(huán)的障礙，所以要先把第一個(gè)環(huán)落在目標(biāo)柱上。

師：他的這種方法叫做倒推法，倒推是一種非常好的數(shù)學(xué)思想。它是利用已知條件，最大環(huán)要移去目標(biāo)柱，倒著向前推理，那前兩環(huán)應(yīng)該怎么辦？二環(huán)要移至過渡柱，倒著向前推理一環(huán)怎么辦？這樣倒著推理出首環(huán)要落在目標(biāo)柱步驟才能最優(yōu)。

師：在移出四環(huán)之前你能以第一目標(biāo)：最大環(huán)移去目標(biāo)柱開始，倒推出首環(huán)的位置嗎？同桌交流，大膽推測(cè)。

（一生說推理過程：4-目，前3-過，前2-目，首-過。首環(huán)應(yīng)落在過渡柱位置。）

（生操作，匯報(bào)步數(shù)，展示操作過程。）

師：第一目標(biāo)：最大環(huán)去目標(biāo)柱，前三環(huán)要去過渡柱，這時(shí)候B柱其實(shí)是前三環(huán)的——（生：目標(biāo)柱。）C柱變成前3環(huán)的——（生：過渡柱。）按三環(huán)的移動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，7步把它們移至B柱上。第八步將最大盤成功落在目標(biāo)柱上，再將前三環(huán)移至C柱上，這時(shí)候C柱又變成前三環(huán)的目標(biāo)柱了，A柱變成前三環(huán)的過渡柱。這個(gè)過程你有什么發(fā)現(xiàn)？在移動(dòng)的過程中三個(gè)柱子的角色是在變換的。這種變換就是另一種數(shù)學(xué)思想——轉(zhuǎn)換，利用轉(zhuǎn)換的思想可以令我們走出困境。

觀察前四環(huán)的移動(dòng)，你們發(fā)現(xiàn)了首環(huán)移動(dòng)的規(guī)律了嗎？（生：單數(shù)環(huán)首環(huán)移動(dòng)到目標(biāo)柱，雙數(shù)環(huán)首環(huán)移動(dòng)到過渡柱。）能根據(jù)這個(gè)規(guī)律推想一下移出五環(huán)時(shí)，首環(huán)落在哪？（師板書。）

師：我們?cè)倏醋顑?yōu)步數(shù)，四環(huán)的步數(shù)是怎么得到的？是在幾環(huán)的基礎(chǔ)上？7×2+1，（師板書）這個(gè)7是誰用的步數(shù)？這個(gè)1呢？哪位同學(xué)來說一說？

師：五環(huán)用多少步你能算出來嗎？（生：15×2+1=31。）六環(huán)呢？（生：31×2+1=63。）

師：那我們能不能將它分解成前四環(huán)和最大環(huán)來想，前四環(huán)如果能移到過渡柱，最大環(huán)就能順利地移至目標(biāo)柱。我們剛剛研究過四環(huán)的移出用15步。 同樣道理，移4環(huán)需要考慮怎樣把前3環(huán)移出，移3環(huán)需要考慮怎樣把前2環(huán)移出。這種思想就叫遞歸。遞歸就是把一個(gè)復(fù)雜的思想轉(zhuǎn)換成與之類似的簡單的小問題來解決。5環(huán)較為復(fù)雜，我們就把它轉(zhuǎn)換成4環(huán)來想，4環(huán)就把它轉(zhuǎn)換成3環(huán)來想，這就是遞歸。

（游戲：盲移5環(huán)，移后報(bào)時(shí)。）

三、總結(jié)

師：同學(xué)們真是了不起，在短短的時(shí)間內(nèi)不僅探究出首環(huán)位置的規(guī)律，還找到了計(jì)算圓環(huán)移動(dòng)次數(shù)的方法。數(shù)學(xué)家愛德華也找到了這個(gè)方法，他按這個(gè)方法計(jì)算下去，10環(huán)1023步，20環(huán)100多萬步，30環(huán) 10 億多步……繼續(xù)算下去，移動(dòng)完64個(gè)環(huán)要用1800多兆步，移完這個(gè)步數(shù)大約要用5850億年。5850億年，那是個(gè)遙不可及的未來！所以愛德華笑了。通過漢諾塔的學(xué)習(xí)，我們了解并運(yùn)用了一些數(shù)學(xué)思想，比如：化難為易、優(yōu)化、倒推、轉(zhuǎn)換、遞歸……這些數(shù)學(xué)思想能使我們變得更聰明更智慧，少年智則國智！少年強(qiáng)則國強(qiáng)！有了你們的大智慧我們的祖國一定會(huì)更加富強(qiáng)！

（作者單位：大慶市八百坰第一小學(xué)）

見習(xí)編輯∕徐蕊