陳 明

（遵義師范學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院，貴州遵義563006）

1 柯西不等式及其證明

證一：利用構(gòu)造二次函數(shù)證明

反之，若兩組數(shù)(ai)與(bi)成比例，兩邊相等。[1]

證二：利用作差法證明

證三：利用向量內(nèi)積證明

利用向量內(nèi)積證明

證四：利用均值不等式證明

式中A＞0，B＞0，則(1)即

下面證明不等式(3)，由均值不等式

將以上各式相加，得

證五：利用數(shù)學(xué)歸納法證明

即n=k+1時，不等式也成立

2 柯西不等式的各種形式

柯西不等式有各種各樣的類型，在不同的數(shù)學(xué)分支中都有著極其廣泛的應(yīng)用。在不同的數(shù)學(xué)分支它有不同的形式和內(nèi)容，但其本質(zhì)是不變的，這充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)各分支間的關(guān)聯(lián)性、滲透性和統(tǒng)一性。下面列出柯西不等式在數(shù)學(xué)四個基礎(chǔ)分支的不同表達(dá)形式。[5]

（1）微積分學(xué)中的柯西不等式

對于［a，b］區(qū)間上的任意可積實函數(shù)?(x)，g(x)，均有

（2）代數(shù)學(xué)中的柯西不等式

（3）泛函分析中的柯西不等式[3]

（4）概率論中的柯西不等式[3]

3 柯西不等式的應(yīng)用

3.1 最值方面的應(yīng)用

解：由柯西不等式得：

3.2 在證明不等式方面的應(yīng)用

證 由柯西不等式，有

兩式相加，得

當(dāng)n=2時，上不等式為

其中等號當(dāng)且僅當(dāng)a1=kb1，a2=kb2時成立。

不等式(2)揭示了三角形中兩邊之和大于第三邊這一基本性質(zhì)（當(dāng)三角形退化為三頂點共線時取等號）。不等式(1)是不等式(2)的推廣，因此獲“三角形不等式”這一名稱。

3.3 在解決等式、方程等問題上的應(yīng)用

證明：由柯西不等式：

3.4 在幾何上的應(yīng)用

求證：點P(x0,y0)到直線L：Ax+By+C=0的距離是：

證明 設(shè)Q(x1,y1)是直線L：Ax+By+C=0上任一點，則

由柯西不等式知

此非嚴(yán)格不等式中的等號僅在B(x1-x0)=A(y1-y0)即PQ⊥L時成立。

靈活運用柯西不等式，可使解題更加方便，快捷。因此，柯西不等式在數(shù)學(xué)理論中占有非常重要的地位。