孟 鑫

(吉林師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院, 吉林 四平 136000)

0 引 言

指數(shù)型二分性理論是研究非線性微分方程以及非自治離散動力系統(tǒng)的重要工具， 在微分方程[1-3]和離散動力系統(tǒng)[4-7]中應(yīng)用廣泛. 動力系統(tǒng)的周期性與反周期性密切相聯(lián), 反周期問題常應(yīng)用于物理、 偏微分方程和抽象微分方程的研究中. 目前, 反周期系統(tǒng)的反周期解問題已引起人們廣泛關(guān)注[8-13]. 但關(guān)于離散動力系統(tǒng)反周期解的存在唯一性結(jié)果文獻(xiàn)報(bào)道較少.

當(dāng)a,b∈且a

x(n+1)=F(n,x(n)),

(1)

若存在正整數(shù)N, 使得對任意n∈,x∈d, 有F(n+N,x)=-F(n,-x), 則稱系統(tǒng)(1)為N-反周期系統(tǒng). 其中:x:→d;F:×d→d. 若系統(tǒng)(1)的解x(n)滿足x(n+N)=-x(n), 則稱x(n)為系統(tǒng)(1)的N-反周期解.

本文考慮非線性離散N-反周期系統(tǒng)

x(n+1)=A(n)x(n)+g(n,x(n))

(2)

的反周期解, 其中:x:→d;A:→d×d,A(n+N)=A(n)；g:×d→d,g(n+N,x)=-g(n,-x). 借助指數(shù)型二分性理論及Banach不動點(diǎn)定理, 給出系統(tǒng)(2)的N-反周期解存在唯一的充分條件, 并給出應(yīng)用實(shí)例.

1 預(yù)備知識

對于線性系統(tǒng)

x(n+1)=A(n)x(n),

(3)

設(shè)Φ(n)是系統(tǒng)(3)的基本解矩陣, 且滿足Φ(0)=I. 若存在投影P及常數(shù)K,α>0, 使得

|Φ(n)PΦ-1(m)|≤Ke-α(n-m),n≥m,

|Φ(n)(I-P)Φ-1(m)|≤Ke-α(m-n),m≥n,

則稱系統(tǒng)(3)具有指數(shù)型二分性. 其中:A:→d×d;x:→d.

命題1設(shè)N是正整數(shù), 若Φ(n)是系統(tǒng)(3)的基本解矩陣, 且A(n+N)=A(n), 則Φ(n+N)也是系統(tǒng)(3)的基本解矩陣, 且對任意m,n∈, 有

Φ(n+N)PΦ-1(m+N)=Φ(n)PΦ-1(m),

Φ(n+N)(I-P)Φ-1(m+N)=Φ(n)(I-P)Φ-1(m).

證明: 由detΦ(n)≠0,Φ(n+1)=A(n)Φ(n)可知,

detΦ(n+N)≠0,

Φ(n+N+1)=A(n+N)Φ(n+N)=A(n)Φ(n+N),

故Φ(n+N)也是系統(tǒng)(3)的基本解矩陣, 于是存在非奇異常矩陣C0∈d×d, 使得

Φ(n+N)=Φ(n)C0,n∈.

因此,

設(shè)N是正整數(shù), 考慮N-反周期系統(tǒng):

x(n+1)=A(n)x(n)+f(n),

(4)

其中:A:→d×d,A(n+N)=A(n)；f:→d,f(n+N)=-f(n).

命題2設(shè)系統(tǒng)(3)具有指數(shù)型二分性,A(n+N)=A(n),f(n+N)=-f(n), 則

是系統(tǒng)(4)的一個(gè)N-反周期解.

證明: 顯然x(n)是系統(tǒng)(4)的解. 因?yàn)閒(n+N)=-f(n), 所以根據(jù)命題1, 有

因此x(n+N)=-x(n), 表明x(n)是系統(tǒng)(4)的N-反周期解.

2 主要結(jié)果

設(shè)N是正整數(shù), 考慮非線性離散N-反周期系統(tǒng)(2)反周期解的存在性. 設(shè)

X={x(n):x(n+N)=-x(n),n∈},

其中x:→d. 定義X上的范數(shù)為則(X,‖·‖)為Banach空間.

定理1設(shè)線性系統(tǒng)(3)關(guān)于投影P及常數(shù)K,α>0具有指數(shù)型二分性, 且A(n+N)=A(n). 對任意n∈,x,y∈d, 有g(shù)(n+N,x)=-g(n,-x), 并滿足|g(n,x)-g(n,y)|≤L|x-y|, 其中常數(shù)L滿足則系統(tǒng)(2)有唯一的N-反周期解.

證明: 考慮N-反周期系統(tǒng)

x(n+1)=A(n)x(n)+g(n,y(n)).

(5)

因?yàn)榫€性系統(tǒng)(3)關(guān)于投影P及常數(shù)K,α>0具有指數(shù)型二分性, 因此根據(jù)命題2, 系統(tǒng)(5)存在解

類似命題2, 對任意n∈, 當(dāng)y(n+N)=-y(n)時(shí),x(n+N)=-x(n).

定義映射T:X→X為

則T的不動點(diǎn)即為系統(tǒng)(2)的N-反周期解. 對任意y1,y2∈X, 有

對任意n∈[0,N-1], 有

另一方面, 有

因此,

從而T是X上的壓縮映射. 根據(jù)Banach不動點(diǎn)定理, 映射T有唯一不動點(diǎn), 從而系統(tǒng)(2)有唯一的N-反周期解.

x(n+1)=Ax(n)+g(n,x(n))

(6)

存在唯一的N-反周期解.

當(dāng)m≥n時(shí), 有

因此系統(tǒng)x(n+1)=Ax(n)具有指數(shù)型二分性.

易見對任意n∈,x,y∈2, 有g(shù)(n+N,x)=-g(n,-x), 且

即L=2/15, 故0