文/珠海市理工職業(yè)技術(shù)學(xué)校 陳金坡

在中職學(xué)校中，數(shù)制轉(zhuǎn)換的學(xué)習(xí)和應(yīng)用涉及到多個學(xué)科，比如：《數(shù)學(xué)》 《電子技術(shù)》 《單片機(jī)》《PLC》 《微機(jī)原理》等，對于即將成長為技能型人才與高素質(zhì)勞動者的中職生來說，它具有重要的實(shí)踐應(yīng)用價值，同時也是一個學(xué)習(xí)難點(diǎn)。

一、問題的提出

數(shù)制即選取一定的進(jìn)位規(guī)則，用多位數(shù)碼來表示某個數(shù)的值，如表1所示?？捎冒礄?quán)展開的數(shù)學(xué)通式來表達(dá)任意進(jìn)制數(shù)：

表1 常見數(shù)制類型及其代碼符號

式 （1）中，D代表任意進(jìn)制數(shù)，n為整數(shù)部分的總位數(shù)，kn-1為第n-1位數(shù)的數(shù)碼，Nn-1為第n-1為的權(quán)，N代表某一進(jìn)制。由于數(shù)制轉(zhuǎn)換對中職生不作研究要求，基本實(shí)踐應(yīng)用中只有整數(shù)部分，所以本文對數(shù)制轉(zhuǎn)換過程中的小數(shù)部分不作研究對象。

傳統(tǒng)的數(shù)制轉(zhuǎn)換方法，通常采用按權(quán)展開法、基數(shù)乘除法、比例法，如圖1常見進(jìn)制間轉(zhuǎn)換方法所示。

基于進(jìn)制位數(shù)的 “比例法”，適用于二進(jìn)制與2n進(jìn)制間的轉(zhuǎn)換，其它進(jìn)制間的轉(zhuǎn)換由于位數(shù)不匹配而不適用，此方法較為簡單、具體，學(xué)生容易掌握，在此不作累述。

圖1

基于基數(shù)的乘除法，適用于十進(jìn)制轉(zhuǎn)換為N進(jìn)制，在整數(shù)轉(zhuǎn)換部分，只需要用到除基取余法，即將需要轉(zhuǎn)換的十進(jìn)制數(shù)，連續(xù)除以轉(zhuǎn)換目標(biāo)進(jìn)制的基數(shù)，直到商為0，再逆序排列余數(shù)可得到結(jié)果。

例題1.將十進(jìn)制數(shù)19轉(zhuǎn)化為二進(jìn)制數(shù)。

解：根據(jù)除基取余法，將19連續(xù)除以二進(jìn)制的基數(shù)2，取出余數(shù)，具體如下：

所以： (19)10=(k4k3k2k1k0)2=(10011)2

在實(shí)際教學(xué)中，我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生對基數(shù)乘除法的掌握情況，達(dá)不到我們想要的教學(xué)效果。可能轉(zhuǎn)換過程過于抽象，而除法取余是學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算的硬傷，學(xué)生經(jīng)常出現(xiàn)除法取余理解困難和答案高低位錯亂的情況。

基于數(shù)學(xué)通式的按權(quán)展開法，適用于N進(jìn)制轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制，在整數(shù)轉(zhuǎn)換部分，按照N進(jìn)制的位權(quán)形式展開多項(xiàng)式和的形式，通過求冪、乘法、加分運(yùn)算得到結(jié)果。

例題 2.將二進(jìn)制 (101)2轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù)。

解： (101)2=1×22+0×21+1×20=(5)10

在實(shí)踐應(yīng)用過程中我們發(fā)現(xiàn)：按權(quán)展開法公式過于復(fù)雜，學(xué)生難以記憶，書寫容易出錯；且與基數(shù)乘除法一樣，在轉(zhuǎn)換過程中具有單向性，學(xué)生容易混亂。

面對這樣的問題，能否找到一種簡單的方法，既可以不涉及到除基求余和求冪運(yùn)算，又能夠滿足中職生的數(shù)制轉(zhuǎn)換需求？筆者根據(jù)多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，歸納出利用進(jìn)制位權(quán)值湊數(shù)相加的 “砌權(quán)法”轉(zhuǎn)換技巧，可以輕松進(jìn)行整數(shù)十進(jìn)制與N進(jìn)制間的轉(zhuǎn)換。

二、 “砌權(quán)法”的定義及適用范圍

“砌”即拼湊， “權(quán)”是進(jìn)制的位權(quán)， “砌權(quán)法”就是利用進(jìn)制位權(quán)值固定的特點(diǎn)，將需要轉(zhuǎn)換的進(jìn)制列出若干位權(quán)，再根據(jù)位權(quán)和進(jìn)制數(shù)之間的規(guī)律進(jìn)行拼湊而成。具體過程可以分為三個步驟：

①列權(quán)：將相應(yīng)進(jìn)制數(shù)的若干位權(quán)列出，如下表2常見進(jìn)制的位權(quán)表所示。

②定權(quán)：確定最高位權(quán)值；在十進(jìn)制轉(zhuǎn)換N進(jìn)制過程中，假如需轉(zhuǎn)換的十進(jìn)制數(shù)為D，則取位權(quán)值小于D的最高位。在N進(jìn)制轉(zhuǎn)換十進(jìn)制過程中，N進(jìn)制數(shù)有幾位則定位權(quán)幾位。

③砌權(quán)：將各權(quán)值由高位向低位湊數(shù)相加完成轉(zhuǎn)換。

我們可以發(fā)現(xiàn)，進(jìn)制位權(quán)的規(guī)律是按照進(jìn)制的n次方值列出，簡單的理解就是，任意N進(jìn)制的第1位位權(quán)都是 “1”，相鄰高位位權(quán)為低位位權(quán)的N倍。由于 “砌權(quán)法”在帶小數(shù)的數(shù)制轉(zhuǎn)換過程中，并不具備優(yōu)勢，所以 “砌權(quán)法”只適合中職學(xué)生在整數(shù)十進(jìn)制轉(zhuǎn)任意進(jìn)制實(shí)踐應(yīng)用過程中使用。

三、 “砌權(quán)法”的應(yīng)用及優(yōu)點(diǎn)

在十進(jìn)制轉(zhuǎn)換為N進(jìn)制過程中，我們?nèi)绾卫?“砌權(quán)法”避免除法運(yùn)算，并且讓過程簡單、具體。我們選擇較大的十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為難度較高的八進(jìn)制數(shù)來驗(yàn)證。

例題3.將十進(jìn)制數(shù)172轉(zhuǎn)化為八進(jìn)制數(shù)。

在第②步中，位權(quán)值小于172的最高位是3，可以忽略第4位位權(quán)值。在第③步中，第3位的權(quán)值為 64，3個64大于 172，所以選擇2個64來拼湊，剩下44在第2位進(jìn)行拼湊，可以選擇5個8來拼湊，剩下4在第1位進(jìn)行補(bǔ)充，可以得出答案為： （172）10= （254）8。

表2 常見進(jìn)制的位權(quán)表

通過例子我們發(fā)現(xiàn)，利用 “砌權(quán)法”可以避免除基取余過程的抽象，又可以將解題過程模塊化，簡單易懂，有利于學(xué)生理解和掌握。

在N進(jìn)制轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制過程中，我們?nèi)绾卫?“砌權(quán)法”簡化按權(quán)展開法的復(fù)雜公式，避免書寫錯誤。我們選擇十六進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù)來驗(yàn)證。

例題4.將十六進(jìn)制數(shù)2AF轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù)。

在第③步中，將十六進(jìn)制的2AF分別乘以下面對于的權(quán)值，其中A代表10、F代表15，分別可得到 512、160、15，再將三個數(shù)相加可以得到答案：

（2AF）16= （689）10

通過例子我們發(fā)現(xiàn)，學(xué)生不必再背誦復(fù)雜的數(shù)學(xué)通式，不必再糾結(jié)求冪過程下標(biāo)和上標(biāo)的意義，可以步步為營的進(jìn)行準(zhǔn)確轉(zhuǎn)換。

四、結(jié)論

本文基于中職學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力及邏輯思維較為薄弱的現(xiàn)狀，歸納出利用進(jìn)制位權(quán)值湊數(shù)相加的“砌權(quán)法”轉(zhuǎn)換方法，可替代整數(shù)十進(jìn)制與N進(jìn)制間轉(zhuǎn)換的按權(quán)展開法和基數(shù)乘除法。因?yàn)?“砌權(quán)法”相對于按權(quán)展開法和基數(shù)乘除法具有以下優(yōu)點(diǎn)：

a.過程直觀，通過一個表格就可以詳細(xì)解題；

b.步驟獨(dú)立，每一個步驟都相對獨(dú)立，容易掌握；

c.算法簡單，免去除基取余法和求冪這個硬傷，實(shí)現(xiàn)雙向轉(zhuǎn)換。