劉太素， 錢(qián)林方， 陳光宋， 吉磊

(南京理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院， 江蘇 南京 210094)

0 引言

輸彈機(jī)是中大口徑自行火炮和車(chē)載炮裝填系統(tǒng)中的重要組成部分，主要負(fù)責(zé)將彈丸迅速準(zhǔn)確地輸送到炮膛內(nèi)，輸彈機(jī)的輸彈精度是火炮射擊精度的關(guān)鍵組成部分之一，提供了彈丸膛內(nèi)運(yùn)動(dòng)的初始狀態(tài)[1]。

鏈條傳動(dòng)是輸彈機(jī)結(jié)構(gòu)中重要的組成部分之一，可實(shí)現(xiàn)彈丸推送入膛。在現(xiàn)有的輸彈機(jī)構(gòu)中存在兩種形式的鏈條傳動(dòng)：一是旋轉(zhuǎn)閉式鏈傳動(dòng)[2-3]；二是開(kāi)式鏈傳動(dòng)，主要作往復(fù)直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，由于建模相對(duì)復(fù)雜，目前僅有一定的理論研究[4]。文獻(xiàn)[5-6]利用RecurDyn仿真軟件對(duì)輸彈機(jī)開(kāi)式鏈傳動(dòng)進(jìn)行了剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)建模，分析了系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性，確定了危險(xiǎn)點(diǎn)的位置，為開(kāi)式鏈輸彈機(jī)的研究提供了一定理論基礎(chǔ)。文獻(xiàn)[7]基于虛擬樣機(jī)技術(shù)對(duì)輸彈機(jī)開(kāi)式齒形鏈進(jìn)行了剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)建模，并得到了齒形鏈的相關(guān)動(dòng)力學(xué)特性。文獻(xiàn)[8]基于Adams軟件建立了輸彈機(jī)開(kāi)式鏈動(dòng)力學(xué)模型，并分析了參數(shù)隨機(jī)性對(duì)系統(tǒng)可靠性的影響。近年來(lái)，對(duì)輸彈精度和輸彈一致性的要求逐漸提高，如何建立準(zhǔn)確的輸彈機(jī)開(kāi)式鏈傳動(dòng)動(dòng)力學(xué)仿真模型，進(jìn)而分析輸彈過(guò)程的動(dòng)力學(xué)特性，是提高輸彈精度和輸彈一致性的關(guān)鍵問(wèn)題之一。

本文在前人研究的基礎(chǔ)上，針對(duì)輸彈機(jī)開(kāi)式鏈傳動(dòng)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)，通過(guò)詳細(xì)描述滾輪與鏈輪之間的幾何關(guān)系和接觸模式以及鏈節(jié)之間的接觸，建立了準(zhǔn)確的開(kāi)式鏈傳動(dòng)機(jī)構(gòu)多剛體動(dòng)力學(xué)模型?；诖藙?dòng)力學(xué)模型分析了開(kāi)式鏈傳動(dòng)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)行為和動(dòng)力學(xué)特性，討論了滾輪與鏈輪齒槽之間間隙變化對(duì)輸彈機(jī)開(kāi)式鏈傳動(dòng)機(jī)構(gòu)的影響。分析結(jié)果為合理設(shè)計(jì)輸彈機(jī)開(kāi)式鏈傳動(dòng)機(jī)構(gòu)、提高輸彈一致性和輸彈精度提供了理論基礎(chǔ)。

1 開(kāi)式鏈傳動(dòng)機(jī)構(gòu)幾何描述及運(yùn)動(dòng)接觸分析

1.1 基本假設(shè)

為了建立相對(duì)準(zhǔn)確的某輸彈機(jī)開(kāi)式鏈傳動(dòng)機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型，需要做出如下假設(shè)：

1) 不考慮輸彈機(jī)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)等其他部件的影響，只考慮鏈條傳動(dòng)系統(tǒng)相關(guān)參數(shù)的影響；

2) 各部件視為剛體，不考慮彈性變形的影響；

3) 不考慮彈丸與托彈板之間的接觸碰撞，假定推彈板動(dòng)力學(xué)特性即為彈丸動(dòng)力學(xué)特性；

4) 將系統(tǒng)視為平面系統(tǒng)，只考慮平面內(nèi)的移動(dòng)及繞垂直平面軸的轉(zhuǎn)動(dòng)，其中推彈板只有沿彈丸軸向的1個(gè)移動(dòng)自由度；

5) 輸彈機(jī)相對(duì)地面靜止，即鏈輪相對(duì)地面定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。

1.2 結(jié)構(gòu)描述

本文研究對(duì)象為首尾不相連的開(kāi)式鏈傳動(dòng)機(jī)構(gòu)，在輸彈過(guò)程中鏈條在鏈輪的帶動(dòng)下，經(jīng)由推彈板將彈丸輸送到炮膛內(nèi)。鏈條是由鏈節(jié)經(jīng)過(guò)銷(xiāo)軸連接在一起的多剛體系統(tǒng)，其中，銷(xiāo)軸兩端為滾輪，滾輪的作用是與鏈輪嚙合，通過(guò)鏈輪轉(zhuǎn)動(dòng)帶動(dòng)鏈條運(yùn)動(dòng)。開(kāi)式鏈傳動(dòng)三維結(jié)構(gòu)示意圖如圖1所示。

根據(jù)三維結(jié)構(gòu)以及相對(duì)關(guān)系，可以得到開(kāi)式鏈傳動(dòng)機(jī)構(gòu)的拓?fù)潢P(guān)系如圖2所示。圖2中，虛線(xiàn)表示省略的i-2個(gè)鏈節(jié)和滾輪，圓圈表示旋轉(zhuǎn)副，三角形表示接觸。

1.3 開(kāi)式鏈傳動(dòng)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)接觸分析

鏈輪特性包括齒數(shù)nt、鏈輪原始半徑Rs和周節(jié)角α. 鏈條系統(tǒng)示意圖如圖3所示。圖3中：rs=[xs,ys]T表示鏈輪圓心在全局坐標(biāo)系的位置向量；rrc=[xrc,yrc]T表示滾輪k(k=1,…,i)在全局坐標(biāo)系OXY的位置向量；src表示從鏈輪中心到滾輪中心的向量。鏈輪坐標(biāo)系OsXsYs位于鏈輪中心，齒數(shù)從ni=1開(kāi)始按照逆時(shí)針排列，ni表示第幾個(gè)齒。為方便描述，建立齒槽局部坐標(biāo)系Osξsniηsni(ni=1,…,nt)，相對(duì)鏈輪坐標(biāo)系繞原點(diǎn)Os旋轉(zhuǎn)角度θs=(ni-1)α得到。Osξsniηsni到OsXsYs的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣為

(1)

為了計(jì)算方便，所有滾輪與鏈輪齒槽之間的接觸關(guān)系都定義在齒槽坐標(biāo)系中。當(dāng)某向量在齒槽坐標(biāo)系中表示時(shí)，任意的向量(·)表示為(·)″. 例如，從鏈輪中心到滾輪中心的向量定義為

src=rrc-rs，

(2)

表示在齒槽坐標(biāo)系下為

(3)

鏈輪齒形示意圖如圖4所示。為了減小滾輪與鏈輪齒槽嚙合過(guò)程中的嚙合沖擊，鏈輪齒槽通常由幾部分連續(xù)的曲面組成[7，9-10]。為了精確表示滾輪與鏈輪齒槽之間的接觸關(guān)系，根據(jù)某輸彈機(jī)鏈輪實(shí)際工程圖紙，將齒槽分成3個(gè)區(qū)域，分別為齒槽定位曲線(xiàn)(底部曲線(xiàn))bc、頂部過(guò)渡曲線(xiàn)ab和cd，并分別定義了圓心Obc、Oab、Ocd.ab段和cd段圓弧半徑為R1，bc段圓弧半徑為R2.

1.3.1 鏈輪齒槽與滾輪接觸的幾何關(guān)系

正常工作狀態(tài)下，滾輪與鏈輪的接觸發(fā)生在齒底部區(qū)域，即bc段圓弧。然而，在非理想受力情況下，例如滾輪與鏈輪齒槽間隙的影響以及鏈節(jié)和滾輪的振動(dòng)等影響，滾輪與鏈輪齒槽的接觸會(huì)發(fā)生在鏈輪齒槽的其他位置，即ab段和cd段圓弧。因此，為了精確計(jì)算滾輪與鏈輪齒槽之間的運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)關(guān)系，需要分別描述滾輪與不同圓弧段的接觸關(guān)系。

如圖5所示為滾輪與鏈輪齒槽定位曲線(xiàn)的接觸關(guān)系示意圖(圖中θbc表示bc段圓弧相對(duì)圓心Obc的角度)，偏心向量ebc為滾輪中心與底部圓弧中心之間的向量，表示為

ebc=src-sObc，

(4)

式中：sObc為底部圓弧中心相對(duì)鏈輪中心的矢徑。

令θ2表示ebc與-sObc之間的夾角，則

(5)

發(fā)生在底部圓弧的接觸約束條件為

(6)

若(6)式不成立，則檢測(cè)是否發(fā)生其他位置的接觸：若θ2為正數(shù)，則檢查接觸是否發(fā)生在cd段圓弧；若θ2為負(fù)數(shù)，則檢查接觸是否發(fā)生在ab段圓弧。若(6)式成立，則按照(7)式計(jì)算滾輪與鏈輪齒槽定位曲線(xiàn)之間的穿透量：

δbc=‖ebc‖-(R2-Rr)，

(7)

式中：Rr為滾輪半徑。

若同時(shí)滿(mǎn)足(6)式和δbc≥0，則滾輪與鏈輪齒槽的接觸發(fā)生在bc段圓弧，否則滾輪與鏈輪齒槽的bc段圓弧無(wú)接觸。

圖6為滾輪與鏈輪齒槽頂部過(guò)渡曲線(xiàn)的接觸關(guān)系示意圖。其中，鏈輪齒槽頂部過(guò)渡曲線(xiàn)包括ab段圓弧和cd段圓弧，因此需要對(duì)兩段圓弧分別進(jìn)行分析。

圖6中：eab和ecd分別表示ab段圓弧中心與滾輪中心的偏心向量以及cd段圓弧中心與滾輪中心的偏心向量；sOab和sOcd分別表示ab段圓弧中心和cd段圓弧中心相對(duì)鏈輪中心的矢徑。

根據(jù)不同的圓弧段，可以得到滾輪與鏈輪齒槽頂部過(guò)渡曲線(xiàn)的位置關(guān)系：

1)當(dāng)滾輪與鏈輪齒槽頂部過(guò)渡曲線(xiàn)接觸時(shí)，假設(shè)在ab段，則可得

eab=src-sOab.

(8)

令θ1表示sOaba與eab之間的夾角，其中sOaba表示Oab到點(diǎn)a的矢徑，則

(9)

(10)

發(fā)生在ab段接觸的約束條件為

(11)

式中：θab表示ab段圓弧相對(duì)圓心Oab所對(duì)應(yīng)的角度。

若滿(mǎn)足(11)式，則計(jì)算滾輪與鏈輪齒槽頂部過(guò)渡曲線(xiàn)ab段圓弧之間的穿透量為

δab=R1-(‖eab‖-Rr).

(12)

若同時(shí)滿(mǎn)足(11)式和δab≥0，則滾輪與鏈輪齒槽頂部過(guò)渡曲線(xiàn)在ab段圓弧發(fā)生接觸，否則滾輪與鏈輪齒槽頂部過(guò)渡曲線(xiàn)在ab段無(wú)接觸。

2)當(dāng)滾輪與鏈輪齒槽頂部過(guò)渡曲線(xiàn)接觸在cd段時(shí)，可以得到在cd段接觸的約束條件為

(13)

式中：θcd表示cd段圓弧相對(duì)圓心Ocd所對(duì)應(yīng)的角度。

若滿(mǎn)足(13)式，則計(jì)算滾輪與鏈輪齒槽頂部過(guò)渡曲線(xiàn)cd段圓弧之間的穿透量為

δcd=R1-(‖ecd‖-Rr).

(14)

若同時(shí)滿(mǎn)足(13)式和δcd≥0，則滾輪與鏈輪齒槽頂部過(guò)渡曲線(xiàn)在cd段發(fā)生接觸，否則滾輪與鏈輪齒槽頂部過(guò)渡曲線(xiàn)在cd段無(wú)接觸。

根據(jù)以上判斷，可以得出滾輪與鏈輪齒槽之間的接觸關(guān)系判斷流程圖如圖7所示。

1.3.2 鏈節(jié)之間的接觸

為了防止輸彈鏈條在傳動(dòng)過(guò)程中鏈節(jié)與滾輪脫離鏈輪，造成輸彈精度下降甚至輸彈不成功，該輸彈機(jī)開(kāi)式鏈傳動(dòng)系統(tǒng)的鏈節(jié)之間也會(huì)存在平面接觸約束，初始時(shí)刻鏈節(jié)在鏈盒中，當(dāng)鏈節(jié)轉(zhuǎn)過(guò)鏈輪到達(dá)鏈輪上方時(shí)，在平面約束作用下兩個(gè)鏈節(jié)的平面會(huì)發(fā)生接觸，當(dāng)兩個(gè)鏈節(jié)的上表面平行時(shí)，為接觸的臨界條件。

如圖8所示，對(duì)于相鄰的兩個(gè)鏈節(jié)Ock和Oc(k+1)，兩個(gè)坐標(biāo)軸OckYck和Oc(k+1)Zc(k+1)之間的夾角為γ，則兩個(gè)鏈節(jié)接觸的判斷條件為

(15)

圖8中：點(diǎn)P和點(diǎn)Q為鏈節(jié)接觸平面上端的點(diǎn)，rPQ為點(diǎn)P到點(diǎn)Q的矢徑；rQ為全局坐標(biāo)系原點(diǎn)到點(diǎn)Q的矢徑；rP為全局坐標(biāo)系原點(diǎn)到點(diǎn)P的矢徑。

當(dāng)發(fā)生接觸時(shí)，相鄰兩個(gè)鏈節(jié)的平面之間會(huì)產(chǎn)生穿透，當(dāng)兩個(gè)鏈節(jié)發(fā)生接觸時(shí)，接觸區(qū)域?yàn)槠矫婢匦螀^(qū)域，由于鏈節(jié)與滾輪之間為旋轉(zhuǎn)副，兩個(gè)鏈節(jié)之間的接觸必然是平面的上端先接觸，又由于旋轉(zhuǎn)角度的影響，為保證穿透量計(jì)算的合理性，取上端穿透深度的一半作為實(shí)際穿透量(見(jiàn)圖8)，則可得穿透量為

(16)

根據(jù) (16) 式可以得到穿透量的大小為

δp=‖δp‖，

(17)

進(jìn)而根據(jù)穿透量的大小和方向，即可計(jì)算鏈節(jié)之間的接觸碰撞力。

2 接觸碰撞力模型

2.1 法向接觸碰撞力模型

當(dāng)滾輪與鏈輪齒槽的圓弧表面發(fā)生接觸時(shí)，可能會(huì)產(chǎn)生碰撞，碰撞過(guò)程會(huì)伴隨著能量損失。Herts接觸模型是常用的經(jīng)典接觸模型，該模型將兩個(gè)碰撞的物體假設(shè)為完全彈性碰撞，未考慮碰撞過(guò)程的能量損失，但實(shí)際碰撞過(guò)程中，應(yīng)該考慮相對(duì)碰撞速度、物體幾何參數(shù)、物體材料屬性等因素。因此，本文采用Lankarani-Nikravesh接觸力模型，其公式[11-12]為

(18)

剛度系數(shù)K可以表示為

(19)

阻尼系數(shù)C表示為

(20)

式中：m一般取1.5；ce為恢復(fù)系數(shù)，取0.9；δi為撞擊點(diǎn)的初始相對(duì)速度。

當(dāng)鏈節(jié)之間發(fā)生接觸時(shí)，接觸模式為平面接觸，因此利用平面接觸力模型來(lái)計(jì)算鏈節(jié)之間的接觸碰撞力，接觸碰撞力[13]表示為

Fnp=Kpδp，

(21)

式中：Kp為鏈節(jié)之間平面接觸的等效剛度，其計(jì)算公式為

(22)

l、h分別為平面接觸區(qū)域矩形長(zhǎng)和寬的一半，N為矩形接觸區(qū)域長(zhǎng)寬比的系數(shù)，l、h和N取值如表1所示。

表1 矩形接觸區(qū)域長(zhǎng)寬比及其系數(shù)

2.2 摩擦力模型

由于間隙存在，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中兩個(gè)相互接觸的物體表面是粗糙的，會(huì)發(fā)生相互摩擦，而且這種摩擦力是不可忽略的，對(duì)系統(tǒng)性能也會(huì)產(chǎn)生影響。本文采用修正的Coulomb摩擦模型來(lái)計(jì)算摩擦力[11-12]，該模型能夠較準(zhǔn)確地計(jì)算兩個(gè)物體在相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)和移動(dòng)過(guò)程中的摩擦現(xiàn)象。切向摩擦力可以表示為

(23)

式中：cf為滑動(dòng)摩擦系數(shù)；vt為相對(duì)切向速度；cd為動(dòng)態(tài)修正系數(shù)，

(24)

式中：v0和v1是為計(jì)算動(dòng)態(tài)校正系數(shù)而指定的速度值。

3 某輸彈機(jī)開(kāi)式鏈動(dòng)力學(xué)方程

根據(jù)開(kāi)式鏈傳動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系、受力與約束情況，基于相對(duì)坐標(biāo)理論和虛功率原理[14]，可以建立開(kāi)式鏈傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程：

(25)

4 算例分析

以某輸彈機(jī)鏈條為研究對(duì)象，忽略其他因素的影響，只分析鏈條與鏈輪之間的耦合作用。采用4階、5階龍格-庫(kù)塔算法來(lái)解算動(dòng)力學(xué)方程。綜合考慮收斂情況和計(jì)算效率，積分步長(zhǎng)取5×10-6s. 為了分析開(kāi)式鏈傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性，取10個(gè)鏈節(jié)作為分析模型，相關(guān)參數(shù)如表2所示。

表2 開(kāi)式鏈傳動(dòng)機(jī)構(gòu)參數(shù)

4.1 鏈輪齒槽與滾輪間隙對(duì)系統(tǒng)性能的影響分析

根據(jù)鏈輪齒槽的幾何特性，在不同時(shí)刻，滾輪與鏈輪齒槽的接觸碰撞會(huì)發(fā)生在不同圓弧段，以第1個(gè)滾輪(推彈板滾輪)、第2個(gè)滾輪、第5個(gè)滾輪、第6個(gè)滾輪與鏈輪齒槽的接觸碰撞為例，分析不同時(shí)刻的接觸碰撞區(qū)域，如圖9(a)～圖9(d)所示。由圖9可知，在此工況條件下，滾輪5只與鏈輪齒槽的ab段圓弧發(fā)生接觸碰撞，滾輪1、滾輪2、滾輪6與鏈輪齒槽的ab段、bc段圓弧發(fā)生了接觸碰撞，且根據(jù)時(shí)間的不同，發(fā)生接觸碰撞的區(qū)域會(huì)發(fā)生變化，接觸剛度也就會(huì)有所不同。在第1和第2個(gè)滾輪中，ab段發(fā)生的接觸碰撞力總體比bc段的接觸碰撞力大，對(duì)開(kāi)式鏈傳動(dòng)機(jī)構(gòu)的影響較大，從而證明了詳細(xì)描述滾輪與鏈輪齒槽接觸特性的必要性。

4.2 鏈輪齒槽與滾輪間隙大小對(duì)系統(tǒng)性能的影響分析

鏈輪齒槽與滾輪之間的間隙會(huì)對(duì)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)特性產(chǎn)生影響，間隙大小變化也會(huì)改變系統(tǒng)的性能，保持鏈輪齒槽半徑不變，改變滾輪半徑，分析間隙大小對(duì)系統(tǒng)性能的影響。圖10和圖11為當(dāng)鏈輪齒槽定位曲線(xiàn)與滾輪之間的間隙g變化時(shí)，推彈板位移和速度以及鏈輪位移和速度的對(duì)比。由圖10和圖11中可以看出：間隙大小不同，推彈板位移和速度以及鏈輪位移和速度會(huì)發(fā)生變化；隨著間隙增大，推彈板位移和速度會(huì)先增大、后減小；當(dāng)間隙為0.2 mm時(shí)，推彈板速度波動(dòng)明顯較大，鏈輪速度波動(dòng)也會(huì)比較大，鏈輪位移和速度與其他間隙情況下相比也區(qū)別較大；隨著間隙增大，鏈輪位移和速度變化不是很明顯。

圖12所示為間隙大小對(duì)推彈板和鏈輪加速度的影響。由圖12可以看出：間隙變化對(duì)推彈板和鏈輪的抖動(dòng)影響較大；當(dāng)間隙為0.3 mm時(shí)，推彈板和鏈輪的抖動(dòng)相對(duì)較??；而在其他間隙條件下，推彈板和鏈輪會(huì)出現(xiàn)較大的抖動(dòng)。

5 結(jié)論

本文基于接觸碰撞理論描述了滾輪與鏈輪齒槽之間的接觸關(guān)系以及鏈節(jié)之間的接觸關(guān)系，基于Lankarani-Nikravesh法向接觸力模型和平面接觸力模型分別建立了滾輪與鏈輪齒槽之間的法向接觸力和鏈節(jié)之間的平面接觸力，基于修正的Coulomb摩擦模型建立了接觸面之間的摩擦力，基于相對(duì)坐標(biāo)理論和虛功率原理建立了開(kāi)式鏈傳動(dòng)機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)模型。得到主要結(jié)論如下：

1) 針對(duì)動(dòng)力學(xué)模型，分析了開(kāi)式鏈傳動(dòng)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)及動(dòng)力學(xué)特性。在不同時(shí)刻，滾輪與鏈輪齒槽的接觸碰撞會(huì)出現(xiàn)在不同圓弧段，而且在鏈輪齒槽頂部過(guò)渡曲線(xiàn)處產(chǎn)生的法向接觸碰撞力較大。因此，針對(duì)不同工程實(shí)際要求，需要合理設(shè)計(jì)鏈輪齒槽的形狀。

2) 討論了不同間隙對(duì)開(kāi)式鏈傳動(dòng)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)精度及動(dòng)力學(xué)特性的影響。隨著滾輪與鏈輪齒槽間隙的增大，推彈板位移和速度會(huì)先增大、后減小，加速度幅值會(huì)先增大、后減小；鏈輪角位移變化較小，鏈輪角速度和角加速度也會(huì)先增大、后減小。因此，針對(duì)不同工程實(shí)際要求，需要合理控制滾輪與鏈輪齒槽之間的間隙。

3) 本文建立的開(kāi)式鏈傳動(dòng)機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型和算例分析結(jié)果為合理設(shè)計(jì)輸彈機(jī)開(kāi)式鏈傳動(dòng)系統(tǒng)、提高輸彈精度和輸彈一致性提供了理論參考依據(jù)。