胡良梅

（江蘇省運(yùn)河高等師范學(xué)校附屬小學(xué)北校，江蘇 徐州 221000）

教材是教學(xué)內(nèi)容的重要載體，是課程標(biāo)準(zhǔn)的具體化，是教師設(shè)計(jì)課堂教學(xué)的主要依據(jù)。教材為學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提供了豐富開放的主題與素材、內(nèi)容與結(jié)構(gòu)、活動(dòng)與線索，是學(xué)生獲取數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)技能和數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)、數(shù)學(xué)思想的重要資源。一線教師研讀教材的能力，直接影響其自身專業(yè)的成長、知識(shí)傳播的效度，也直接影響著學(xué)生數(shù)學(xué)概念的理解、數(shù)學(xué)思維的發(fā)展、數(shù)學(xué)思想的感悟。因此，如何研讀教材，是具有深遠(yuǎn)意義的話題。本文試以具體課例為介，著重探討研讀教材的三重境界，以期給廣大一線教師提供深度解讀的途徑和范例。

一、從整體到局部，理清教學(xué)內(nèi)容的“序”

數(shù)學(xué)知識(shí)具有系統(tǒng)性，其知識(shí)體系存在“序”，教材編排也有一定的“序”。數(shù)學(xué)知識(shí)體系的“序”，是教材編排的一個(gè)依據(jù)，但同時(shí)，教材編排還要遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，因此，相關(guān)教學(xué)內(nèi)容是螺旋上升、分散編排的。教材編排的序，包含整套教材之序、同板塊教材之序、本單元教材之序，還有本課時(shí)活動(dòng)線索之序。從整體—局部，從宏觀—中觀—微觀，系統(tǒng)研讀教學(xué)內(nèi)容的“序”，有助于理清教材編排思路，高瞻遠(yuǎn)矚，科學(xué)組織教學(xué)活動(dòng)。

1.研讀整套教材，明晰階段教學(xué)的要求

“圖形的認(rèn)識(shí)”是“圖形與幾何”學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，是其重要組成部分。以“圓的認(rèn)識(shí)”研讀為例，蘇教版教材分為兩段進(jìn)行編排：第一段是在一年級(jí)下冊，“直觀認(rèn)識(shí)長方形、正方形、三角形和圓”；第二段是在五年級(jí)下冊“探索圓的特征，直觀認(rèn)識(shí)扇形”。

一年級(jí)下冊的“直觀認(rèn)識(shí)圓”，通過從“體”分離出“形”的活動(dòng)，安排學(xué)生照樣子畫一畫、比一比，找一找、辨一辨，圍一圍、拼一拼，初步感受圓和長方形、正方形、三角形有明顯的不同，體會(huì)圓的邊是“彎”的，另外三個(gè)圖形的邊是“直”的。

五年級(jí)下冊“圓的認(rèn)識(shí)”，通過用線繩、圓規(guī)等不同方式畫圓的活動(dòng)，借助操作、觀察、比較、想象、推理，深入探索圓的特征，認(rèn)識(shí)圓心、半徑和直徑，體會(huì)圓上的任意一點(diǎn)，到圓心的距離是相等的，真正建立圓的概念。

2.研讀單元編排，明確教學(xué)內(nèi)容的節(jié)點(diǎn)

一個(gè)單元是由若干道例題組成的，這些例題按照一定的邏輯順序組成學(xué)生認(rèn)知發(fā)展的序列。整體把握單元編排的“序”，突出重點(diǎn)，分散難點(diǎn)，才能瞻前顧后，提高效率。《圓》單元共編排十一道例題，包含圓的特征、周長和面積。其主要內(nèi)容及其前后聯(lián)系見表1。[1]

圓是小學(xué)數(shù)學(xué)的唯一曲線圖形，也是小學(xué)最后學(xué)習(xí)的平面圖形。圓的認(rèn)識(shí)是本單元的起始課，是重點(diǎn)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)知識(shí)。本單元共安排11課時(shí)，圓的認(rèn)識(shí)是3課時(shí)，第一課時(shí)教學(xué)例題1和例題2，例題后的“練一練”以及練習(xí)十三第1—3題。通常，每一課時(shí)的內(nèi)容包括例題和隨后的“練一練”，以及練習(xí)編排的相關(guān)題目，一般以“練一練”作為切分課時(shí)的節(jié)點(diǎn)。

3.研讀課時(shí)內(nèi)容，理清教學(xué)活動(dòng)的線索

教材不是直接呈現(xiàn)靜態(tài)的數(shù)學(xué)結(jié)論，而是引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的產(chǎn)生、發(fā)展與形成的過程。也就是說，指向一個(gè)個(gè)具體知識(shí)的數(shù)學(xué)活動(dòng)是教材的重要組成部分，可以說，教材是教師“教路”與學(xué)生“學(xué)路”的有機(jī)統(tǒng)一。研讀課時(shí)內(nèi)容的線索呈現(xiàn)，能幫助教師研判教學(xué)重難點(diǎn)，有效安排教學(xué)活動(dòng)。圓的認(rèn)識(shí)這節(jié)課包含的知識(shí)點(diǎn)比較多，這些知識(shí)點(diǎn)之間存在著怎樣的活動(dòng)順序呢？

例1安排了兩個(gè)層次的學(xué)習(xí)活動(dòng)。

第一層次，讓學(xué)生從靜態(tài)和動(dòng)態(tài)兩個(gè)層面充分感知圖。

（1）觀察日常生活中常見的幾個(gè)圓形物體，激活學(xué)生已有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，初步抽象出圓的圖形（靜態(tài)的圓）；

（2）比一比，初步體會(huì)圓與多邊形的異同；

（3）自主畫圓，初步感知圓的基本特征（動(dòng)態(tài)的圓）。

第二層次，結(jié)合學(xué)生嘗試用圓規(guī)畫圓的過程，分別介紹圓的圓心、半徑和直徑，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)圓。

（1）試著用圓規(guī)畫圓，在交流中明確用圓規(guī)畫圓時(shí)需要注意的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。

（2）借助畫圖的體會(huì)，理解圓心、半徑和直徑這幾個(gè)概念，并用字母在圖形上做具體的標(biāo)注。

（3）在自己所畫的圓上標(biāo)出圓心，畫出一條半徑和直徑，并分別用字母表示。

例2引導(dǎo)學(xué)生在操作活動(dòng)中探索并發(fā)現(xiàn)圓的一些主要特征。

（1）教材首先給出了研究的方法和途徑：任意畫一個(gè)圓，折一折、畫一畫、比一比。

（2）交流明確圓的本質(zhì)特征：同一個(gè)圓里所有的半徑都相等，所有的直徑都相等，直徑長度是半徑的2倍。圓是軸對稱圖形。

以上是對例題活動(dòng)線索的初步研讀，此外，還有練習(xí)題編排意圖的理解，這里不再贅述。

從“整套教材”到“一個(gè)單元”再到“一課內(nèi)容”，是一個(gè)從整體到局部的研讀過程，這個(gè)過程離不開《教師教學(xué)用書》的系統(tǒng)研讀。“序”的研讀，可以準(zhǔn)確把握本課學(xué)習(xí)在知識(shí)技能方面的階段性具體目標(biāo)。

二、由定義到本質(zhì)，關(guān)注教學(xué)內(nèi)容的“根”

理解某一個(gè)數(shù)學(xué)概念，不能簡單地局限于概念的文字表述，應(yīng)通過專業(yè)化解讀，回歸本體，深入把握概念的數(shù)學(xué)意義。也就是說，一個(gè)概念的學(xué)習(xí)，最終目的不是為了記住定義，甚至把定義背得爛熟于心，而是要理解這個(gè)概念的本質(zhì)。數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，不僅指向明確的教學(xué)內(nèi)容，知道“是什么”，還要指向知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，思考“為什么”。不同的認(rèn)知過程會(huì)形成不同的理解水平，若是單純教學(xué)“定義”，其認(rèn)知過程主要是模仿、記憶、強(qiáng)化，只能達(dá)成“工具性理解”；若是突出數(shù)學(xué)知識(shí)之間的本質(zhì)聯(lián)系，其認(rèn)知過程則重在經(jīng)歷、感知、體驗(yàn)，就會(huì)形成“關(guān)系性理解”[2]。以“圓的認(rèn)識(shí)”為例，學(xué)生在上課之前對圓的“直觀認(rèn)識(shí)”與“會(huì)用圓規(guī)畫圓”，還只是工具性理解，通過進(jìn)一步研讀“是什么—為什么—有何用”，引導(dǎo)學(xué)生達(dá)成關(guān)系性理解，后期學(xué)生才能創(chuàng)造性地應(yīng)用知識(shí)。

表1 “圓”的相關(guān)內(nèi)容

1.詢問本體“是什么”

幾何圖形的定義一般有三種形態(tài)：（1）點(diǎn)、線、面、體的組合；（2）點(diǎn)的集合；（3）運(yùn)動(dòng)的軌跡。分析圓的定義，理解圓的本質(zhì)，可從以上三個(gè)方面入手，確定“圓是什么”。圓的幾何學(xué)定義，在中學(xué)使用的是“集合”“軌跡”，即“圓是到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合”，“圓是線段OA繞著它的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)軌跡”。在小學(xué)沒有“集合”“軌跡”等名詞，也沒有界定“什么是圓”，只是涉及圓的直觀表象。其實(shí)，依據(jù)小學(xué)生畫圓的動(dòng)態(tài)過程，可以給出如下定義：讓線段OA繞著它的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，我們把另一個(gè)端點(diǎn)A所畫出的曲線叫作圓，點(diǎn)O稱為圓心，OA稱為半徑。[3]這樣的定義只用了“線段”“旋轉(zhuǎn)”等術(shù)語，小學(xué)生完全能夠接受。這個(gè)定義明確指明了圓的本體是一條曲線，是一維圖形，具有周長。

2.叩問本源“為什么”

定義只能解釋這個(gè)概念“是什么”，不能解釋“為什么”。而“為什么”恰恰揭示了數(shù)學(xué)知識(shí)的創(chuàng)造過程及知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系。記住定義并不重要，重要的是理解概念的本源意義。學(xué)習(xí)“圓的認(rèn)識(shí)”，從課前準(zhǔn)備圓規(guī)開始，學(xué)生就已經(jīng)在旋轉(zhuǎn)把玩圓規(guī)，就知道用圓規(guī)可以畫出一個(gè)圓。但是“為什么用圓規(guī)就能畫出一個(gè)圓？”學(xué)生不知道。這樣的叩問，可以直指圓的本源意義“到定點(diǎn)的距離等于定長”：圓規(guī)固定的一只腳相當(dāng)于定點(diǎn)，圓規(guī)兩腳間的距離相當(dāng)于定長，圍繞定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周，定點(diǎn)不動(dòng)，定長不變，所以畫出來的才是圓?！叭绾卧诨@球場上畫一個(gè)更大的圓？”“還可以怎樣畫一個(gè)任意大小的圓？”這樣的叩問，可讓學(xué)生感悟畫圓不在于是否必須用“規(guī)”，在于必須滿足“定點(diǎn)、定長”這一圓的核心本質(zhì)?！败囕啚槭裁匆龀蓤A形的？”等生活問題的進(jìn)一步思考，則可再次凸顯圓的本源意義：因?yàn)閳A的所有半徑都相等，即“一中同長”，所以圓形車輪車軸的運(yùn)動(dòng)軌跡始終在一條水平線上，不會(huì)顛簸，平穩(wěn)舒適。

在幾何學(xué)中，圓的概念，我國古代很早就有了研究。早在2400多年以前，我國春秋戰(zhàn)國時(shí)期的數(shù)學(xué)家墨翟在他所著的《墨子》一書中寫道：“圓，一中同長也?！闭f的是：“圓，有且只有一個(gè)中心，圓上各點(diǎn)到圓心的距離都相等?！薄耙恢型L”是圓的本源意義，圓心、半徑、直徑及其特征等知識(shí)點(diǎn)都是由此衍生。

3.追問價(jià)值“有何用”

數(shù)學(xué)知識(shí)體系一直在發(fā)展，相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)浩瀚無邊，為什么偏偏是這些數(shù)學(xué)概念和方法，一直需要兒童學(xué)習(xí)？沒有這個(gè)概念和方法會(huì)怎樣？立足宏大的視野，常常從知識(shí)價(jià)值的角度去追問，才能直抵知識(shí)的核心，把握知識(shí)豐富的價(jià)值意蘊(yùn)。[4]為什么要研究圓？為了更好地認(rèn)識(shí)、理解我們賴以生存的空間，也是為了后續(xù)的深入學(xué)習(xí)。我們每天居住、生活、工作的空間都離不開直觀圖形，圓更是隨處可見，如我們生存的地球是圓球形的，還有水面上漾起的波紋、大自然盛開的鮮花、人類智慧的圖案設(shè)計(jì)和建筑造型等，在一切平面圖形中，圓是最美的。圓的學(xué)習(xí)，是數(shù)學(xué)知識(shí)體系中的重要一環(huán)，是曲線平面圖形學(xué)習(xí)的發(fā)端，是后期學(xué)習(xí)平面幾何、立體幾何、解析幾何的必備基礎(chǔ)。當(dāng)然，圓的學(xué)習(xí)過程中還蘊(yùn)含著獨(dú)特的數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)思想的價(jià)值。一句話，圓的知識(shí)自然、簡單而且必要，具有不可替代的意義！

“根”的研讀，是深刻理解概念的發(fā)生、發(fā)展過程，是彰顯概念存在的合理性和必要性。透徹理解、精準(zhǔn)把握、尋得根基，才能達(dá)成“用教材教”的境界，才能創(chuàng)造性地組織學(xué)習(xí)活動(dòng)。

三、從知識(shí)到思想，關(guān)注教學(xué)內(nèi)容的“魂”

基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能是教材編寫的“明線”，而蘊(yùn)藏在這些知識(shí)內(nèi)容中的思維方法、數(shù)學(xué)思想，則是教材編寫的“暗線”，是數(shù)學(xué)學(xué)科之魂。數(shù)學(xué)思想是對數(shù)學(xué)學(xué)科的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，是數(shù)學(xué)內(nèi)容邏輯架構(gòu)的主線。學(xué)習(xí)一門學(xué)科就是學(xué)習(xí)領(lǐng)悟這門學(xué)科的思想方法。數(shù)學(xué)思想具有層次性，抽象、推理和建模，是數(shù)學(xué)學(xué)科三個(gè)高層次的基本思想，由這三個(gè)基本思想又可派生出許多低層次的數(shù)學(xué)思想[5]，因此，研讀數(shù)學(xué)內(nèi)容蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，可從這三個(gè)基本思想入手進(jìn)行細(xì)細(xì)研究。《圓》這個(gè)單元蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法有哪些呢？

1.抽象思想

數(shù)學(xué)研究的數(shù)量和圖形都是抽象的內(nèi)容，抽象思想在數(shù)學(xué)中無處不在，數(shù)學(xué)學(xué)科的建立依賴于抽象。符號(hào)化、分類、集合、對應(yīng)、變中不變等都是與抽象有關(guān)的數(shù)學(xué)思想。[6]《圓》這個(gè)單元的學(xué)習(xí)，可滲透符號(hào)化、有限與無限等思想，如圓心、半徑、直徑、圓周率，分別用字母“O、r、d、π”表示，這些符號(hào)不僅具有明確的含義，還能參加數(shù)學(xué)運(yùn)算和推理證明，具有抽象概括、簡明精確的特點(diǎn)。圓的周長C=πd=2πr,面積公式S=πr2，這兩個(gè)公式的探索和歸納過程，本身就是一個(gè)符號(hào)化和模型化的過程。圓的面積，只要確定半徑，無論它的半徑有多大，它的面積總是有限的，把有限的面積分成無限個(gè)全等的扇形，轉(zhuǎn)化成長方形來計(jì)算面積，這是將有限問題轉(zhuǎn)化成無限來解決，可滲透有限與無限思想，體現(xiàn)對立統(tǒng)一的辯證關(guān)系。

2.推理思想

數(shù)學(xué)學(xué)科的發(fā)展離不開推理，推理分為兩種形式：演繹推理和合情推理。合情推理的常用形式有：歸納推理和類比推理。此外，轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、幾何變換、極限等也都與推理有關(guān)。[7]《圓》這個(gè)單元的學(xué)習(xí)，可滲透歸納、轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、極限等思想。如圓周率的探索，采用的是歸納法：通過計(jì)算幾個(gè)大小不同的圓的周長與相應(yīng)的直徑的比值，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，歸納圓周率?！耙詳?shù)解形”，探索圓周率、圓的周長等知識(shí)，從量化的角度研究圓，借助于數(shù)的精確性和可操作性深入認(rèn)識(shí)圓的性質(zhì)，是數(shù)形結(jié)合思想的滲透。把圓分成無窮小的無窮多個(gè)小扇形，無限逼近長方形，通過取極限得到面積，這個(gè)推導(dǎo)過程，同時(shí)蘊(yùn)含了轉(zhuǎn)化思想和極限思想，即“無限分割、化曲為直”對后續(xù)學(xué)習(xí)最具有價(jià)值，應(yīng)重點(diǎn)孕伏。

3.模型思想

模型思想是通過數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化解決問題，更加注重建模和應(yīng)用的過程。方程、函數(shù)、優(yōu)化、統(tǒng)計(jì)等都是與模型有關(guān)的數(shù)學(xué)思想。[8]《圓》這個(gè)單元的學(xué)習(xí)，可滲透模型、函數(shù)等思想。如探索、理解圓的周長C=πd=2πr,面積S=πr2這兩個(gè)模型，并能夠運(yùn)用這些模型解決問題，就是模型思想的滲透。再如圓的半徑若發(fā)生變化，圓的周長和面積也會(huì)隨著它的變化而變化，且兩個(gè)變量之間存在著一定的對應(yīng)法則，這就是函數(shù)研究的對應(yīng)關(guān)系。

抽象，得到數(shù)學(xué)概念；推理，助推數(shù)學(xué)發(fā)展；模型，促進(jìn)數(shù)學(xué)應(yīng)用。數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)思想相互依存，但思想總是蘊(yùn)涵在知識(shí)形成的過程中，教師需要用心挖掘數(shù)學(xué)知識(shí)之“魂”，才能提煉概括出隱藏的思想價(jià)值。還有一點(diǎn)需要注意的是，各種數(shù)學(xué)思想之間具有密切聯(lián)系性和交叉性，因此，不必拘泥于形式，應(yīng)重點(diǎn)指導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)思想的魅力，為學(xué)生的思維發(fā)展和終身學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。

教材研讀是打造高效課堂的基礎(chǔ)性工程。深度研讀教材，把握教學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)，是組織教學(xué)活動(dòng)的根本。當(dāng)然，有效的課堂教學(xué)還離不開研究學(xué)生的知識(shí)基礎(chǔ)和生活經(jīng)驗(yàn)，研究學(xué)生的思維現(xiàn)實(shí)和學(xué)習(xí)規(guī)律。希冀廣大一線教師，可從認(rèn)真閱讀教本和教師教學(xué)用書入手，先厘清教材的“序”，再閱讀教育教學(xué)刊物和教育專著，結(jié)合思考尋得“根”與“魂”，努力達(dá)到思維通透、運(yùn)籌帷幄的境界?！?/p>