河北 陳寶友(特級(jí)教師)

圖象在中學(xué)物理中應(yīng)用廣泛，是分析物理問題的有效手段之一。物理圖象蘊(yùn)含的信息，主要體現(xiàn)在圖象的坐標(biāo)原點(diǎn)、縱橫坐標(biāo)軸、截距、斜率、所圍面積、圖象交點(diǎn)等方面的物理意義，其實(shí)掌握?qǐng)D象的上述特點(diǎn)，理解其斜率、截距、面積對(duì)應(yīng)的物理意義，就能順利解決有關(guān)問題。一般關(guān)于電場中的圖象問題，主要表現(xiàn)在如下幾種情況，我們分別進(jìn)行討論。

一、電場線圖和等勢面圖

電場線和等勢面有如下特點(diǎn)：等勢線和電場線互相垂直；等勢線密的部分電場強(qiáng)度大；電勢沿著電場線越來越低。當(dāng)帶電粒子只在電場力作用下運(yùn)動(dòng)時(shí)，如果給出了粒子運(yùn)動(dòng)的速度圖象，則從速度圖象上能確定粒子運(yùn)動(dòng)的加速度方向，加速度大小變化情況，進(jìn)而可將粒子運(yùn)動(dòng)中經(jīng)歷的各點(diǎn)的場強(qiáng)方向、場強(qiáng)大小、電勢高低及電勢能的變化等情況判定出來。

【例1】如圖1所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)，固定有A、B、C、D四個(gè)帶電荷量均為Q的點(diǎn)電荷，它們關(guān)于兩坐標(biāo)軸對(duì)稱，其中A、B帶正電，C、D帶負(fù)電，它們產(chǎn)生電場的等勢面如圖1中虛線所示，坐標(biāo)軸上abcd是圖中正方形的四個(gè)頂點(diǎn)，則

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圖1

A.將電子沿路徑a→b→c移動(dòng)，電場力先做負(fù)功，后做正功

B.將電子沿路徑a→O→c移動(dòng)，電場力做正功

C.b、d兩點(diǎn)場強(qiáng)相同，電勢不相等

D.b、d兩點(diǎn)電勢相等，場強(qiáng)不相等

【解析】將電子沿路徑a→b→c移動(dòng)，電場力先做正功，后做負(fù)功，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；電子沿路徑a→O→c移動(dòng)，電場力不做功，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；根據(jù)對(duì)稱性可知b、d兩點(diǎn)場強(qiáng)大小相等，方向相同，則場強(qiáng)相同，b、d兩點(diǎn)電場線由b指向d，故b點(diǎn)電勢高于d點(diǎn)電勢，選項(xiàng)C正確，選項(xiàng)D錯(cuò)誤。故本題選C。

【變式】如圖2所示，實(shí)線為電視機(jī)顯像管聚焦電場中的等勢面。a、b、c、d為圓上的四個(gè)點(diǎn)，則下列說法中正確的是

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圖2

A.a、b、c、d四點(diǎn)電勢不等，但電場強(qiáng)度相同

B.一電子從b點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到c點(diǎn)，電場力做的功為0.8 eV

C.若一電子從左側(cè)沿中心軸線穿越電場區(qū)域，將做加速度先減小后增加的直線運(yùn)動(dòng)

D.一束電子從左側(cè)平行于中心軸線進(jìn)入電場區(qū)域，將會(huì)從右側(cè)平行于中心軸線穿出

【解析】根據(jù)題意，a、b兩點(diǎn)電勢相等，c、d兩點(diǎn)電勢相等，由等勢面與電場線垂直的關(guān)系及電場強(qiáng)度方向與該點(diǎn)的切線方向一致，則它們的電場強(qiáng)度方向不同，故A錯(cuò)誤；電子從b點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到c點(diǎn)，電勢差Ubc=φb-φc=0.1 V-0.9 V=-0.8 V，而電子帶負(fù)電，則電場力做功為0.8 eV，故B正確；若電子從左側(cè)沿中心軸線穿越電場區(qū)域，根據(jù)等勢面疏密程度，可知電場線的疏密程度，從而可確定電場力先增大后減小，所以加速度先增大后減小，故C錯(cuò)誤；當(dāng)一束電子從左側(cè)平行于中心軸線進(jìn)入電場區(qū)域，根據(jù)曲線運(yùn)動(dòng)條件運(yùn)動(dòng)軌跡向合力方向偏，因此只有在中心軸線的電子沿直線運(yùn)動(dòng)，從右側(cè)平行于中心軸線穿出，其余做曲線運(yùn)動(dòng)并向中心軸線匯聚，故D正確，本題正確答案為BD。

二、電場中粒子運(yùn)動(dòng)的v - t圖象

根據(jù)v-t圖象的速度變化、斜率變化(即加速度大小的變化),確定電荷所受電場力的方向與電場力的大小變化情況,進(jìn)而確定電場的方向、電勢的高低及電勢能的變化。

【例2】一帶正電的試探電荷，僅在電場力作用下沿x軸從x=-∞向x=+∞運(yùn)動(dòng)，其速度v隨位置x變化的圖象如圖3所示。在x=x1和x=-x1處，圖象切線的斜率絕對(duì)值相等且最大。則在x軸上

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圖3

A.x=x1和x=-x1兩處，電場強(qiáng)度相同

B.x=x1和x=-x1兩處，電場強(qiáng)度最大

C.x=0處電勢最低

D.從x=x1運(yùn)動(dòng)到x=+∞過程中，電荷的電勢能逐漸減小

【解析】本題可以根據(jù)速度的變化，判斷電荷所受的電場力方向，確定電場線的方向。同時(shí)根據(jù)速度圖象的斜率決定電場強(qiáng)度大小，分析加速度，由牛頓第二定律分析電場強(qiáng)度。最后根據(jù)電場力做功的正負(fù)，分析電勢能如何變化。

由題可知，帶正電的試探電荷僅在電場力作用下沿x軸從x=-∞向x=+∞運(yùn)動(dòng)，速度先減小后增大，所受的電場力先沿-x軸方向，后沿+x軸方向，電場線方向先沿-x軸方向，后沿+x軸方向，則知x=x1和x=-x1兩處，電場強(qiáng)度的方向相反，電場強(qiáng)度不同，故A錯(cuò)誤。

由v-t圖象的斜率決定電場強(qiáng)度的大小，x=x1和x=-x1,兩處斜率最大，則電荷的電場強(qiáng)度最大，故B正確。

由以上分析可知，電場線方向先沿-x軸方向，后沿+x軸方向，根據(jù)順著電場線方向電勢降低可知，電勢先升高后降低，則x=0處電勢最大，故C錯(cuò)誤。

從x=x1運(yùn)動(dòng)到x=+∞過程中，電場力沿+x軸方向，則電場力做正功，電荷的電勢能逐漸減小，故D正確。

【變式】如圖4，直線MN表示某電場中一條電場線，a、b是線上的兩點(diǎn)，將一帶負(fù)電荷的粒子從a點(diǎn)處由靜止釋放，粒子從a運(yùn)動(dòng)到b過程中的v-t圖象如圖5所示，設(shè)a、b兩點(diǎn)的電勢分別為φa、φb，場強(qiáng)大小分別為Ea、Eb，粒子在a、b兩點(diǎn)的電勢能分別為Epa、Epb，不計(jì)重力，則有

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圖4 圖5

A．φa>φbB．Ea>Eb

C.EaEpb

【解析】由圖5可知，粒子做加速度減小，速度增大的加速運(yùn)動(dòng)，故可知從a到b電場強(qiáng)度減小，粒子動(dòng)能增大，電勢能減小，電場力方向由a指向b，電場線方向由b指向a，b點(diǎn)電勢高于a點(diǎn)電勢，故正確答案為BD。

三、電場中的E - x圖象問題

E-x圖象反映電場強(qiáng)度隨位移變化的規(guī)律：E>0表示場強(qiáng)沿x軸正方向，E<0表示場強(qiáng)沿x軸負(fù)方向；圖線與x軸圍成的“面積”表示電勢差，“面積”大小表示電勢差大小，兩點(diǎn)的電勢高低根據(jù)電場方向判定。在與粒子運(yùn)動(dòng)相結(jié)合的題目中，可進(jìn)一步確定粒子的電性、動(dòng)能變化、電勢能變化等情況。

為了幫助大家能夠定性了解電場中的E-x圖象問題，我們不妨以等量正電荷中垂線上的各點(diǎn)的場強(qiáng)為例來看，顯然兩個(gè)點(diǎn)電荷連線的中點(diǎn)場強(qiáng)為0，而無窮遠(yuǎn)處場強(qiáng)也為0，但是中垂線上的各點(diǎn)的場強(qiáng)并不都為0，在其中某點(diǎn)場強(qiáng)出現(xiàn)了最大值，因此其電場的E-x圖象即為如圖6所示。從圖象可以看出，x2點(diǎn)的場強(qiáng)最大，x1和-x1處場強(qiáng)等大反向，故O點(diǎn)的電勢最高；由于x1和-x1兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，且電場強(qiáng)度的大小也相等，故從O點(diǎn)到x1和從O點(diǎn)到-x1電勢降落相等，故x1和-x1兩點(diǎn)的電勢相等；x1和x3兩點(diǎn)的電場強(qiáng)度相等，但是x1和x3這段圖線與x軸所圍成的“面積”大于0，故x1點(diǎn)的電勢比x3點(diǎn)要高。

圖6

此類問題的關(guān)鍵在于沿著電場強(qiáng)度的方向，電勢一定降低；然后結(jié)合圖象得到電場強(qiáng)度的分布情況，再分析電勢變化情況即可解決。

【例3】靜電場在x軸上的場強(qiáng)E隨x的變化關(guān)系如圖7所示，x軸正向?yàn)閳鰪?qiáng)正方向，帶正電的點(diǎn)電荷沿x軸運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)電荷

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圖7

A.在x2和x4處電勢能相等

B.由x1運(yùn)動(dòng)到x3的過程中電勢能增大

C.由x1運(yùn)動(dòng)到x4的過程中電場力先增大后減小

D.由x1運(yùn)動(dòng)到x4的過程中電場力先減小后增大

【解析】由圖象可知，將正電荷沿x軸正向移動(dòng)，電場力沿x軸負(fù)方向，從x2移動(dòng)到x4的過程電場力做功不為零，兩點(diǎn)電勢能不相等，A項(xiàng)錯(cuò)誤；從x1移動(dòng)到x3的過程電場力沿x軸負(fù)方向，電場力做負(fù)功，電勢能增大，B項(xiàng)正確；從x1到x4的過程場強(qiáng)先增大后減小，所以電場力先增大后減小，C項(xiàng)正確；D項(xiàng)錯(cuò)誤。本題正確答案為BC。

【變式】如圖8所示，真空中有一半徑為R、帶電荷量為+Q的均勻帶電球體，以球心為坐標(biāo)原點(diǎn)，沿半徑方向建立x軸。理論分析表明，x軸上各點(diǎn)的場強(qiáng)隨x變化關(guān)系如圖9所示(場強(qiáng)為正值表示方向沿x軸正方向)，則下列說法正確的是

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圖8

B．球內(nèi)部的電場為勻強(qiáng)電場

C．x1、x2兩點(diǎn)處的電勢相同

D．假設(shè)將一帶正電的試探電荷沿x軸移動(dòng)，則從x1移動(dòng)到x2的過程中，電勢能先減小后增大

圖9

四、電場中的φ - x圖象

【例4】空間某一靜電場的電勢φ在x軸上分布如圖10所示，x軸上兩點(diǎn)B、C的電場強(qiáng)度在x方向上的分量分別是EBx、ECx。下列說法正確的是

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圖10

A．EBx的大小大于ECx的大小

B．EBx的方向沿x軸正方向

C．電荷在O點(diǎn)受到的電場力在x軸方向上的分量最大

D．負(fù)電荷沿x軸從B移到C的過程中，電場力先做正功，后做負(fù)功

【解析】在φ-x圖象中，圖線斜率表示場強(qiáng)大小。結(jié)合題中圖象特點(diǎn)可知EBx>ECx，EOx=0，故A項(xiàng)正確，C錯(cuò)誤；根據(jù)電場中沿著電場線的方向電勢逐漸降低可知EBx沿x軸負(fù)方向，B項(xiàng)錯(cuò)誤；負(fù)電荷在正x軸上受電場力沿x軸負(fù)方向，在負(fù)x軸上受電場力沿x軸正方向，故可判斷負(fù)電荷從B移到C的過程中，電場力先做正功后做負(fù)功，D項(xiàng)正確。本題正確答案為AD。

【例5】兩電荷量分別為q1和q2的點(diǎn)電荷放在x軸上的O、M兩點(diǎn)，兩電荷連線上各點(diǎn)電勢φ隨x變化的關(guān)系如圖11所示，其中A、N兩點(diǎn)的電勢為零，ND段中C點(diǎn)電勢最高，則

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圖11

A．C點(diǎn)的電場強(qiáng)度大小為零

B．A點(diǎn)的電場強(qiáng)度大小為零

C．NC間場強(qiáng)方向向x軸正方向

D．將一負(fù)點(diǎn)電荷從N點(diǎn)移到D點(diǎn)，電場力先做正功后做負(fù)功

【解析】在勻強(qiáng)電場中，場強(qiáng)與電勢存在關(guān)系，那么根據(jù)各點(diǎn)的電勢φ隨x變化的關(guān)系容易判斷其斜率反映的是場強(qiáng)的大小，而C點(diǎn)斜率為0，顯然C點(diǎn)的電場強(qiáng)度大小為零，即選項(xiàng)A正確，而選項(xiàng)B錯(cuò)誤。由圖線可以看出，NC間電勢隨x的增加而增加，根據(jù)場強(qiáng)的方向就是電場線的方向，則NC間場強(qiáng)方向應(yīng)該向x軸負(fù)方向，即選項(xiàng)C錯(cuò)誤。進(jìn)一步觀察可以發(fā)現(xiàn)，從N點(diǎn)到D點(diǎn)，電勢先升高后降低，故將一負(fù)點(diǎn)電荷從N點(diǎn)移到D點(diǎn)，電場力先做正功后做負(fù)功，選項(xiàng)D正確，本題正確答案為AD。

電場中場強(qiáng)與電勢的關(guān)系是電場中的重要知識(shí)點(diǎn)，學(xué)生往往對(duì)勻強(qiáng)電場比較熟悉，而對(duì)本題中的非勻強(qiáng)電場比較陌生，尤其是有許多學(xué)生到現(xiàn)在一直認(rèn)為場強(qiáng)大，電勢就高，反之亦然，而實(shí)際上這是絕對(duì)錯(cuò)誤的！場強(qiáng)反映的是電勢變化的快慢，場強(qiáng)的方向就是電勢降落最快的方向，即沿著電場線方向電勢是降低的，但是本題萬萬不能去看圖象的斜率，那樣極易誤選C選項(xiàng)。

【變式】一靜電場沿x坐標(biāo)軸方向的電勢分布如圖12所示，則

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圖12

A．在x1～x2之間存在著沿x軸正方向的勻強(qiáng)電場

B．在x1～x2之間存在著沿x軸正方向逐漸增強(qiáng)的電場

C．在x1～x2之間沿x軸方向電場強(qiáng)度為零

D．在x1～x2之間存在著沿x軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場

【解析】根據(jù)圖象可知，圖象的斜率表示電場強(qiáng)度的大小，因此在x1～x2之間，斜率不變，所以電場強(qiáng)度大小不變，再根據(jù)沿著電場線的方向，電勢降低，則在x1～x2之間電場強(qiáng)度的方向與x軸負(fù)方向相同，故D正確，ABC錯(cuò)誤；故選D。

(1)固定在A處電荷的電荷量QA；

(2)為了使小物塊能夠到達(dá)x=2L處，試討論小物塊與水平面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ所滿足的條件；

(4)試畫出μ取值不同的情況下，物塊在AB之間運(yùn)動(dòng)大致的速度—時(shí)間關(guān)系圖象。

圖13 圖14

【解析】(1)由圖14得，x=L點(diǎn)為圖線的最低點(diǎn)，切線斜率為零，即合場強(qiáng)E合=0

解出QA=4Q。

(2)物塊先做加速運(yùn)動(dòng)再做減速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)x=2L處速度vt≥0

從x=-2L到x=2L過程中，由動(dòng)能定理得

(3)小物塊運(yùn)動(dòng)速度最大時(shí)，電場力與摩擦力的合力為零，設(shè)該位置離A點(diǎn)的距離為lA，則

解得lA=3L，即小物塊運(yùn)動(dòng)到x=0時(shí)速度最大。

(4)物塊在AB之間運(yùn)動(dòng)大致的速度—時(shí)間關(guān)系圖象可能為

【變式】靜電場方向平行于x軸，其電勢φ隨x的分布如圖15所示，圖中φ0和d為已知量。一個(gè)帶負(fù)電的粒子在電場中以x=0為中心、沿x軸方向做周期性運(yùn)動(dòng)。已知該粒子質(zhì)量為m、電荷量為-q，其動(dòng)能與電勢能之和為-E(0

圖15

(1)粒子所受電場力的大??；

(2)粒子離中心的最大距離；

(3)粒子的運(yùn)動(dòng)周期。

五、電場中的Ep - x圖象

由于Ep=qφ，實(shí)際上電場中的Ep-x圖象與φ-x圖象類似，只是需要特別注意電荷的正負(fù)。此類問題往往以圖象的形式考查靜電場的場強(qiáng)、電勢、電勢能等相關(guān)知識(shí)；解決問題的關(guān)鍵仍然需要分析圖象斜率的物理意義，判斷電勢和場強(qiáng)的變化，再根據(jù)力學(xué)基本規(guī)律牛頓第二定律進(jìn)行分析電荷的運(yùn)動(dòng)情況。

【例7】一帶電粒子在電場中僅受靜電力作用，做初速度為零的直線運(yùn)動(dòng)。取該直線為x軸，起始點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，其電勢能Ep與位移x的關(guān)系如圖16所示，下列圖象中合理的是

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圖16

A.電場強(qiáng)度與位移關(guān)系 B.粒子動(dòng)能與位移關(guān)系

C.粒子速度與位移關(guān)系 D.粒子加速度與位移關(guān)系

【解析】由Ep-x圖象可知，帶電粒子在電場中運(yùn)動(dòng)時(shí)，其電勢能的變化規(guī)律是非線性的。帶電粒子的電勢能不是均勻變化的，故電場力不能為恒力，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；帶電粒子僅受靜電力作用，故電勢能和動(dòng)能相互轉(zhuǎn)化，電勢能的減少量等于動(dòng)能的增加量，即動(dòng)能增加得越來越慢，故選項(xiàng)BC錯(cuò)誤；由于靜電力不是恒力，加速度a應(yīng)該越來越小，選項(xiàng)D正確。

【例8】一帶負(fù)電的粒子只在電場力作用下沿x軸正向運(yùn)動(dòng)，其電勢能Ep隨位移x變化的關(guān)系如圖17所示，其中O～x2段是對(duì)稱的曲線，x2～x3段是直線，則下列說法正確的是

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圖17

A．x1處電場強(qiáng)度為零

B．x2～x3段是勻強(qiáng)電場

C．x1、x2、x3處電勢φ1、φ2、φ3的關(guān)系為φ1>φ2>φ3

D．粒子在O～x2段做勻變速運(yùn)動(dòng)，x2～x3段做勻速直線運(yùn)動(dòng)

【解析】因?yàn)閺腛～x1負(fù)電荷電勢能減小，故電勢升高，電場線由x1指向O點(diǎn)，同理在x1到x3區(qū)域電場線由x1指向x3，可知x1處電場強(qiáng)度為零，選項(xiàng)A正確；x2～x3段斜率不變，場強(qiáng)不變，即電場強(qiáng)度大小和方向均不變，是勻強(qiáng)電場，粒子所受的電場力不變，做勻變速直線運(yùn)動(dòng)，故B正確，D錯(cuò)誤；由于在x1到x3區(qū)域電場線由x1指向x3，順著電場線電勢降低，所以有φ1>φ2>φ3，故C正確；因電勢能Ep隨位移x變化的關(guān)系圖線的斜率等于場強(qiáng)，可知在O～x1段圖象切線的斜率不斷減小，場強(qiáng)減小，粒子所受的電場力減小，加速度減小，做非勻變速運(yùn)動(dòng)。x1～x2段圖象切線的斜率不斷增大，場強(qiáng)增大，粒子所受的電場力增大，做非勻變速運(yùn)動(dòng)，故ABC選項(xiàng)正確。

【變式】如圖18所示，A、B為某電場中一條直線上的兩個(gè)點(diǎn)，現(xiàn)將正點(diǎn)電荷從A點(diǎn)靜止釋放，僅在電場力作用下運(yùn)動(dòng)一段距離到達(dá)B點(diǎn)，其電勢能Ep隨位移x的變化關(guān)系如圖19。從A到B過程中，下列說法中正確的是

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圖18

圖19

A．電場力對(duì)電荷一直做正功

B．電勢一直升高

C．電荷所受電場力先減小后增大

D．電荷所受電場力先增大后減小