胡 倩,李青松,周 鑫,侯占強(qiáng),許 一,吳學(xué)忠,肖定邦

(國(guó)防科技大學(xué)智能科學(xué)學(xué)院,長(zhǎng)沙 410073)

嵌套環(huán)式MEMS振動(dòng)陀螺近年來發(fā)展迅速,成為未來高性能微陀螺的一個(gè)重要方向。但目前關(guān)于嵌套環(huán)式MEMS振動(dòng)陀螺的研究報(bào)道側(cè)重于整體設(shè)計(jì)、精密修調(diào)[1]、信號(hào)處理等方面[2],針對(duì)嵌套環(huán)式結(jié)構(gòu)本身的創(chuàng)新設(shè)計(jì)問題的研究鮮有報(bào)道。由于嵌套環(huán)式MEMS陀螺具備達(dá)到導(dǎo)航級(jí)精度的潛力,在工業(yè)產(chǎn)品和武器裝備上具有非常重要的應(yīng)用價(jià)值[3],而改變嵌套環(huán)陀螺的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)會(huì)引起陀螺性能發(fā)生很大的改變,因此研究并完善嵌套環(huán)陀螺結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)理論體系在提升陀螺性能方面具有很大的改進(jìn)空間[4]。嵌套環(huán)陀螺由于結(jié)構(gòu)復(fù)雜,參數(shù)眾多,是典型的多參數(shù)模型,陀螺的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)對(duì)其性能的影響規(guī)律復(fù)雜,無法得到性能和參數(shù)的解析關(guān)系,因此需要采用優(yōu)化算法對(duì)嵌套環(huán)式陀螺結(jié)構(gòu)進(jìn)行演化和優(yōu)化[5-6],以提高嵌套環(huán)陀螺性能為目標(biāo),得到最優(yōu)結(jié)構(gòu)參數(shù),并以此為依據(jù)合理地設(shè)計(jì)出一種新型的高性能嵌套環(huán)式陀螺結(jié)構(gòu)。

近年來,粒子群優(yōu)化算法(PSO)、蟻群算法、人工免疫系統(tǒng)、分布估計(jì)算法、協(xié)同進(jìn)化算法、密母算法、文化進(jìn)化算法等一些新的進(jìn)化算法范例陸續(xù)被用于求解優(yōu)化問題,而PSO算法由于流程簡(jiǎn)單易實(shí)現(xiàn),算法參數(shù)簡(jiǎn)潔,無需復(fù)雜的調(diào)整,與其他算法易結(jié)合,從提出至今,已被迅速用于遺傳算法原有的一些應(yīng)用領(lǐng)域。PSO算法[7]是Kennedy和Eberhart受人工生命研究結(jié)果的啟發(fā)、通過模擬鳥群覓食過程中的遷徙和群聚行為而提出的一種基于群體智能的全局隨機(jī)搜索算法。本文將一種改進(jìn)后的PSO算法引入到嵌套環(huán)結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)中,通過目標(biāo)函數(shù)與條件約束的設(shè)置,仿真計(jì)算其每一步的優(yōu)化結(jié)果并得到最優(yōu)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì),最終結(jié)果與未優(yōu)化前進(jìn)行對(duì)比并加以分析與驗(yàn)證。

1 嵌套環(huán)陀螺

(1)

在對(duì)嵌套環(huán)陀螺進(jìn)行結(jié)構(gòu)參數(shù)變化時(shí),單個(gè)變量可以直接進(jìn)行仿真計(jì)算,但壁厚、間隙等多變量通過依次改變參數(shù)探索其變化規(guī)律對(duì)陀螺性能的影響操作復(fù)雜,仿真計(jì)算量過大,需要使用優(yōu)化算法來進(jìn)行嵌套環(huán)陀螺結(jié)構(gòu)多參數(shù)的設(shè)計(jì)。本文主要以間隙分布優(yōu)化作為研究目標(biāo),嵌套環(huán)陀螺的機(jī)械熱噪聲為優(yōu)化目標(biāo),進(jìn)行優(yōu)化的嵌套環(huán)模型與波音設(shè)計(jì)的嵌套環(huán)模型具有相同的結(jié)構(gòu)與環(huán)數(shù),外徑為8 mm[8],壁厚20 μm,厚度150 μm,錨點(diǎn)半徑1.5 mm,具體結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 嵌套環(huán)陀螺模型

2 優(yōu)化算法流程

用來計(jì)算的PSO優(yōu)化算法[9],可以在MATLAB中運(yùn)行,也可以實(shí)現(xiàn)與Comsol等的對(duì)接[10]。將該P(yáng)SO算法引入嵌套環(huán)的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì),優(yōu)化算法主程序中的options結(jié)構(gòu)體包含了所有需要修改和設(shè)定的選項(xiàng),在主程序中可以設(shè)置嵌套環(huán)陀螺的外圓直徑、環(huán)數(shù)、結(jié)構(gòu)厚度、壁厚等結(jié)構(gòu)參數(shù),還可選擇拓?fù)渌惴ㄅc領(lǐng)域范圍,收斂精度等用于整個(gè)PSO的控制。

嵌套環(huán)結(jié)構(gòu)優(yōu)化時(shí)每個(gè)結(jié)構(gòu)參數(shù)都可看作為一個(gè)獨(dú)立的粒子,目標(biāo)函數(shù)則為所期望提高進(jìn)行優(yōu)化的陀螺性能,例如特征頻率、品質(zhì)因子、機(jī)械靈敏度、機(jī)械熱噪聲等。程序中的state結(jié)構(gòu)體用來存儲(chǔ)在計(jì)算過程中的所有粒子的位置、速度、局部最優(yōu)、全局最優(yōu)等等所有值,并對(duì)其進(jìn)行初始化。

建立的PSO優(yōu)化算法[11]流程如下:

①state函數(shù)隨機(jī)初始化粒子群體的位置和速度,本文的優(yōu)化對(duì)象為嵌套環(huán)陀螺的間隙分布,因此每個(gè)粒子都是一種嵌套環(huán)陀螺間隙分布方式,間隙參數(shù)是在允許的范圍內(nèi)隨機(jī)產(chǎn)生的。本文的粒子群體中設(shè)置了10個(gè)相互獨(dú)立的粒子,將每個(gè)粒子的pbest坐標(biāo)設(shè)置為其當(dāng)前位置,優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)為嵌套環(huán)陀螺的機(jī)械熱噪聲,調(diào)用設(shè)置的目標(biāo)函數(shù)計(jì)算出相應(yīng)的個(gè)體極值(即該種間隙分布的最小機(jī)械熱噪聲),而全局極值(即全局最優(yōu)值)是在比較粒子群體的個(gè)體極值中后(即粒子群體中的最小機(jī)械熱噪聲),記錄最優(yōu)值的粒子序號(hào),即獲得最小機(jī)械熱噪聲的間隙分布方式,并將gbest設(shè)置為該最優(yōu)粒子的當(dāng)前位置。

②更新粒子群的速度與位置:

(2)

(3)

種群數(shù)為m的粒子群落,其中第i個(gè)粒子的位置為xi,其飛行速度為vi,其中i=1,2,…,m。學(xué)習(xí)因子c1和c2為非負(fù)常數(shù),用于控制粒子指向自身或鄰域最佳位置的運(yùn)動(dòng),通常取c1=c2=2。ω為慣性常數(shù),控制粒子可能發(fā)生飛出問題空間,甚至趨向無窮大的現(xiàn)象。

③計(jì)算每個(gè)粒子的目標(biāo)函數(shù)值,在本文中則是計(jì)算每種嵌套環(huán)間隙分布的機(jī)械熱噪聲,并與個(gè)體極值進(jìn)行比較,如果較優(yōu),則更新當(dāng)前的個(gè)體極值。

④對(duì)每個(gè)粒子將其目標(biāo)函數(shù)值與全局極值進(jìn)行比較,如果較優(yōu),則更新當(dāng)前的全局極值。

⑤根據(jù)式(1)、式(2)再次更新每個(gè)粒子的位置和飛行速度,不斷進(jìn)行迭代。

⑥達(dá)到預(yù)先設(shè)定的停止準(zhǔn)則(迭代收斂的精度或最大迭代次數(shù)),則停止計(jì)算,優(yōu)化結(jié)束。粒子群優(yōu)化算法流程圖如圖2所示。

圖2 PSO優(yōu)化算法流程圖

3 PSO優(yōu)化算法改進(jìn)

PSO算法在優(yōu)化前期中收斂速度很快,但在優(yōu)化后期中收斂速度變得緩慢,因而導(dǎo)致收斂精度低,這主要是粒子群難以擺脫局部極值的原因,會(huì)導(dǎo)致嵌套環(huán)陀螺在未達(dá)到最優(yōu)解時(shí)便停止更新。對(duì)于嵌套環(huán)陀螺,其結(jié)構(gòu)復(fù)雜,參數(shù)眾多,由于間隙較多,不同的間隙變化會(huì)對(duì)陀螺整體尺寸產(chǎn)生較大的影響,且每個(gè)間隙都有一定的上下限,對(duì)于已經(jīng)固定整體尺寸的嵌套環(huán)陀螺,需要對(duì)其間隙分布進(jìn)行適當(dāng)?shù)臈l件約束,保證間隙總和是一個(gè)固定值,各個(gè)間隙在總和一定的情況下進(jìn)行變化。針對(duì)這一系列問題,對(duì)PSO優(yōu)化算法進(jìn)行了算法改進(jìn)。

3.1 引入極值擾動(dòng)

優(yōu)化過程中,粒子將聚集到由自身極值pbest和群體全局極值gbest決定的極值之上,如果所有粒子在向gbest靠近過程中沒有找到優(yōu)于gbest的位置,則進(jìn)化過程將處于停滯狀態(tài),粒子逐漸聚集到gbest,粒子易陷入到局部極值中。調(diào)整自身極值和全局極值,使所有粒子飛向新的位置,這使所有粒子在遷移聚集新位置時(shí)會(huì)經(jīng)歷新的搜索路徑和領(lǐng)域,因此發(fā)現(xiàn)更優(yōu)解的概率較大[12]?；诖怂枷?本算法引入了極值擾動(dòng)。采用進(jìn)化停滯步數(shù)t作為觸發(fā)條件,對(duì)個(gè)體極值pbest和全局極值gbest同時(shí)進(jìn)行隨機(jī)擾動(dòng)。主程序設(shè)置達(dá)到T次優(yōu)化無提升時(shí)就進(jìn)行隨機(jī)擾動(dòng)。

(4)

3.2 條件約束

在對(duì)嵌套環(huán)陀螺壁厚、間隙、環(huán)數(shù)等多變量參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化時(shí),為了保證嵌套環(huán)整體尺寸不變,變量總和往往為固定值,在總和一定的條件下,變量進(jìn)行隨機(jī)分布迭代優(yōu)化,這樣使得優(yōu)化過程不僅復(fù)雜且變量不易控制。

本算法采用了隨機(jī)固定求和函數(shù)randfixedsum來解決這一問題,該函數(shù)相當(dāng)于求解n-1維單純形(單純形是最簡(jiǎn)單的拓?fù)渫辜?例如1維單純形是線段,2維是三角面,3維是四面體)內(nèi)均勻取點(diǎn)的問題。通過狄利克雷分布將Rn上的n維均勻分布線性變換到n-1維單純形上的均勻分布。使得程序產(chǎn)生一個(gè)n×m的隨機(jī)矩陣,每一列是一個(gè)和為固定值s,各元素值滿足條件限制a≤xi≤b的n×1列向量[x1;x2;…;xn]。

當(dāng)主程序中設(shè)置好嵌套環(huán)陀螺的變量個(gè)數(shù)與每個(gè)變量的上下界,變量固定和,該函數(shù)就將產(chǎn)生一組隨機(jī)變量,使得優(yōu)化過程更加合理高效。針對(duì)嵌套環(huán)陀螺這種結(jié)構(gòu)參數(shù)較復(fù)雜的對(duì)象控制程序也變得更加簡(jiǎn)潔易懂,方便操作。

4 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證與分析

圖3 嵌套環(huán)陀螺PSO間隙分布優(yōu)化路徑

同時(shí)由表1可以得出,經(jīng)過算法進(jìn)行間隙優(yōu)化后的嵌套環(huán)陀螺頻率與品質(zhì)因子也有所提高。達(dá)到最優(yōu)值的路徑三相對(duì)于波音間隙非均勻分布嵌套環(huán)的頻率增大了27%,品質(zhì)因子提高了53%,優(yōu)化后的陀螺在頻率與品質(zhì)因子兩者之間有一個(gè)較好的均衡,整體性能有所提高,有效的提升陀螺的穩(wěn)定性與靈敏度。

表1 優(yōu)化前與優(yōu)化后的嵌套環(huán)性能參數(shù)

由于4次不同的優(yōu)化路徑得到了4種不同的間隙分布,因此嵌套環(huán)陀螺的等效質(zhì)量也隨之發(fā)生改變,如式(5)所示,本文使用COMSOL with MATLAB得到嵌套環(huán)式諧振子的工作模態(tài)振型,提取模態(tài)1與模態(tài)2振型上所有節(jié)點(diǎn)的位移,通過節(jié)點(diǎn)平均的方法計(jì)算所有單元的位移。模態(tài)1、2所有單元在笛卡爾坐標(biāo)系下的位移分量構(gòu)成的矩陣[u1,v1,w1]、[u2,v2,w2]。其中q1和q2為模態(tài)1與模態(tài)2的波腹點(diǎn)位移最大值。保持外徑,環(huán)數(shù),錨點(diǎn)直徑,壁厚,厚度一致,間隙進(jìn)行優(yōu)化后會(huì)導(dǎo)致嵌套環(huán)式諧振子的工作模態(tài)振型發(fā)生改變,從而等效質(zhì)量也發(fā)生了改變。由式(1)可以看出,機(jī)械熱噪聲與陀螺的頻率、品質(zhì)因子、等效質(zhì)量均成反比,通過間隙優(yōu)化,嵌套環(huán)陀螺的頻率、品質(zhì)因子、等效質(zhì)量相比于波音的陀螺均有所提高,在三者共同作用下陀螺的機(jī)械熱噪聲有了明顯降低。

(5)

達(dá)到最優(yōu)值的路徑三的陀螺間隙優(yōu)化過程如圖4 所示,間隙編號(hào)從錨點(diǎn)處向外依次排序。優(yōu)化過程最開始根據(jù)算法對(duì)16個(gè)間隙進(jìn)行隨機(jī)賦值,粒子開始進(jìn)行迭代,慢慢根據(jù)目標(biāo)函數(shù)朝最優(yōu)值的間隙分布開始收斂,最終收斂到一個(gè)固定值。

圖4 路徑三嵌套環(huán)陀螺間隙分布優(yōu)化過程

圖5 嵌套環(huán)陀螺間隙分布圖

從圖4可以看到,間隙16、間隙5至間隙7的尺寸較大,達(dá)到了210 μm,間隙4、間隙8至間隙12尺寸較小,僅有80 μm左右,陀螺整體間隙分布如圖5所示。由圖5可以看出波音尺寸較大的間隙5至間隙7,間隙15在經(jīng)過優(yōu)化后同樣具有較大的尺寸,而位于中間尺寸保持一致的間隙經(jīng)過優(yōu)化后尺寸仍大致保持一致,但較未優(yōu)化前有所減小,同時(shí)在靠近陀螺錨點(diǎn)處與陀螺最外側(cè),間隙分布大致呈階梯狀變化。

5 結(jié)論

①本文提出的PSO優(yōu)化算法有效的對(duì)嵌套環(huán)陀螺進(jìn)行了間隙分布優(yōu)化,成功提高了嵌套環(huán)陀螺的整體性能。

②加入極值擾動(dòng)和條件約束的優(yōu)化算法操作更加方便簡(jiǎn)潔,克服了PSO優(yōu)化算法易陷入局部最優(yōu)與嵌套環(huán)參數(shù)眾多難以控制的問題,使結(jié)果快速收斂到全局最優(yōu)值。

③利用PSO優(yōu)化算法可以對(duì)嵌套環(huán)陀螺進(jìn)行多變量參數(shù)的優(yōu)化,研究陀螺結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)對(duì)其性能的影響規(guī)律,對(duì)今后的嵌套環(huán)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)起一定的指導(dǎo)作用。