毛鳳梅,楊曉俠

(平頂山學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,河南 平頂山 467000)

0 引言

考慮細(xì)菌模型

(1)

其中:a11,a12,a22均為正數(shù),X=(x,y,z),Ω為R3上的一個(gè)具有光滑邊界的有界閉區(qū)域,I代表區(qū)間(0,T),T>0;u和v分別代表細(xì)菌的空間密度和被感染的人口密度;d1>0及d2>0為擴(kuò)散系數(shù);a11u表示細(xì)菌的自然死亡率;a11v代表傳染病人口對(duì)細(xì)菌增加的貢獻(xiàn)率;為傳染病人口潛伏期所產(chǎn)生的阻尼項(xiàng);g(u)代表在傳染病流行中,當(dāng)已感染人口總數(shù)不變的情況下的人口傳染率且滿足Lipchitz條件。

細(xì)菌模型描述了某些細(xì)菌在空氣中的傳播問(wèn)題[1],怎樣控制細(xì)菌傳播速度和易感染人口的增長(zhǎng)速度成為人們研究的熱點(diǎn)。文獻(xiàn)[2]用Leray-Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理證明了一類(lèi)一維推廣的細(xì)菌模型的周期解的存在唯一性;文獻(xiàn)[3]用Green函數(shù)方法討論了問(wèn)題(1)周期平面波解的存在唯一性;文獻(xiàn)[4]用Galerkin方法討論了一類(lèi)廣義細(xì)菌模型的定解問(wèn)題;文獻(xiàn)[5]用Galerkin譜方法證明了二維廣義細(xì)菌模型的整體解的存在唯一性;文獻(xiàn)[6]給出了帶有遷移的瘧疾病和虐蚊數(shù)學(xué)模型的交替有限元方法和數(shù)值分析;文獻(xiàn)[7]利用細(xì)致的能量估計(jì)、不同的希爾伯特空間的先驗(yàn)估計(jì)及一致的Gronwall不等式,證明了一類(lèi)帶有趨化性擴(kuò)散的細(xì)菌模型一致有界解的整體存在性;文獻(xiàn)[8]研究了一類(lèi)噬菌體死亡率受到噪聲干擾的隨機(jī)噬菌體-細(xì)菌模型邊界平衡點(diǎn)的隨機(jī)漸近穩(wěn)定性和隨機(jī)模型的解圍繞相應(yīng)確定性模型正平衡點(diǎn)的震蕩行為;文獻(xiàn)[9]利用非協(xié)調(diào)元對(duì)細(xì)菌模型在全離散和半離散格式下進(jìn)行了最優(yōu)誤差估計(jì)及超逼近分析。然而上述文獻(xiàn)分析主要集中在傳統(tǒng)的Galerkin方法,對(duì)此方程利用新混合元(特別是非協(xié)調(diào)和混合元)方法進(jìn)行半離散和全離散誤差分析的討論目前少見(jiàn)報(bào)道。

眾所周知,混合有限元方法是有限元領(lǐng)域中最活躍的分支之一,與傳統(tǒng)有限元方法相比,具有可同時(shí)逼近標(biāo)量函數(shù)(壓力)和向量函數(shù)(流量)的優(yōu)勢(shì),且引入通量后可改為在光滑度較弱的混合元空間中求解,但是該方法所涉及的兩個(gè)逼近空間通常需要滿足所謂的LBB條件。文獻(xiàn)[10-11]提出了另外一種混合元格式,當(dāng)選取的兩個(gè)逼近空間滿足一種簡(jiǎn)單的約束關(guān)系時(shí),該格式自然滿足LBB條件,避開(kāi)了因梯度算子帶來(lái)的麻煩,且在和傳統(tǒng)格式同樣精度的條件下,該格式需要更小的自由度規(guī)模,但他們?cè)谡`差估計(jì)中僅得到了收斂性結(jié)果,沒(méi)有涉及超收斂分析。后來(lái),該方法應(yīng)用到了二階橢圓問(wèn)題[12]、非線性四階雙曲方程[13]的超逼近和超收斂分析；文獻(xiàn)[14-15]利用EQrot+Q10×Q01對(duì)廣義神經(jīng)傳播方程和EFK方程在半離散和全離散格式下進(jìn)行了高精度分析。

本文的主要目的是構(gòu)造一個(gè)三維的非協(xié)調(diào)混合元(EQrot+Q100×Q010×Q001)用于研究具有實(shí)際背景的細(xì)菌模型,利用插值理論、高精度分析和對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)移的技巧,借助于該單元所具有的性質(zhì),在半離散格式下分別導(dǎo)出了原始變量u,v的H1模和中間變量p,q的L2模下O(h2)階超逼近結(jié)果和超收斂性質(zhì)。進(jìn)一步,通過(guò)構(gòu)造適當(dāng)?shù)娜x散格式,得到了精度為O(h2+Δt)的誤差估計(jì)結(jié)果。

1 單元構(gòu)造

Fig.1 Cell partition diagram圖1 單元剖分圖

類(lèi)似于文獻(xiàn)[16]，定義混合有限元空間為

Wh={wh=(w1,w2,w3);wh|k∈Q100(K)×Q010(K)×Q001(K),?K∈Th},

(2)

和

(3)

其中,n表示?K上的單位外法向量。

類(lèi)似于文獻(xiàn)[16-18]可以證明如下結(jié)論

對(duì)于φ∈H1(Ω),ψ∈(H2(Ω))3,wh∈Wh,vh∈Vh,有

(4)

(5)

(6)

2 超逼近和超收斂分析

為了構(gòu)造問(wèn)題(1)的新混合有限元格式,引入變量p=-u,q=-v,則方程(1)可變?yōu)?/p>

(7)

(8)

相應(yīng)的混合有限元逼近為:求{uh,vh;ph,qh}:[0,T]→Vh×Vh×Wh×Wh滿足

(9)

定理1 方程(9)存在唯一解

在方程(9)中令χh=φi,zh=φi,Φh=Ψj,ψh=Ψj,則方程可變?yōu)槿缦滦问?/p>

(10)

其中,

H1(t)=(h1(t),h2(t),…,hr1(t))T,H2(t)=(l1(t),l2(t),…,lr1(t))T,

G1(t)=(g1(t),g2(t),…,gr2(t))T,G2(t)=(s1(t),s2(t),…,sr2(t))T,

A=((φi,φj))r1×r1,B=((Ψi,

由(10)可得

(11)

由于(11)是關(guān)于向量H(t)=(H1,H2)T的非線性微分方程系統(tǒng),由微分方程解的存在唯一性定理知,當(dāng)t>0時(shí),H(t)有唯一解[19],從而G(t)有唯一解,即問(wèn)題(9) 存在唯一解。

下面給出上述問(wèn)題的超逼近分析

定理2 設(shè){u,v,p,q}和{uh,vh,ph,qh}分別是方程(8)和 (9)解,u,v,ut,vt∈H2(Ω),p,q∈(H2(Ω))3, 則

證明記

由(8)和(9)得誤差方程:

(12)

在(12)(a)式中令χh=ζt,在(12)(a)式中令ψh=ζt再乘d1,兩式相加得

(ζt,ζt)+d1(ζ,ζt)+a11(ζ,ζt)=

a12(τ,ζt)+a12(θ,ζt)-(ηt,ζt)-a11(η,ζt)-d1(η,

(13)

由于

(14)

根據(jù)結(jié)論(4)、(5)、(6), 插值理論,Schwartz不等式, Young不等式再結(jié)合(14)式, 方程(13)可估計(jì)為

C(‖τ‖0‖ζt‖0+‖θ‖0‖ζt‖0+‖η‖0‖ζt‖0+‖ηt‖0‖ζt‖0)+

從而,有

(15)

在(12)(c)式中令zh=θt,在(12)(d)式中令Φh=θt再乘d2,兩式相加得

(θt,θt)+d2(θ,θt)+a22(θ,θt)=

(g(u)-g(uh),θt)-(τt,θt)+d2(δ,

(16)

類(lèi)似于(13)式的估計(jì), 再利用g(u)的Lipschitz條件,(16)式可估計(jì)為

從而,有

(17)

(15)和(17)式相加可得

對(duì)上式兩邊從0到t積分, 并注意到ζ(X,0)=0,θ(X,0)=0,得

再由Gronwall引理可得

(18)

在(12)(b)式中令ψh=ξ可得

在(12)(d)式中令Φh=r可得

從而,定理2得證。

注:若新格式混合有限元空間選為Q111+Q011×Q101×Q110,當(dāng)u,v∈H2(Ω),ut,vt∈H3(Ω) 時(shí)可得如下結(jié)論

顯然此時(shí)對(duì)ut,vt的光滑度要求偏高,從而說(shuō)明了本文所選單元的合理性和優(yōu)勢(shì)。

(19)

和

并成立如下結(jié)論

定理3 設(shè){u,v,p,q}和{uh,vh,ph,qh}分別是方程(8)和(9)解,則

3 全離散及誤差分析

首先將區(qū)間[0,T] 做n等分,0=t0

tn=nΔt, Δt=tn-tn-1,un=u(X,tn),

?φn=(2Δt)-1(φn-φn-1),

由于以上記號(hào),方程(8)可改寫(xiě)為如下形式

(20)

與(20)式對(duì)應(yīng)的全離散格式為:求{Un,Vn;Pn,Qn}∈Vh×Vh×Wh×Wh,滿足

(21)

定理4 設(shè){un,vn,pn,qn}和{Un,Vn,Pn,Qn}分別是方程(20)和(21)的解,u,v,ut,vt∈H2(Ω),p,q∈(H2(Ω))3, 則

‖ζM‖h+‖θM‖h=O(h2+Δt), ‖ξn‖0+‖rn‖0=O(h2+Δt).

證明記

由(20)和(21)可得誤差方程

(22)

在(22)(a)式中令χh=?tζn,在(12)(a)式中令ψh=?tζn再乘d1,兩式相加得

(?tζn,?tζn)+d1(ζn,?tζn)+a11(ζn,?tζn)=-

(?tηn,?tζn)-a11(ηn,?tζn)+a12(τn,?tζn)+

(23)

下面我們對(duì)(23)式進(jìn)行估計(jì)

d1(ζn,?tζn)=d1(2Δt)-1(‖ζn+

(?tηn,?tζn)≤C‖?tηn‖0‖?tζn‖0≤

將上述結(jié)果代入(23)式可得

(24)

同理,在(22)(c)中令zh=?tθn,在(12)(a)式中令Φh=?tθn再利用g(u)Lipschitz條件,類(lèi)似于(23)式的估計(jì)可得

(25)

(24)與(25)相加可得

(26)

對(duì)(26)式n從1到M求和

(27)

從而,有

(28)

選取適當(dāng)?shù)摩和ε使1-CΔt-ε>0，再由離散的Gronwall引理, 有

‖ζM‖h+‖θM‖h=O(h2+Δt).

(29)

在(22)(b)中令ψh=ξn,可得

‖ξn‖0=O(h2+Δt).

(30)

在(22)(d)中令Φh=rn,可得

‖rn‖0=O(h2+Δt).

(31)