閆力松，楊甬英，馬冬林，韓西萌

(1.浙江大學(xué) 現(xiàn)代光學(xué)儀器國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，浙江 杭州 310027； 2.華中科技大學(xué) 光電學(xué)院，湖北 武漢 430074； 3.中國(guó)航天科工集團(tuán) 第九總體設(shè)計(jì)部，湖北 武漢 430000)

1 引 言

離軸三反系統(tǒng)[1-5]具有像質(zhì)好、無(wú)遮攔、結(jié)構(gòu)緊湊、高分辨率成像及高能量利用率等優(yōu)點(diǎn)，越來(lái)越廣泛地應(yīng)用于成像光譜儀[6]、空間相機(jī)[7-9]等觀測(cè)領(lǐng)域。

離軸三反系統(tǒng)中的主鏡或三鏡通常有一塊為不規(guī)則形狀。由于成像視場(chǎng)需求，三鏡及折疊鏡通常為長(zhǎng)條形鏡面[2-3]。

由于離軸三反系統(tǒng)的三鏡通常為非球面反射鏡，其最常規(guī)的檢測(cè)方式為采用補(bǔ)償器或CGH等補(bǔ)償元件進(jìn)行補(bǔ)償檢測(cè)[10-11]。在對(duì)準(zhǔn)過(guò)程中，由于失調(diào)，會(huì)在檢測(cè)結(jié)果中引入像散與慧差等像差，從而影響后續(xù)加工結(jié)果。

在實(shí)際檢測(cè)中，一般通過(guò)標(biāo)定幾何量確定檢測(cè)頂點(diǎn)曲率半徑及離軸量的正確性。而在檢測(cè)中，干涉儀自帶軟件Metropro對(duì)非圓形鏡面分離像差時(shí)會(huì)因?yàn)椴徽划a(chǎn)生偏差，尤其對(duì)長(zhǎng)條形鏡面，該偏差較大。從而會(huì)影響裝調(diào)中非球面鏡與補(bǔ)償元件間的對(duì)準(zhǔn)。

Zernike多項(xiàng)式定義域?yàn)閱挝贿B續(xù)圓域，其在異形區(qū)域會(huì)出現(xiàn)各擬合項(xiàng)不正交情況。國(guó)內(nèi)已有多家單位對(duì)此開(kāi)展過(guò)理論研究，南京理工大學(xué)的孫文卿等人對(duì)非圓孔徑離散采樣點(diǎn)正交化擬合進(jìn)行了一定的研究，相對(duì)于傳統(tǒng)圓域Zernike擬合，其計(jì)算速度有所提高[12]；成都光電所對(duì)Zernike多項(xiàng)式的回歸擬合算法進(jìn)行了研究[13],國(guó)家天文臺(tái)對(duì)拋物面的擬合方法進(jìn)行了理論研究[14]，長(zhǎng)春光機(jī)所從光學(xué)設(shè)計(jì)、光學(xué)加工等方面對(duì)光學(xué)面形的擬合做了大量的研究[15-19]，同時(shí)吉林大學(xué)基于矢量矩陣對(duì)擬合方法也進(jìn)行了一定的研究[20]。

然而，上述方法都有其應(yīng)用條件及局限性，本文針對(duì)光學(xué)系統(tǒng)中常用的異形鏡面，尤其是長(zhǎng)條形光學(xué)鏡面提出了一套面形擬合算法，該算法以正交化Zernike多項(xiàng)式[21-22]為基礎(chǔ)。基于該算法可以實(shí)現(xiàn)長(zhǎng)條形鏡面的面形擬合，用以解決干涉儀自帶軟件Metropro在長(zhǎng)條形鏡面擬合時(shí)計(jì)算不準(zhǔn)確的問(wèn)題。此外，該方法可以分離出像散等像差，對(duì)非球面檢測(cè)提供指導(dǎo)。

2 擬合算法與檢測(cè)原理

2.1 擬合算法

用{Zi}表示一組Zernike多項(xiàng)式，其正交化后結(jié)果為{Fi}，則有：

(1)

式中，Mij為轉(zhuǎn)換矩陣，J為事先定義的項(xiàng)數(shù)。則：

〈Fi|Fj〉=δij, (2)

其中，〈A|B〉表示A與B的內(nèi)積，δij為Kronecker符號(hào)。

則：

(3)

其中，i,k=1,2,3…J。式(3)可以寫(xiě)為：

CZF=CZZMT, (4)

其中，CZF及CZZ均是J階方陣。

對(duì)于式(4)，其可以寫(xiě)為：

(5)

即：

MCZF=1 , (6)

將式(5)帶入(6)，則：

MCZZMT=1 , (7)

令：

M=(QT)-1, (8)

則式(7)可以寫(xiě)為：

QTQ=CZZ. (9)

由式(8)及(9)即可解出矩陣M，從而對(duì){Zi}完成正交化運(yùn)算。

求解得到正交化Zernike多項(xiàng)式{Fi}后，對(duì)干涉檢測(cè)結(jié)果進(jìn)行擬合計(jì)算，得到干涉檢測(cè)結(jié)果：

zj=f(xj,yj) , (10)

式中，j為檢測(cè)像素點(diǎn)，zj為檢測(cè)點(diǎn)(xj,yj)對(duì)應(yīng)的檢測(cè)結(jié)果。

則正交化擬合系數(shù)C:

C=(FTF)-1FTz . (11)

2.2 檢測(cè)原理

長(zhǎng)條形離軸鏡面檢測(cè)原理示意圖如圖1所示。

圖1 長(zhǎng)條形鏡面檢測(cè)光路圖 Fig.1 Optical pathway diagram of surface testing for rectangular mirror

干涉儀出射標(biāo)準(zhǔn)平面波，平面波前經(jīng)過(guò)補(bǔ)償器后變?yōu)橥S非球面波前，通過(guò)調(diào)節(jié)長(zhǎng)條形離軸非球面鏡的位置可獲得鏡面在干涉儀中的檢測(cè)結(jié)果。檢測(cè)中，可通過(guò)激光跟蹤儀等輔助測(cè)量工具精確標(biāo)定測(cè)試時(shí)離軸非球面反射鏡的離軸量，頂點(diǎn)曲率中心距離補(bǔ)償器前端面的距離等參數(shù)，保證測(cè)量時(shí)干涉儀、補(bǔ)償器、離軸非球面鏡位置關(guān)系的正確性。

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為了驗(yàn)證本文所述算法的可行性，結(jié)合實(shí)際工程項(xiàng)目，對(duì)一口徑為600 mm×260 mm長(zhǎng)條形非球面鏡進(jìn)行求解計(jì)算，光路如圖2所示。

圖2 檢測(cè)光路圖 Fig.2 Testing optical pathway setup

實(shí)際檢測(cè)中，非球面鏡由補(bǔ)償器零位補(bǔ)償檢測(cè)，圖1所示的光學(xué)反射鏡檢測(cè)干涉圖如圖3所示。

圖3 檢測(cè)結(jié)果 Fig.3 Testing results

在補(bǔ)償器補(bǔ)償檢測(cè)非球面鏡的過(guò)程中，由于檢測(cè)時(shí)非球面鏡存在離軸量偏差，通常會(huì)在檢測(cè)結(jié)果中引入像散與慧差。反之，檢測(cè)結(jié)果中的像散與慧差很可能是由于失調(diào)所引入的。如按照面形誤差進(jìn)行后續(xù)加工，則會(huì)在加工中出現(xiàn)錯(cuò)誤而無(wú)法實(shí)現(xiàn)面形收斂。

利用Zygo干涉儀自帶軟件Metropro對(duì)檢測(cè)結(jié)果進(jìn)行去像散計(jì)算，結(jié)果如圖4所示。

圖4 Metropro去像散結(jié)果 Fig.4 Results of Metropro anastigmatism

由圖4可以看出，在去像散后，面形未得到收斂，其PV與RMS值分別由5.889λ及1.002λ變?yōu)?.448λ及1.725λ。這是因?yàn)閼?yīng)用干涉儀自帶軟件Mertorpro進(jìn)行長(zhǎng)條形反射鏡Zernike多項(xiàng)式求解時(shí)會(huì)由于各項(xiàng)不正交導(dǎo)致計(jì)算錯(cuò)誤。

基于本文所述算法對(duì)圖3干涉檢測(cè)結(jié)果在正交化求解后進(jìn)行去像散計(jì)算，結(jié)果如圖5所示。

由圖5可以看出，在去像散后，面形得到收斂，其PV與RMS值分別由5.889λ及1.002λ收斂為4.666λ及0.679λ，驗(yàn)證了算法的可行性。

圖5 正交化去像散結(jié)果 Fig.5 Anastigmatism results of proposed method

4 結(jié) 論

本文提出一種通過(guò)矩陣求解正交化Zernike多項(xiàng)式面形重構(gòu)算法，并利用其對(duì)長(zhǎng)條形鏡面進(jìn)行擬合計(jì)算，將所得結(jié)果與Metropro求解結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比。由于Zygo干涉儀自帶軟件Metropro對(duì)異形鏡面，例如長(zhǎng)條形鏡面進(jìn)行多項(xiàng)式擬合時(shí)，由于各項(xiàng)耦合會(huì)造成裝調(diào)誤差與面形誤差的嚴(yán)重耦合。在實(shí)際檢測(cè)中，采用本文算法可以實(shí)現(xiàn)二者的有效分離，為光學(xué)鏡面的最終面形收斂提供保障。本文所提方法可為計(jì)算法輔助裝調(diào)提供指導(dǎo)。