☉江蘇省宿遷市鐘吾初級中學(xué)張揚

☉江南大學(xué)附屬實驗中學(xué)龐彥福

數(shù)學(xué)家哈爾莫斯說過：問題是數(shù)學(xué)的心臟.“提出一個問題往往比解決一個問題更為重要”，這是愛因斯坦的名言，他同時指出“因為解決一個問題也許只是一個數(shù)學(xué)上或?qū)嶒炆系募记蓡栴}，而提出新的問題、新的可能性，從新的角度看舊問題，卻需要創(chuàng)造性的想象力，而且標(biāo)志著科學(xué)的真正進(jìn)步.”《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）在第二部分“總目標(biāo)”中指出：“運用數(shù)學(xué)的思維方式進(jìn)行思考，增強發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力”，在第四部分“教學(xué)建議”中再次提出要引導(dǎo)和培養(yǎng)學(xué)生“不斷提高發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的能力、分析問題和解決問題的能力”.的確，有了問題才能培養(yǎng)學(xué)生的思辨意識和思辨能力.《禮記·中庸》指出：“博學(xué)之，審問之，慎思之，明辨之，篤行之.”清代學(xué)者王夫之在《姜齋詩話·夕堂永日緒論外編二八》中指出：“故必極學(xué)問思辨之力……然后可以治天下國家.”因此，思辨是身處現(xiàn)代社會面對復(fù)雜問題時體現(xiàn)出來的睿智與能力.數(shù)學(xué)課該如何培養(yǎng)學(xué)生的思辨意識與思辨能力呢？現(xiàn)以筆者（江蘇省特級教師張揚）執(zhí)教的一節(jié)初三一輪復(fù)習(xí)課“方程有解”為例與大家分享.

一、疑問，思辨意識孕育之時

問題1：解下列方程：

這是上課伊始出示的兩個解方程的例子，對于第（1）小題，化為整式方程，解得x=1，經(jīng)檢驗x=1是增根，所以原方程無解；對于第（2）小題，去分母，得到2x-2（x-1）=1，化成一元一次方程的一般形式即得出0·x=-1，這樣一來，學(xué)生確實感到束手無策.對于學(xué)生而言，（1）比較容易理解，而（2）的結(jié)果并不常見.關(guān)于x的方程ax=b無解，則a、b應(yīng)滿足什么條件呢？當(dāng)然就是a=0且b≠0.

因為方程是含有未知數(shù)的等式，所以方程首先是等式.如果跳出方程來看等式問題，這類問題也可以這樣理解：由得出2x-2（x-1）=1，去括號、合并同類項后即為2=1，這顯然是不成立的，也就是說這個等式中的x無論取什么數(shù)值，都不可能使等式成立.譬如x=2時，左邊=2，右邊=1，當(dāng)然不成立；再如x=-1時，左邊=-1，右邊=-，也不成立；當(dāng)x=0時，左邊=-2，右邊=-1，亦不成立.

學(xué)生學(xué)習(xí)的過程中，問題是教師告知的還是他們自己通過探索發(fā)現(xiàn)的才是學(xué)與教的關(guān)鍵.常言道：“學(xué)起于思，思起于疑，疑起于問.”課堂提問是一種促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)的方法，是一種教學(xué)手段，更是一種教學(xué)藝術(shù).宋代教育家朱熹曾說：“讀書無疑者，須教有疑，有疑者，卻要無疑，到這里方是長進(jìn).”這對教學(xué)是很有啟發(fā)的，值得一線教師踐行.

二、思考，思辨意識發(fā)芽之始

問題2：解下列方程：

對于這組問題，去分母并整理后是一元二次方程，化簡并整理后，（1）為x2-2x+1=0，（2）為x2-2x+3=0.這兩個方程為什么無解呢？對于（1），學(xué)生容易存在兩方面的問題，其一是忘記檢驗，其二是認(rèn)為一元二次方程x2-2x+1=0（分解因式為（x-1）2=0）的根只有一個x=1.其實一元二次方程x2-2x+1=0的根是兩個，只不過這兩個根是相等的，一般寫成x1=x2=1.關(guān)于方程（2），不少學(xué)生的潛意識是設(shè)法求出x2-2x+3=0的解.可是學(xué)生解著解著就感覺到有問題了，因為看似簡單的一元二次方程應(yīng)該可以用因式分解法求解，但不行啊，x2-2x+3不好分解呀！用配方法或公式法才發(fā)現(xiàn)原來是△=b2-4ac搞的鬼！因為b2-4ac=4-12=-8＜0，該方程是沒有實數(shù)根的，也就是說，在實數(shù)范圍內(nèi)不存在能使方程成立的數(shù)，比如，當(dāng)x=-3時，左邊=，顯然不成立；當(dāng)x=0時，左邊=-2，右邊=1，不成立；當(dāng)x=2時，左邊=4-2=2，右邊=-1，也不成立.

細(xì)細(xì)想想，這兩個方程的無解是不一樣的，第（1）題是能夠求出未知數(shù)x的值，但其是增根，第（2）題是求不出來未知數(shù)x的值，所以這兩者的內(nèi)涵是不一樣的.

變式：設(shè)計一個分式方程，使該方程化為整式方程時有兩個不等的實數(shù)解，而該分式方程無解.

變式問題是開放性問題，學(xué)生是不易很快想到的，但是，一旦明白了題意，問題就顯得簡單了.譬如：

通過這樣的嘗試與思考，學(xué)生對分式方程、一元二次方程的解法中蘊含的轉(zhuǎn)化思想會多一些了解，對分式方程的無解與關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的無解會理解得更深刻、更全面.

三、嘗試，思辨意識生長之根

對于問題3，如果缺少進(jìn)一步的思考與嘗試，學(xué)生就無法體會到蘊含在思維過程中的分類討論的思想與方法.問題意識、思辨意識往往就體現(xiàn)在學(xué)習(xí)的過程中《.標(biāo)準(zhǔn)》明確指出：“數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的積累是提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要標(biāo)志.幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo)，是學(xué)生不斷經(jīng)歷、體驗各種數(shù)學(xué)活動過程的結(jié)果.數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗需要在‘做’的過程和‘思考’的過程中積淀，是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動過程中逐步積累的.”

四、體悟，思辨意識成為能力

有了對以上問題解決的經(jīng)歷和經(jīng)驗，學(xué)生很快會將問題4與問題2的（1）關(guān)聯(lián)起來，于是就出現(xiàn)了解題中的“秒殺”現(xiàn)象，得出答案x=1.當(dāng)教師提醒同學(xué)們多想想時，細(xì)心的學(xué)生先將原方程化為：x2-2x+2-m=0，再分類討論.①當(dāng)x=1是方程x2-2x+2-m=0的解時，得到m=1；②當(dāng)△＜0，即△=（-2）2-4（2-m）＜0時，解得m＜1.即m=1或m＜1時，原方程無解.緊接著教師給出了變式1.

學(xué)生模仿問題4的解法，先由x=1得到m=±3，但是△＜0時出現(xiàn)m2＜9，有的學(xué)生沒能正確得到m的取值范圍.如果學(xué)生理解從m2＜9到m的取值范圍有困難，不妨借助數(shù)軸來完成，則可順利得出-3＜m＜3.

至此，學(xué)生則可體悟出方程無解的兩種情況，一是分式方程增根所產(chǎn)生的，二是一元二次方程的判別式△＜0導(dǎo)致方程無解.

當(dāng)大部分學(xué)生還在解方程組時，已有學(xué)生明白了不需要解方程組，可以借助函數(shù)圖像解決.其實，關(guān)于x、y的方程組無解，就相當(dāng)于拋物線y=x2-2x+3與直線y=-x+m沒有公共點.進(jìn)一步品味方程無解，其往往是具有幾何意義的.

在本節(jié)課即將結(jié)束時，教師提出一個問題：這節(jié)課我們一起研究、討論的都是方程（組）無解的問題，為什么課題卻是“方程有解”呢？目的是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步理解：無解只是方程的解的結(jié)果，在解答過程中體現(xiàn)出來的才是數(shù)學(xué)智慧和思辨能力.同時啟發(fā)學(xué)生在遇到學(xué)習(xí)或生活上的困難時，要擁有“方程有解”的意識，相信總有解決的方法，這種意識對教師而言也很重要，有助于促進(jìn)教師由數(shù)學(xué)教學(xué)走進(jìn)數(shù)學(xué)教育.

本節(jié)課作為初三一輪復(fù)習(xí)課，貫穿初中“數(shù)與代數(shù)”板塊三年所學(xué)的核心內(nèi)容與知識“方程與函數(shù)”，方程知識是明線，函數(shù)知識是暗線.初三階段的一元一次方程、二元一次方程、可化為一元一次方程的分式方程、一元二次方程都被囊括其中；函數(shù)也涵蓋了所有初中階段的一次函數(shù)（含正比例函數(shù)）、反比例函數(shù)及二次函數(shù).可謂知識線長，知識點多，知識源豐富.學(xué)習(xí)過程包含知識與認(rèn)識、方法與想法、思想與感想、體驗與經(jīng)驗的融合.使學(xué)生在投入思維的過程中體悟數(shù)學(xué)、理解數(shù)學(xué)、享受數(shù)學(xué).明眼人都明白我們的教育真的應(yīng)該少一些“消耗式的勤奮”，我們的教學(xué)應(yīng)該少一些“低水平的重復(fù)”.

可能會有人認(rèn)為本節(jié)課挖的太深了，偏離了考試的要求，偏離了教學(xué)的價值.什么是數(shù)學(xué)教學(xué)的價值呢？《標(biāo)準(zhǔn)》指出：“數(shù)學(xué)是人類文化的重要組成部分，數(shù)學(xué)素養(yǎng)是現(xiàn)代社會每一個公民應(yīng)該具備的基本素養(yǎng).作為促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展教育的重要組成部分，數(shù)學(xué)教育既要使學(xué)生掌握現(xiàn)代生活和學(xué)習(xí)中所需要的數(shù)學(xué)知識與技能，更要發(fā)揮數(shù)學(xué)在培養(yǎng)人的思維能力和創(chuàng)新能力方面不可替代的作用.”培養(yǎng)人的基本素養(yǎng)，培養(yǎng)人的思維能力和創(chuàng)新能力難道不是數(shù)學(xué)教學(xué)的價值嗎？數(shù)學(xué)課程的核心任務(wù)就是思維的教學(xué).思辨就是思考辨析，數(shù)學(xué)是思維的科學(xué)，思維是思辨的起點和基礎(chǔ).思辨意識應(yīng)該是思考的時候有在自己心中和自己辯論的意識.上課不僅僅是一種教學(xué)任務(wù)，就這節(jié)課來說，更多的是一種復(fù)習(xí)課的引領(lǐng)，一種教學(xué)的導(dǎo)向，引導(dǎo)一線教師用研究的方法進(jìn)行備課，用研究的視野進(jìn)行選題，用研究的方式進(jìn)行教學(xué)，追求減負(fù)增效的課堂教學(xué)，倡導(dǎo)提高課堂效益的教學(xué).本節(jié)課也是一種喚醒，是喚醒學(xué)生，也是喚醒教師和教育.

學(xué)習(xí)本課，進(jìn)一步提醒學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)或解題時應(yīng)注意多想，解題時做到“先思后做”，解決一個問題務(wù)必做到厘清楚、想明白、寫規(guī)范.無論是舊課復(fù)習(xí)還是新授課，學(xué)生思維的參與是非常重要的.學(xué)生真正變成學(xué)習(xí)的主人，他們就是學(xué)習(xí)過程中的“領(lǐng)導(dǎo)者”“管理者”“創(chuàng)業(yè)者”，否則只能說是學(xué)習(xí)過程中的“打工者”“被動者”.學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)要理解數(shù)學(xué)，其實，數(shù)學(xué)教師更應(yīng)該深度理解數(shù)學(xué)，將數(shù)學(xué)知識的學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為利于學(xué)生理解和消化的教育形態(tài)，是教師理解數(shù)學(xué)的重要體現(xiàn).具備數(shù)學(xué)和教學(xué)雙重素養(yǎng)的教師，善于挖掘數(shù)學(xué)的教育價值，展示數(shù)學(xué)知識和方法的內(nèi)在魅力，指導(dǎo)學(xué)生學(xué)會思考，學(xué)會學(xué)習(xí).