洪亮

摘要：參數(shù)方程是以參變量為中介來(lái)表示曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)的方程，是曲線在同一坐標(biāo)系下的另一種表示形式。高考的選做題中必有一道參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程題，而這應(yīng)該是學(xué)生得分的題目，但從教學(xué)中發(fā)現(xiàn)學(xué)生經(jīng)常出錯(cuò)。以下是本人歸納的參數(shù)方程的錯(cuò)解，希望對(duì)學(xué)生有所幫助。

關(guān)鍵詞：直線參數(shù)方程；參數(shù)的幾何意義；標(biāo)準(zhǔn)形狀

參數(shù)方程作為高考選做題中的一題，學(xué)生應(yīng)該是很容易得分的，但是學(xué)生往往對(duì)此題錯(cuò)誤較多，得不到滿分，甚至得不到分，尤其是直線的參數(shù)方程，以下是直線的參數(shù)方程常見的錯(cuò)解。

經(jīng)過(guò)點(diǎn)M0（x0， y0），傾斜角為α的直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）

一、直線參數(shù)方程未化成標(biāo)準(zhǔn)形狀

例1：在平面直角坐標(biāo)系xoy中，曲線C1的參數(shù)方程為（α為參數(shù)），直線C2方程為，以O(shè)為極點(diǎn)，以x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系。（1）求曲線C1和直線C2的極坐標(biāo)方程；（2）若直線C2與曲線C1交于M、N兩點(diǎn)，求的值。

（2）錯(cuò)解：由直線C2方程為得，直線C2的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），將直線C2的參數(shù)方程代入曲線C1的普通方程 得3t 2-12t+8=0。

設(shè)M， N分別對(duì)應(yīng)的參數(shù)為t1， t2則

所以

解析：此題求C2的參數(shù)方程是錯(cuò)誤的，因?yàn)镃2普通方程中的x的系數(shù)是直線傾斜角α的正切，既不是直線傾斜角α 正弦也不是余弦。而部分學(xué)生認(rèn)為只要把直線的普通方程隨便化成參數(shù)方程，不管它是不是直線參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形狀都可以代入，這就導(dǎo)致了錯(cuò)誤的產(chǎn)生。

正解：直線C2的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），且。將直線C2的參數(shù)方程代入曲線C1的普通方程 得

設(shè)M， N分別對(duì)應(yīng)的參數(shù)為t1， t2則t1·t2=2

所以

二、直線參數(shù)方程中的t的幾何意義不清楚

直線參數(shù)方程中參數(shù)t的幾何意義是直線上的動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)M0的距離等于參數(shù)t的絕對(duì)值。

例2：已知直線l：x+y-1=0與拋物線y= x2交于A， B兩點(diǎn)，求線段AB的長(zhǎng)和點(diǎn)M（-1，2）到A， B兩點(diǎn)的距離之和。

解：因?yàn)橹本€l過(guò)定點(diǎn)M，且直線l的傾斜角為，所以它的參數(shù)方程是（t為參數(shù)）即（t為參數(shù)），把它代入拋物線的方程，得

設(shè)A， B分別對(duì)應(yīng)的參數(shù)為t1， t2

則

錯(cuò)解：，

解析：本題學(xué)生出錯(cuò)的原因在于，未搞清參數(shù)t的幾何意義，誤認(rèn)為，。

實(shí)際上從可以得出t1， t2是異號(hào)的，故

。

三、誤把曲線的參數(shù)方程代入到直線的普通方程

例3：已知極坐標(biāo)系的極點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合，極軸與x軸的非負(fù)半軸重合，曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρcosθ+ ρsinθ=1，曲線C2：（t為參數(shù)）。設(shè)F（0，1），曲線C1、C2相交于不同的兩點(diǎn)A， B，求

解：曲線C1的直角坐標(biāo)方程為x+y-1=0

錯(cuò)解：把曲線C2：（t為參數(shù)）代入到曲線C1的直角坐標(biāo)方程x+y-1=0得t 2+2t-1=0

設(shè)A， B分別對(duì)應(yīng)的參數(shù)為t1， t2則

因?yàn)镕（1，0）在曲線C1上，所以

解析：此題錯(cuò)在把曲線C2的參數(shù)方程代入到直線C1的直角坐標(biāo)方程，所得的關(guān)于t的方程中的t并不是直線參數(shù)方程定義中的t。

正解：直線C1的參數(shù)方程為：（t為參數(shù)）代入到曲線C2的普通方程y2=4x得

設(shè)A， B分別對(duì)應(yīng)的參數(shù)為t1， t2，

所以。

以上是本人在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)的學(xué)生常見的直線參數(shù)方程的錯(cuò)解，當(dāng)然還有不到之處。實(shí)際上只要學(xué)生在做題時(shí)牢牢把握直線參數(shù)方程的定義就不會(huì)出問(wèn)題的。