王 旭1，謝 磊，張孔明1，何子述

(1.西南電子電信技術(shù)研究所，成都610041；2.電子科技大學(xué) 電子工程學(xué)院，成都611731)

1 引 言

跳頻是最常用的擴(kuò)頻方式之一，應(yīng)用廣泛，提高跳頻通信信號的無源定位性能具有重要的意義[1]。本文研究無源雙站對運(yùn)動目標(biāo)定位涉及的跳頻信號多普勒頻差估計(jì)問題，而關(guān)于雙站情況下利用到達(dá)時(shí)間差(Time Difference of Arrival，TDOA)和多普勒頻差(Frequency Difference of Arrival，F(xiàn)DOA)對運(yùn)動輻射源目標(biāo)進(jìn)行無源定位的機(jī)理在相關(guān)文獻(xiàn)中已有論述[2-4]。

FDOA指某一運(yùn)動目標(biāo)相對于兩個(gè)定位站的多普勒頻率的差值。利用FDOA和TDOA可以實(shí)現(xiàn)目標(biāo)定位、跟蹤等[5-8]。對于運(yùn)動目標(biāo)的FDOA和TDOA的聯(lián)合估計(jì)，常見的算法包括基于子空間的頻域高分辨時(shí)差測量算法[9]、基于盲波束形成的方法[10-11]和Hough變換[12]等，而這些算法往往涉及到自相關(guān)矩陣的求逆或者譜分解，計(jì)算量比較大。文獻(xiàn)[13-14]中提到基于最大似然估計(jì)的TDOA和FDOA估計(jì)方法，分別針對相干短脈沖信號和弱平穩(wěn)的數(shù)字通信信號，并且是基于單基站的情形。而針對跳頻信號，國內(nèi)外有不少學(xué)者進(jìn)行了研究。文獻(xiàn)[15]提出了一種基于跳頻信號特征提取參考頻率點(diǎn)處的相位差求TDOA。這種方法從原理上講借鑒了譜相關(guān)擬合相位的思路，估計(jì)精度較高，但要對相位解模糊，計(jì)算復(fù)雜。文獻(xiàn)[16]基于跳頻信號模型的特征，利用不同碼元之間的相位差分來估計(jì)TDOA。這種算法計(jì)算效率高，但要求對載波差的估計(jì)足夠精確，而該精度主要依賴于符號持續(xù)時(shí)間，往往單個(gè)符號的跳頻信號持續(xù)時(shí)間較短，導(dǎo)致對載波差的估計(jì)不準(zhǔn)確，并且這種方法也存在相位模糊的問題需要解決。

對于一個(gè)運(yùn)動目標(biāo)在某時(shí)刻發(fā)出的跳頻脈沖串信號，可以認(rèn)為在跳頻脈沖串信號持續(xù)時(shí)間內(nèi)運(yùn)動目標(biāo)相對于各個(gè)定位站的徑向速度不變，但是由于各脈沖的載波頻率不同，一個(gè)定位站接收到的跳頻脈沖串信號中各個(gè)脈沖對應(yīng)的多普勒頻率將不一致，兩個(gè)定位站各脈沖之間的多普勒頻差也將不同，為充分利用跳頻脈沖串中的信息量提高對跳頻信號的定位性能，本文提出了跳頻脈沖串信號的歸一化頻差最大似然估計(jì)算法，以跳頻脈沖中一個(gè)跳頻頻率的多普勒頻差為基準(zhǔn)，利用所有跳頻脈沖信號對該基準(zhǔn)多普勒頻差進(jìn)行估計(jì)，隨著算法中使用的脈沖信號數(shù)量增多，基準(zhǔn)多普勒頻差估計(jì)性能有明顯改善。該算法避開了矩陣的譜分解和求逆運(yùn)算，運(yùn)行速度較快。

2 基本原理

2.1 基于雙站的多普勒頻差估計(jì)算法

首先假定信號為確定性的，噪聲為白高斯噪聲，則兩個(gè)接收站接收到的信號可以表示為

(1)

式中：a為信號幅度常數(shù)，D1與D2分別表示信號源s[n]到達(dá)兩個(gè)接收站的傳播延遲，ω1與ω2分別表示兩個(gè)接收站接收信號的頻率，n為樣點(diǎn)序號，N為樣點(diǎn)總數(shù)。待估時(shí)差與多普勒頻差參數(shù)矢量定義為

θ=[D2,1,ω2,1]T。

(2)

式中：時(shí)差D2,1=D2-D1，多普勒頻差ω2,1=ω2-ω1。進(jìn)而，接收信號可以等價(jià)地表示為

(3)

為了便于后續(xù)表述，首先定義觀測信號矢量：

(4)

由于信號是確定的，噪聲為復(fù)高斯白噪聲，則觀測矢量的均值滿足

μ(y)=E{y}=x。

(5)

式中：

(6)

x1和x2分別滿足

(7)

可見觀測矢量的均值與參數(shù)θ有關(guān)。相同假設(shè)下，觀測數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣可以表示為

C=E{(y-E{y})(y-E{y})H}=

(8)

顯然，觀測數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣C與參數(shù)θ無關(guān)。為了實(shí)現(xiàn)對FDOA的估計(jì)，這里首先根據(jù)信號模型建立最大似然函數(shù)：

p(y;θD1,s(t))=

(9)

可以得到其最大似然估計(jì)為

(10)

(11)

式中：μ(θ)=[x1,x2]T需要估計(jì)未知信號s[n]，這里我們采用μ(θ)的估計(jì)來近似實(shí)現(xiàn)最大似然估計(jì)，也即

(12)

這里首先采用第一個(gè)接收站接收信號作為x1的估計(jì)，則μ(θ)的估計(jì)滿足

(13)

式中：F{y1,D2,1}表示將信號y1時(shí)移D2,1，可采用時(shí)延濾波器如sinc內(nèi)插器[17-18]等實(shí)現(xiàn)；Φ(ω2,1)定義如下：

(14)

綜上，TDOA與FDOA估計(jì)為

‖Φ(ω2,1)F{y1,D2,1}‖2}。

(15)

在時(shí)延相對信號持續(xù)時(shí)間較小時(shí)，對于恒模信號可認(rèn)為‖Φ(ω2,1)F{y1,D2,1}‖為常數(shù)，則

(16)

這里θ=[D2,1,ω2,1]T，信號y1的延遲形式為

F{y1,D2,1}=[y1[0-D2,1],y1[1-D2,1],…,y1[N-1-D2,1]]T，

(17)

其中每個(gè)元素可采用如下方式實(shí)現(xiàn)：

(18)

式中：K為內(nèi)插器階數(shù)。值得注意的是，如果這里假定時(shí)差D2,1已知，則由式(16)得到頻差估計(jì)表達(dá)式：

(19)

進(jìn)一步，如果時(shí)差為零，則

(20)

在更一般的情況下，時(shí)差是未知的，可以采用二維網(wǎng)格搜索的方法得到TDOA與FDOA的解。

網(wǎng)格搜索的步驟如下：

Step1 確定二維網(wǎng)格搜索精度，將搜索區(qū)域劃分為g1,g2,…,gG，G為網(wǎng)格數(shù)。

Step2 將第i個(gè)網(wǎng)格對應(yīng)的向量gi賦值給未知參數(shù)θ，i初始化值為1。

Step4 將i+1賦值給i，也即i=i+1，并重復(fù)Step 2～4，直到i=G。

Step5 將c(θ)最大值對應(yīng)的搜索網(wǎng)格值作為參數(shù)θ的估計(jì)輸出。

2.2 跳頻信號歸一化多普勒頻差最大似然估計(jì)算法

將上面的方法應(yīng)用到跳頻脈沖信號形式，由于每個(gè)脈沖的載波頻率各不相同，所以每個(gè)脈沖的多普勒頻差也不同，于是可以將二維搜索目標(biāo)函數(shù)可改寫為如下表達(dá)式：

(21)

式中：Np為脈沖信號個(gè)數(shù)，y1,i與y2,i分別表示兩路觀測量的第i個(gè)脈沖信號矢量，

αi=fc,i/fc。

(22)

式中：fc,i表示第i個(gè)脈沖的載波頻率，fc表示參考載波頻率。算法所估計(jì)出的FDOA也是在參考載波頻率下的FDOA，而利用該已知的參考頻率與估計(jì)得到的FDOA即可計(jì)算出目標(biāo)的徑向速度差，或是直接使用下式估計(jì)TDOA與FDOA：

(23)

這里y1、y2與ΦΣ(ω2,1)由下面的定義式給出：

(24)

(25)

(26)

式中：y1,i與y2,i分別表示兩路觀測量的第i個(gè)脈沖信號矢量，對角矩陣Φ(αiω2,1)表示第i個(gè)脈沖對應(yīng)的變頻矩陣，其定義與式(14)相似。

多普勒頻差估計(jì)的步驟如下：

Step1 讀取數(shù)據(jù)，包括脈沖數(shù)、采樣率、跳頻圖及中頻脈沖信號。

Step2 通過Hilbert變換將輸入中頻信號轉(zhuǎn)換為I/Q信號。

Step3 采樣復(fù)信號互相關(guān)時(shí)差估計(jì)方法測量信號到達(dá)兩個(gè)觀察站的到達(dá)時(shí)間差。通過網(wǎng)格搜索兩路復(fù)信號間的互相關(guān)峰值對應(yīng)的時(shí)延即為兩路信號間的相對延遲(到達(dá)時(shí)間差)。

Step4 將兩路信號在時(shí)延上對齊(例如，第一路信號較第二路信號延遲了200個(gè)樣本點(diǎn)，則將第二路信號的前200個(gè)樣本點(diǎn)丟棄，同時(shí)將第一路信號的后200個(gè)樣本點(diǎn)丟棄，使得后面參與多普勒頻差估計(jì)的兩路信號的起始時(shí)刻相同)。

Step5 根據(jù)Step 4，重新確定第二路信號的跳頻序列。

Step6 根據(jù)脈沖周期將兩路信號分別存儲為矩陣形式，矩陣的每一列表示持續(xù)時(shí)間長度為一個(gè)脈沖周期的信號樣本序列。

Step7 跳變沿檢測完成符號同步，然后取出有用信號(復(fù)觀察信號)。

Step8 在Step 3中已經(jīng)粗略估計(jì)了一個(gè)頻差，在預(yù)估頻差周圍進(jìn)行兩次搜索多普勒頻差估計(jì)目標(biāo)函數(shù)峰值，使結(jié)果更精確，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)取得最大值時(shí)即得到雙站間的多普勒頻差估計(jì)結(jié)果。

Step9 由多普勒頻差計(jì)算目標(biāo)徑向速度差。

3 雙站多普勒頻差估計(jì)仿真

為仿真兩個(gè)固定觀測站實(shí)現(xiàn)運(yùn)動目標(biāo)無源定位的多普勒頻差估計(jì)性能，假設(shè)觀測站1的坐標(biāo)為(0,-10) km，觀測站2的坐標(biāo)為(0,10) km。

設(shè)置跳頻信號頻率范圍為1～1.2 GHz，跳頻帶寬為200 MHz，跳頻的頻率間隔為5 MHz，隨機(jī)選取跳頻圖案產(chǎn)生300個(gè)跳頻脈沖信號，跳頻脈沖持續(xù)時(shí)間為10 μs，調(diào)制方式為MSK，符號率設(shè)為5 Mbit/s，瞬時(shí)帶寬為3.5 MHz。

仿真工具為Matlab 2013，電腦主要配置:Intel(R) Pentium(R) G630 @2.70 GHz CPU，4 GB RAM。

3.1 不同輸入脈沖個(gè)數(shù)下的仿真

該仿真分析算法所使用的脈沖數(shù)量與多普勒頻差估計(jì)性能的關(guān)系，并與基于子空間算法進(jìn)行對比分析。假設(shè)目標(biāo)坐標(biāo)為(215，24) km，目標(biāo)的速度向量為(257，86)m/s，通過矢量運(yùn)算，可以計(jì)算得到目標(biāo)到觀測站1的徑向速度267.278 6 m/s，目標(biāo)到觀測站2的徑向速度為262.045 0 m/s，實(shí)際徑向速度差為-5.233 5 m/s。設(shè)定信噪比為10 dB。

根據(jù)上述仿真參數(shù)，仿真數(shù)據(jù)存在41個(gè)跳頻頻點(diǎn)，設(shè)置參考載波頻率fc為1 GHz，則式(21)的αi取值為(1.000，1.005，1.010，1.015，…，1.200)，按照歸一化多普勒頻差最大似然估計(jì)的9個(gè)步驟估計(jì)出多普勒頻差。圖1和圖2給出了不同輸入脈沖個(gè)數(shù)下分別進(jìn)行100次獨(dú)立試驗(yàn)，通過公式

(27)

得到的多普勒頻差估計(jì)RMSE，然后比較RMSE及運(yùn)行時(shí)間與所使用的脈沖個(gè)數(shù)的關(guān)系。

仿真基于子空間算法時(shí)，分別在每一個(gè)跳頻頻點(diǎn)上估計(jì)出對應(yīng)的多普勒頻差，然后由式(22)換算成參考載波頻率1 GHz上的頻差，可得到41個(gè)多普勒頻差，取平均值得到最終的參考載波頻率多普勒頻差估計(jì)值。

圖1 雙站下多普勒頻差估計(jì)均方根誤差與脈沖個(gè)數(shù)間關(guān)系Fig.1 The relationships between MSE of Doppler frequency estimation and the number of pulse on double-base situation

從圖1中可以得到以下結(jié)論：

(1)當(dāng)所使用的脈沖數(shù)越來越多的時(shí)候，多普勒頻差估計(jì)的均方根誤差越來越小，這說明脈沖數(shù)越多為多普勒頻差估計(jì)提供的信息量越大；

(2)當(dāng)脈沖數(shù)量較少時(shí)(比如少于100個(gè)脈沖)，歸一化多普勒頻差最大似然估計(jì)算法好于基于子空間的算法，這主要是式(21)使用了不同跳頻頻點(diǎn)的所有脈沖信號對參考載波頻率上的多普勒頻差進(jìn)行估計(jì)，而基于子空間算法是在不同跳頻頻點(diǎn)上分別估計(jì)出相應(yīng)的多普勒頻差，可以認(rèn)為歸一化多普勒頻差最大似然估計(jì)算法具有全局最優(yōu)性；

(3)當(dāng)脈沖數(shù)量達(dá)到一定數(shù)量后(比如200個(gè)脈沖)，算法所用脈沖數(shù)量的增加對性能的改善不明顯，這對實(shí)際工程中選取脈沖數(shù)量具有指導(dǎo)意義。

圖2給出了所提算法與文獻(xiàn)[7]中所提算法的效率的比較，可以看出在使用脈沖數(shù)量大于200時(shí)，所提算法效率逐漸提升，當(dāng)脈沖數(shù)量為240時(shí)，效率提升在30%以上。因?yàn)槲墨I(xiàn)[7]中所提基于子空間的算法涉及到自相關(guān)矩陣的譜分解，會帶來較大的計(jì)算量，而所提基于最大似然估計(jì)的算法避開了這些計(jì)算。

圖2 所提算法與基于子空間的算法效率比較Fig.2 The efficiency comparison between the proposed algorithm and the subspace algorithm

3.2 不同SNR下的仿真

在不同SNR下分別進(jìn)行200次獨(dú)立試驗(yàn)，圖3給出了多普勒頻差估計(jì)RMSE與速度差估計(jì)RMSE仿真結(jié)果。仿真中采用128個(gè)脈沖數(shù)據(jù)進(jìn)行一次多普勒測量，觀測站位置設(shè)置與前面雙站仿真案例相同。目標(biāo)位置坐標(biāo)(220,30) km，目標(biāo)速度(-228,-186)m/s，仿真了SNR為[0∶2∶20]dB時(shí)的估計(jì)精度。

圖3 雙站下多普勒頻差及速度差估計(jì)精度與SNR間關(guān)系Fig.3 The relationship between the accuracy of Doppler frequency difference estimation and velocity difference estimation and SNR on double-base situation

對于雙站仿真，圖中仿真結(jié)果與預(yù)計(jì)結(jié)果接近，隨著SNR的增大，估計(jì)的均方根誤差越來越小。

4 結(jié)束語

本文針對兩個(gè)觀測站估計(jì)跳頻脈沖信號多普勒頻差問題，先構(gòu)造一個(gè)關(guān)于FDOA的似然函數(shù)，然后用網(wǎng)格搜索的辦法找到使似然函數(shù)最大的頻差。從仿真結(jié)果可以看出，這種方法具有很高精度，充分利用了跳頻脈沖串中不同頻率的多普勒頻差信息提高了對速度差的估計(jì)性能；隨著利用的跳頻脈沖數(shù)量增多估計(jì)性能越高，并且基于這種多輪搜索的算法與基于子空間的算法相比較在使用脈沖數(shù)較多時(shí)效率提升較為明顯。在后續(xù)研究中，一方面應(yīng)考慮對所提算法的實(shí)現(xiàn)過程進(jìn)行進(jìn)一步優(yōu)化，提高執(zhí)行效率；另一方面，在三站以上的多站定位系統(tǒng)中，應(yīng)研究利用所有接收站的接收信號實(shí)現(xiàn)對多個(gè)FDOA的估計(jì)算法，提升FDOA估計(jì)精度用于更精確的目標(biāo)定位。