魏 鵬，陸銳敏，謝世珺

(總參第六十三研究所，南京 210007)

1 引言

π/4－DQPSK 因其比QPSK 更小的包絡(luò)波動(dòng)、更高的頻率效率及無(wú)需載波同步的差分解調(diào)算法在移動(dòng)通信和衛(wèi)星數(shù)字通信等領(lǐng)域中得到了廣泛的應(yīng)用［1］，但是其差分解調(diào)性能會(huì)因相對(duì)符號(hào)速率較大的頻差而迅速惡化，也即一定的頻差對(duì)低速(相對(duì)頻差而言)π/4－DQPSK 差分解調(diào)性能影響更大，因而對(duì)其頻差進(jìn)行估計(jì)是非常必要的。

目前常用的頻差估計(jì)方法可分為基于快速傅里葉變換(Fast Fourier Transform，F(xiàn)FT)算法的頻域估計(jì)算法和基于自相關(guān)函數(shù)的時(shí)域估計(jì)算法。頻域估計(jì)算法的基本思路是將接收到的調(diào)制信號(hào)轉(zhuǎn)換為單音信號(hào)，再進(jìn)行2 的冪次方點(diǎn)數(shù)的FFT，最后搜索峰值并計(jì)算頻差，這類(lèi)算法運(yùn)算量不大，精度高，可以實(shí)時(shí)實(shí)現(xiàn)，但頻差估計(jì)精度受FFT“柵欄”效應(yīng)影響較大。為此，Rife 算法［2］、插值FFT 算法［3－4］、加窗FFT 算法等多種改進(jìn)方法被提出，但這些方法都是以運(yùn)算量的增加來(lái)?yè)Q取頻率估計(jì)精度的提高?；谧韵嚓P(guān)函數(shù)的頻差估計(jì)算法主要有Kay 估計(jì)［5］、Fiz估計(jì)［6］及L＆R 估計(jì)［7］等算法，這類(lèi)算法中接收機(jī)根據(jù)發(fā)送的已知復(fù)M 序列，在本地產(chǎn)生一個(gè)共軛序列，與接收到的M 序列進(jìn)行相關(guān)運(yùn)算，得到一個(gè)去除了調(diào)制信息的單音信號(hào)，然后對(duì)這個(gè)單音信號(hào)進(jìn)行不同延遲的相關(guān)、加權(quán)及求反正切運(yùn)算得到頻差的估計(jì)值。這類(lèi)算法必須首先完成位同步和幀同步，且Fitz 算法和L＆R 估計(jì)算法估計(jì)范圍及精度與采用自相關(guān)運(yùn)算分支數(shù)N 有關(guān)，F(xiàn)itz 估計(jì)的歸一化頻率范圍為，L＆R 估計(jì)的歸一化頻率范圍為，其中R 為AD 采樣倍數(shù)，N 為小于復(fù)M序列長(zhǎng)度的正整數(shù)，N 越大，估計(jì)精度越高，估計(jì)范圍越小。此外，文獻(xiàn)［8］提出了一種基于自回歸(Auto Regressive，AR)模型、FFT 和二階鎖相環(huán)相結(jié)合的GMSK 信號(hào)頻差捕獲和跟蹤方法，具有頻差估計(jì)范圍大、精度高且不需要首先完成幀同步的優(yōu)點(diǎn)，但三種方法的結(jié)合無(wú)疑使得系統(tǒng)結(jié)構(gòu)更加復(fù)雜，運(yùn)算量大增。

本文結(jié)合無(wú)線通信系統(tǒng)中常用M 序列進(jìn)行信道估計(jì)和各種同步的實(shí)際情況，提出了一種基于相關(guān)峰檢測(cè)的頻差估計(jì)方法，該頻差估計(jì)方法可與位同步、幀同步同時(shí)實(shí)現(xiàn)，用較小的代價(jià)將頻差控制在π/4－DQPSK 解調(diào)所允許的頻差范圍之內(nèi)。

2 基于相關(guān)峰檢測(cè)的頻差估計(jì)原理

圖1 所示為基于相關(guān)峰檢測(cè)的頻差估計(jì)原理框圖。接收信號(hào)為帶有頻差的基帶信號(hào)，不考慮噪聲的影響，則接收信號(hào)可記為

式(1)中的實(shí)部和虛部分別對(duì)應(yīng)圖1 中的I 和Q，Δf 和Δφ 分別為頻差和相差。這兩路基帶信號(hào)經(jīng)過(guò)AD 采樣、匹配濾波、差分解調(diào)后得到兩路包含M 序列的抽樣前信號(hào)ck和dk。若沒(méi)有頻差，抽樣判決后可得到發(fā)送序列，但較大頻差存在的情況下可能導(dǎo)致抽樣判決出錯(cuò)或性能下降。

圖1 基于相關(guān)峰檢測(cè)的頻差估計(jì)算法原理框圖Fig.1 The frequency offset estimation diagram based on correlation peak detection

將ck和dk分別進(jìn)行相關(guān)檢測(cè)，當(dāng)接收信號(hào)與本地M 序列完全匹配時(shí)有

式中，Icorr和Qcorr分別表示I 路和Q 路的相關(guān)峰值;I'和Q'表示本地的I、Q 兩路M 序列，其值均為1 或－1;l 表示M 序列長(zhǎng)度;R 表示每符號(hào)AD 采樣倍數(shù)。當(dāng)I 路信號(hào)與Q 路信號(hào)所采用的M 序列不相關(guān)時(shí)，式(2)中的后一項(xiàng)由于接收信號(hào)與本地M 序列不相關(guān)，從而可以忽略，而前一項(xiàng)隨著頻差Δf 的增大而減小(一定范圍內(nèi))，無(wú)法從中獲取頻差信息;而當(dāng)I 路信號(hào)與Q 路信號(hào)所采用的M 序列相同時(shí)有In×l+i=Qn×l+i，cn×R+i=dn×R+i。則式(3)可簡(jiǎn)化為

將式(3)中的Icorr與Qcorr相除得

將式(3)中的Icorr與Qcorr求平方和得

式(4)僅包含頻差信息，式(5)是不受頻差影響的I 路和Q 路相關(guān)峰值的平方和，因此可根據(jù)式(5)首先檢測(cè)到相關(guān)峰出現(xiàn)的位置，然后根據(jù)式(4)計(jì)算頻偏。由式(4)可知，該算法的估計(jì)范圍為

即頻差估計(jì)范圍在符號(hào)速率的－1/8～3/8 之間，用采樣頻率fs作為歸一化頻率，R 為采樣倍數(shù)，則

當(dāng)不存在頻差時(shí)，I 與Q 路檢測(cè)出的峰值接近，隨著頻差的增大，一路的峰值減小，另一路的峰值增大，但其平方和基本保持不變。

3 基于相關(guān)峰檢測(cè)的頻差估計(jì)算法仿真

采用Matalab 對(duì)本文提出的基于相關(guān)峰檢測(cè)的頻差估計(jì)算法進(jìn)行仿真，將其頻差估計(jì)范圍和精度與傳統(tǒng)的Kay 估計(jì)、Fitz 估計(jì)、L＆R 估計(jì)進(jìn)行定量對(duì)比?？紤]到實(shí)際通信系統(tǒng)中用于信道估計(jì)或同步所支持的實(shí)際M 序列不宜過(guò)長(zhǎng)，如每秒16 000跳，信道2.56 Mb/s，采用π/4－DQPSK 調(diào)制的跳頻通信系統(tǒng)中，每跳可傳輸80個(gè)符號(hào)(160 b)，仿真中設(shè)置M 序列長(zhǎng)度為104 b，I、Q 兩路包含相同的52 b M 序列，其余比特用來(lái)傳輸如時(shí)間信息、跳頻密鑰等其他同步信息。顯而易見(jiàn)，M 序列的長(zhǎng)度越長(zhǎng)，相關(guān)峰值受噪聲影響越小，頻差估計(jì)精度越高，但更長(zhǎng)的M序列也意味著傳輸效率的降低和運(yùn)算量的增加。I、Q 兩路信號(hào)經(jīng)π/4－DQPSK 調(diào)制，內(nèi)插(R=12)和成型濾波之后加入頻偏和高斯白噪聲。接收端使用不同的頻差估計(jì)算法對(duì)頻差進(jìn)行估計(jì)，其中，F(xiàn)itz 估計(jì)和L＆R 估計(jì)的相關(guān)分支數(shù)N=1，保證其足夠的估計(jì)范圍。

3.1 基于相關(guān)峰檢測(cè)的頻差估計(jì)范圍仿真

圖2 所示為基于相關(guān)峰檢測(cè)算法的頻差估計(jì)范圍仿真結(jié)果。仿真中設(shè)置800個(gè)頻差，取值為Δf=，N 在－400～400 之間取值。由仿真結(jié)果可見(jiàn)，在橫軸對(duì)應(yīng)的－100 和32 點(diǎn)，即頻差約為－0.01，之間的頻差可得到正確的估計(jì)，頻差超出此范圍時(shí)，估計(jì)出錯(cuò)，此結(jié)果與式(8)的理論推導(dǎo)一致。

圖2 相關(guān)峰檢測(cè)算法頻差估計(jì)范圍Fig.2 The frequency offset estimation rang based on correlation peak detection

3.2 基于相關(guān)峰檢測(cè)的頻差估計(jì)精度仿真

為全面評(píng)估基于相關(guān)峰檢測(cè)的頻差估計(jì)精度，在其頻差估計(jì)范圍內(nèi)取3個(gè)不同量級(jí)的歸一化頻差0.03、0.005 和0.0004 進(jìn)行仿真。

圖3 和圖4 所示為頻差Δf=0.03 時(shí)相關(guān)峰估計(jì)算法與Kay 估計(jì)、Fitz 估計(jì)、L＆R 估計(jì)的仿真對(duì)比。由仿真結(jié)果可知，相關(guān)峰估計(jì)能夠較準(zhǔn)確地估計(jì)出頻差，當(dāng)信噪比Eb/N0在0 dB以上時(shí)，均方誤差小于2 ×10－4;而其他三種估計(jì)因頻差超出了其估計(jì)范圍不能對(duì)頻差進(jìn)行正確估計(jì)，均方誤差超出圖4 顯示范圍。此仿真結(jié)果并不能說(shuō)明相關(guān)峰估計(jì)的范圍更大，當(dāng)AD 采樣倍數(shù)R=12 時(shí)，相關(guān)峰估計(jì)的范圍為－0.01～0.03，其他三種估計(jì)的范圍為－0.02～0.02，因而其估計(jì)范圍相當(dāng)。

圖3 頻差估計(jì)精度比對(duì)(Δf=0.03)Fig.3 Comparison of frequency offset estimation precision when Δf=0.03

圖4 頻差估計(jì)均方誤差比對(duì)(Δf=0.03)Fig.4 Comparison of frequency offset estimation MSE when Δf=0.03

圖5 和圖6 所示為頻差Δf=0.005 時(shí)相關(guān)峰估計(jì)算法與Kay 估計(jì)、Fitz 估計(jì)、L＆R 估計(jì)的仿真對(duì)比。由仿真結(jié)果可知，四種估計(jì)方法的精度接近，當(dāng)信噪比在0 dB以上時(shí)，均方誤差均小于2 ×10－4。

圖5 頻差估計(jì)精度比對(duì)(Δf=0.005)Fig.5 Comparison of frequency offset estimation precision when Δf=0.005

圖6 頻差估計(jì)均方誤差比對(duì)(Δf=0.005)Fig.6 Comparison of frequency offset estimation MSE when Δf=0.005

圖7 和圖8 所示為頻差Δf=0.000 4 時(shí)相關(guān)峰估計(jì)算法與Kay 估計(jì)、Fitz 估計(jì)、L＆R 估計(jì)的仿真對(duì)比。由仿真結(jié)果可知，相關(guān)峰估計(jì)的精度略差于其他三種估計(jì)，但仍能滿足當(dāng)信噪比在0 dB以上時(shí)均方誤差均小于2 ×10－4。

圖7 頻差估計(jì)精度比對(duì)(Δf=0.000 4)Fig.7 Comparison of frequency offset estimation precision when Δf=0.000 4

圖8 頻差估計(jì)均方誤差比對(duì)(Δf=0.000 4)Fig.8 Comparison of frequency offset estimation MSE when Δf=0.000 4

由本節(jié)仿真結(jié)果可知，在頻差較小的情況下，相關(guān)峰估計(jì)的頻差估計(jì)精度不及Kay 估計(jì)、Fitz 估計(jì)及L＆R 估計(jì)等經(jīng)典估計(jì)算法，但其估計(jì)誤差能夠保證在信噪比0 dB以上小于2 ×10－4，那么此精度能否滿足π/4－DQPSK 解調(diào)性能的要求呢?為此，下面對(duì)頻差對(duì)π/4－DQPSK 差分解調(diào)性能影響進(jìn)行仿真。

3.3 頻差對(duì)π/4－DQPSK 解調(diào)性能影響仿真

仿真設(shè)置中的內(nèi)插倍數(shù)、成型濾波參數(shù)設(shè)置不變，將仿真數(shù)據(jù)的長(zhǎng)度設(shè)為160 000個(gè)，分別引入歸一化頻差為0.001 5、0.001 3、0.001 1、0.000 9、0.000 7、0.000 5。由圖9 仿真結(jié)果可知，當(dāng)歸一化頻差在0.000 5 時(shí)已完全不影響解調(diào)性能，因而當(dāng)估計(jì)誤差小于2 × 10－4時(shí)完全能夠滿足π/4－DQPSK 解調(diào)性能的要求。

圖9 頻差對(duì)π/4－DQPSK 解調(diào)性能的影響Fig.9 The influence of frequency offset on π/4－DQPSK demodulation performance

3.4 運(yùn)算量比較

設(shè)M 序列的長(zhǎng)度為L(zhǎng)，則Kay 估計(jì)、Fitz 估計(jì)、L＆R 估計(jì)需要在完成位同步和幀同步之后將M 序列的調(diào)制信號(hào)與本地M 序列經(jīng)相同調(diào)制后的共軛進(jìn)行復(fù)數(shù)乘得到包含頻差的單音信號(hào)，這需要進(jìn)行L 次復(fù)數(shù)乘;對(duì)Kay 估計(jì)，需要事先計(jì)算一組加權(quán)系數(shù)，其個(gè)數(shù)為L(zhǎng)，然后將包含頻差的單音信號(hào)與其共軛延遲(延遲1 符號(hào))進(jìn)行復(fù)數(shù)乘，對(duì)所得結(jié)果的實(shí)部、虛部之比求反正切，并對(duì)L個(gè)反正切進(jìn)行加權(quán)平均得到頻差的估計(jì)值，因此還需要L 次復(fù)數(shù)乘、L 次實(shí)數(shù)除(可等同實(shí)數(shù)乘)、L 次求反正切、1 次加權(quán)平均(L 次實(shí)數(shù)乘和1 次實(shí)數(shù)除);對(duì)Fiz 估計(jì)，其自相關(guān)分支數(shù)N=1 時(shí)，則需要將包含頻差的單音信號(hào)與其共軛延遲(延遲1 符號(hào))進(jìn)行復(fù)數(shù)乘，并將結(jié)果求和，計(jì)算實(shí)部與虛部比值的反正切后除以其求和的個(gè)數(shù)得到頻差的估計(jì)值，因此需要L 次復(fù)數(shù)乘、1次L個(gè)復(fù)數(shù)求和(等于2L 次實(shí)數(shù)加)、1 次求反正切及1 次除法。當(dāng)其自相關(guān)分支數(shù)據(jù)為N ＞1 時(shí)，其運(yùn)算量為1 時(shí)的N 倍;對(duì)L＆R 估計(jì)的運(yùn)算量與Fitz估計(jì)相當(dāng)?；谙嚓P(guān)峰估計(jì)算法可以將頻差檢測(cè)與位同步、幀同步同時(shí)完成，對(duì)差分解調(diào)后的I、Q 兩路信號(hào)進(jìn)行相關(guān)峰檢測(cè)，則一個(gè)采樣時(shí)鐘內(nèi)需計(jì)算2LR 次實(shí)數(shù)加。若假設(shè)相關(guān)峰法已經(jīng)首先完成了位同步和幀同步，則其2LR 次加法只需在LR個(gè)采樣時(shí)鐘內(nèi)完成即可。幾種頻差估計(jì)算法的運(yùn)算量比較見(jiàn)表1。

表1 幾種頻差估計(jì)算法的運(yùn)算量比較Table 1 Computational complexity comparison among several frequency offset estimation algorithms

由表1 可見(jiàn)，相比于其他三種估計(jì)方法，基于相關(guān)峰的頻差估計(jì)算法無(wú)需進(jìn)行消耗硬件資源較多的乘法運(yùn)算，非常適合于在FPGA、DSP 等可編程器件中實(shí)現(xiàn)。

4 結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)低速π/4－DQPSK 差分解調(diào)性能受頻差影響較大的問(wèn)題，本文提出了一種基于相關(guān)峰檢測(cè)算法的頻差估計(jì)算法。該算法在I、Q 兩路發(fā)送的M碼序列相同的條件下，根據(jù)I、Q 兩路信號(hào)的相關(guān)峰值求得頻差，而無(wú)需像其他估計(jì)方法那樣首先去除調(diào)制信息，恢復(fù)只包含頻差信息的單音信號(hào)后再進(jìn)行頻差估計(jì)。數(shù)值仿真結(jié)果表明其估計(jì)范圍與Kay估計(jì)、Fitz 估計(jì)及L＆R 估計(jì)等經(jīng)典估計(jì)算法相當(dāng)(Fitz 估計(jì)和L＆R 估計(jì)在相關(guān)分支數(shù)N=1 時(shí))，估計(jì)精度略差，但在其估計(jì)范圍內(nèi)估計(jì)的均方誤差均小于2 ×10－4，能夠滿足π/4－DQPSK 差分解調(diào)時(shí)頻差小于0.000 5 的要求。此外，該算法具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單(只需對(duì)差分解調(diào)結(jié)果進(jìn)行相關(guān)運(yùn)算)、運(yùn)算量小(只需加法運(yùn)算)且不需要首先完成位同步和幀同步的優(yōu)點(diǎn)，非常有利于系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)。不足之處在于本文提出的頻差估計(jì)方法根據(jù)π/4－DQPSK 差分解調(diào)導(dǎo)出，后續(xù)應(yīng)對(duì)其是否能應(yīng)用于其他調(diào)制方式做進(jìn)一步研究。

［1］劉聰鋒.高效數(shù)字調(diào)制技術(shù)及其應(yīng)用［M］.北京:人民郵電出版社，2006.LIU Congfeng.Efficient Digital Modulation Technirue and Its Application［M］.Beijing:People's Posts and Telecommunication Press，2006.(in Chinese)

［2］Rife D C，Boorstyn R R.Single－Tone Parameter Estimation from Discrete－Time Observations［J］.IEEE Transactions on Information Theory，1974，20(5):591－598.

［3］Aboutanios E，Mulgrew B.Iterative Frequency Estimation by Interpolation on Fourier Coefficiens［J］.IEEE Transactions on Signal Processing，2005，53(4):1237－1242.

［4］龔超，張邦寧，郭道省.基于FFT 的快速高精度載波聯(lián)合參數(shù)估計(jì)算法［J］.電子學(xué)報(bào)，2010，38 (4):766－770.GONG Chao，ZHANG Bangning，GUO Daoxing.A Quick and Accurate Union Carrier Parameter Estimation Algrithm Based on FFT［J］.Acta Electronica Sinica，2010，38(4):766－770.(in Chinese)

［5］Kay S.A fast and Accurate Single Frequency Estimator［J］.IEEE Transactions on Acoustics，Speech，and Signal Processing，1989，37(12):1987－1990.

［6］Fiz M P.Further Results in the FastEstimation of a Single Frequency［J］.IEEE Transactions on Communications，1994，42(2/3/4):862－864.

［7］Lovell B C，Williamson R C.The statistical performance of some instantaneous frequency estimators［J］.IEEE Transactions on Signal Processing，1992，40(7):1708－1723.

［8］吳團(tuán)鋒，徐友云，歸琳，等.Turbo 編碼GMSK 信號(hào)的多普勒頻移捕獲與跟蹤［J］.電訊技術(shù)，2011，51(8):61－65.WU Tuanfeng，XU Youyun，GUI Lin，et al.Doppler Frequency Shift Acquisition and Tracking for Turbo Coded GMSK Signals［J］.Telecommunication Engineering，2011，51(8):61－65.(in Chinese)