唐文虎

前言：十年前，我們開始了“數(shù)學(xué)實驗室”的設(shè)計；八年前，我們申請成功由國家版權(quán)局頒發(fā)的“計算機(jī)軟件著作權(quán)登記證書”；五年前，《高中數(shù)學(xué)圖形語言》正式出版；三年前，“球形直觀圖及北極點(diǎn)位置的構(gòu)圖方法及使用模板”獲國家發(fā)明專利……在此，我們發(fā)表最新的學(xué)術(shù)論證。

當(dāng)前的問題

在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，人們一般用斜二測畫法畫多面體，用正等測畫法畫旋轉(zhuǎn)體。那么，如果要畫一個多面體與旋轉(zhuǎn)體結(jié)合的圖形，該用什么方法畫呢？這個問題目前至少在認(rèn)識上是模糊的，不僅國內(nèi)如此，從現(xiàn)有的資料來看，美國也這樣。于是，八仙過海，各顯神通。圖1（a）是國內(nèi)很有代表性的一幅圖：半球內(nèi)接正六棱錐。

這幅圖畫的是多面體與旋轉(zhuǎn)體相結(jié)合的幾何體的直觀圖。相信很多教師都試圖畫過這樣的圖，無奈這種圖既無法用斜二測畫法畫出，也無法用正等測畫法畫出。于是，對于這種嚴(yán)重影響學(xué)生空間想象力的圖，大家都把它叫做示意圖。

什么叫示意圖？在立體幾何中，示意圖就是大體地畫出幾何體的形狀、大小以及位置關(guān)系，突出重點(diǎn)，允許忽略細(xì)節(jié)。由于示意圖不需要理由，可以各行其是，深受廣大教師歡迎。在圖1中，我們可以看到，平行投影中的重點(diǎn)——平行不變性已被破壞殆盡。因此，這樣的示意圖是無法對某些性質(zhì)進(jìn)行示意的（如平行線段）。

平行投影與軸測投影的區(qū)別

中學(xué)的立體幾何直觀圖，主要是建立在平行投影基礎(chǔ)上的。平行投影又分斜平行投影和正平行投影。斜二測畫法畫出的直觀圖是斜平行投影下的一種特殊方向的投影結(jié)果；正等測畫法畫出的直觀圖是正平行投影下的一種特殊方向的投影結(jié)果。軸測投影國家標(biāo)準(zhǔn)（GB/T4458.3-2013）推薦使用斜二測畫法和正等測畫法畫直觀圖，于是，斜二測畫法和正等測畫法畫直觀圖成了立體幾何教學(xué)中的不二選擇。

選擇一個恰當(dāng)?shù)男逼叫型队胺较?，可以得到斜二測直觀圖（如圖2），所以斜二測直觀圖僅僅是幾何體的一個影子，這一點(diǎn)不被人們所重視。

如果我們要畫一個多面體與旋轉(zhuǎn)體的綜合體，用斜二測畫法畫多面體，又用正等測畫法畫旋轉(zhuǎn)體，那么其結(jié)果必然是半是影子半是幾何體的不倫不類的樣子。這時得到傳統(tǒng)結(jié)論：把空間圖形實際的幾何特征完全表示在平面上是不可能的。

注意到軸測投影對投影方向的規(guī)定：平行投影方向不平行于任何一個坐標(biāo)平面?？梢姡S測投影僅僅是平行投影的一部分。

但“生活經(jīng)驗告訴我們的圓錐是這樣的（如圖3）”這種表述已經(jīng)表明了把空間圖形實際的幾何特征表示在平面上是可能的，只是按照現(xiàn)有的規(guī)則無法得到。這說明了我們原先的教材理論有不足或缺陷——這個缺陷就是用軸測投影代替平行投影時漏掉了“生活經(jīng)驗告訴我們的”投影方向。這個投影方向平行于空間直角坐標(biāo)系O-xyz中的xOz平面，我們把這種投影稱作T平行投影（如圖4）。

對其他平行投影的排斥，使得中學(xué)數(shù)學(xué)直觀圖的研究進(jìn)入死胡同

“其他投影我們基本不涉及”，這是一種固執(zhí)。這種對其他平行投影的排斥，使得中學(xué)數(shù)學(xué)直觀圖的研究進(jìn)入死胡同。

其實，“生活經(jīng)驗告訴我們的圓錐是這樣的”已經(jīng)承認(rèn)了其他平行投影方式的存在。T平行投影就是這種投影的理論探索。

由于“T平行投影”不滿足“投影方向與三個坐標(biāo)平面都不平行（這是軸測投影的前提）”的要求，所以它被排斥在機(jī)械制圖的軸測投影之外。正是由于這個原因，想在傳統(tǒng)的理論體系內(nèi)找依據(jù)始終不能如愿。

T平行投影+旋轉(zhuǎn)，使得直觀圖研究柳暗花明

T平行投影只是平行投影的一種，它并不違背中學(xué)數(shù)學(xué)的宗旨。T平行投影方向：設(shè)平行投影線與x軸、y軸、z軸的夾角依次為α、90°、90°-α（α為銳角），則稱這種投影方向為T平行投影方向。以半球內(nèi)接正六棱錐為例，T平行投影畫出的直觀圖一開始是如圖5所示的樣子。如果覺得這個圖直觀性不太好，可以圍繞著旋轉(zhuǎn)軸進(jìn)行適當(dāng)?shù)男D(zhuǎn)（如圖6）。

可見，利用T平行投影+旋轉(zhuǎn)，可以完美地解決幾十年來存在于教材中的困惑（半球赤道橢圓短軸∶長軸=1∶5時，縱向伸縮系數(shù)≈0.98≈1）。

使用模板便捷作圖

使用根據(jù)該理論設(shè)計的模板，可以便捷地作出旋轉(zhuǎn)體以及多面體與旋轉(zhuǎn)體的混合直觀圖（橢圓上帶有旋轉(zhuǎn)刻度，旋轉(zhuǎn)很方便）等。

T平行投影的意義

軸測投影僅僅是平行投影的一部分。利用軸測投影去排斥其他平行投影，使得“生活經(jīng)驗告訴我們”的圖形被排斥在外，從而使直觀圖研究進(jìn)退無據(jù)，陷入死胡同。T平行投影正是這樣一種被排斥的平行投影。使用T平行投影+旋轉(zhuǎn)能夠圓滿地解決幾十年來存在于中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的難題；使用T平行投影+旋轉(zhuǎn)原理設(shè)計出的模板能讓學(xué)生便捷地畫出相關(guān)直觀圖形，使得學(xué)生的空間想象力得到突破性提高。