樊 毅，張 寧

（1.中南林業(yè)科技大學(xué) 經(jīng)濟(jì)學(xué)院，長(zhǎng)沙 410004；2.湖南大學(xué) 金融與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，長(zhǎng)沙 410006）

0 引言

近些年來(lái)，死亡率的持續(xù)下降帶來(lái)的平均預(yù)期壽命的提高成為了世界各國(guó)人口發(fā)展的重要特征，我國(guó)也不例外。根據(jù)國(guó)家統(tǒng)計(jì)局發(fā)布的數(shù)據(jù)，我國(guó)人口的人均預(yù)期壽命已經(jīng)從建國(guó)初期的40歲左右增加到了2015年的76.34歲。人的預(yù)期壽命的不確定性也會(huì)因人們?cè)谏罘绞缴系淖兓⑨t(yī)療技術(shù)上的創(chuàng)新等因素而增加。預(yù)期壽命變動(dòng)的隨機(jī)性不利于養(yǎng)老金成本的核算，并在很大程度上影響到各種養(yǎng)老金計(jì)劃的可持續(xù)發(fā)展，從而很可能會(huì)對(duì)壽險(xiǎn)公司和養(yǎng)老金機(jī)構(gòu)造成損失。綜上所述，在與歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行比較的基礎(chǔ)上，選擇與我國(guó)人口死亡率分布狀況擬合效果較好的隨機(jī)死亡率模型，可以使得死亡率預(yù)測(cè)的精準(zhǔn)性得以大大改善，這為我國(guó)壽險(xiǎn)企業(yè)和養(yǎng)老金機(jī)構(gòu)的實(shí)踐提供了理論支持。

近二十年來(lái)，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)隨機(jī)死亡率模型進(jìn)行了一系列的研究。其中隨機(jī)死亡率模型同時(shí)考慮了年齡因素和時(shí)間因素對(duì)死亡率的影響，使得其預(yù)測(cè)值更接近實(shí)際。目前為止，由Lee和Carter(1992)[1]提出的Lee-Carter（LC）系模型和由Cairns等(2006)[2]提出的CBD系模型是較為經(jīng)典且運(yùn)用廣泛的模型。

國(guó)內(nèi)學(xué)者雖然有利用死亡率模型對(duì)中國(guó)人口死亡率進(jìn)行預(yù)測(cè)，但是將不同死亡率模型對(duì)中國(guó)人口的擬合效果進(jìn)行比較分析的研究相對(duì)較少。王曉軍和蔡正高（2008）[3]在全面綜述了各類(lèi)死亡率模型的基礎(chǔ)上，為中國(guó)的死亡率模型選擇提供了合理建議。王曉軍和黃順林（2011）[4]比較分析了幾個(gè)較為常用的隨機(jī)死亡率模型對(duì)我國(guó)男性人口死亡率歷史數(shù)據(jù)的擬合效果，發(fā)現(xiàn)在CBD模型基礎(chǔ)上拓展而來(lái)的一個(gè)模型對(duì)中國(guó)男性人口死亡率經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)的擬合效果最好。段白鴿和石磊(2015)[5]在動(dòng)態(tài)死亡率模型的構(gòu)建中考慮了超高齡人口死亡率的因素，建立了超高齡人口動(dòng)態(tài)死亡率分層模型，分析了我國(guó)人口死亡率的變化狀況和該模型預(yù)測(cè)的效果。張志強(qiáng)和楊帆（2017）[6]首次在人口死亡率預(yù)測(cè)中運(yùn)用了多變點(diǎn)檢測(cè)方法，其將Lee-Carter模型與在主成分分析基礎(chǔ)上建立的死亡率模型對(duì)多個(gè)國(guó)家數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，發(fā)現(xiàn)采用多變點(diǎn)檢測(cè)的基于主成分分析的死亡率模型對(duì)人口死亡率預(yù)測(cè)的精確度和穩(wěn)定性更優(yōu)。

本文在全面綜述各類(lèi)死亡率模型的基礎(chǔ)上，選擇了8個(gè)運(yùn)用較為廣泛的隨機(jī)死亡率模型，以此對(duì)中國(guó)1994—2013年總?cè)丝谒劳雎实慕?jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)（0～89歲）進(jìn)行比較分析，并在綜合考慮擬合效果的基礎(chǔ)上作出評(píng)價(jià)，以此得出最優(yōu)模型。

1 隨機(jī)死亡率模型

死亡率模型主要?jiǎng)澐譃榇_定型和隨機(jī)型兩種。其中確定型死亡率模型不考慮時(shí)間因素和死亡率未來(lái)趨勢(shì)對(duì)其造成的影響，只假設(shè)死亡率與年齡相關(guān)，且該種模型的參數(shù)由死亡率的經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)確定。目前，隨機(jī)死亡率模型可劃分為L(zhǎng)C系和CBD系死亡率模型。

1.1 Lee-Carter模型

在有關(guān)隨機(jī)死亡率的研究中，比較著名的是由Lee和Carter于1992年提出的Lee-Carter模型：

其中，αx，βx指年齡因素，kt指隨機(jī)時(shí)間因素。m(x，t)指在t時(shí)刻年齡為x歲的人的中心死亡率，αx指不同年齡段死亡率對(duì)數(shù)變動(dòng)的基數(shù)；βx指不同年齡段死亡率對(duì)數(shù)變動(dòng)的趨勢(shì)。kx指時(shí)間因素變量，可當(dāng)作一個(gè)隨機(jī)游走過(guò)程或一個(gè)ARIMA過(guò)程，表示在t時(shí)刻死亡率的變動(dòng)情況。

如今進(jìn)行參數(shù)估計(jì)的方法有許多。Lee和Carter（1992）[1]提出的SVD法 (Singular Value Decomposition)是最早進(jìn)行參數(shù)估計(jì)的方法。之后，統(tǒng)計(jì)方法更加標(biāo)準(zhǔn)化，注重對(duì)全部數(shù)據(jù)的擬合程度[7,8]。但 Lee和 Miller（2001）[9]認(rèn)為，應(yīng)更加注重對(duì)數(shù)據(jù)集最后一年的擬合，因?yàn)樽詈笠荒甑臄?shù)據(jù)對(duì)未來(lái)死亡率預(yù)測(cè)的影響要大于其他年份數(shù)據(jù)。

1.2 包含出生年效應(yīng)的Lee-Carter模型

2006年，Renshaw和Haberman[10]第一次將出生年效應(yīng)納入人口死亡率模型：

其中，kt指隨機(jī)時(shí)間因素，γt-x指隨機(jī)的出生年效應(yīng)，是（近似）出生年份(t-x)的函數(shù)。Renshaw和Haberman（2006）[10]將英格蘭和威爾士的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析后，發(fā)現(xiàn)相較之前的Lee-Carter模型，加入出生年效應(yīng)會(huì)使人口死亡率模型更加完善，但該模型（RH模型）的穩(wěn)定性不佳。CMI(2006)[11]發(fā)現(xiàn)模型的參數(shù)估計(jì)值會(huì)隨著死亡率數(shù)據(jù)的年齡范圍變化而變化；Cairns等(2008)[12]用不同時(shí)間范圍去擬合模型的過(guò)程中也意識(shí)到了這個(gè)缺陷，他們還進(jìn)一步意識(shí)到用該模型擬合的出生年效應(yīng)大致存在一個(gè)確定的線性趨勢(shì)或二次趨勢(shì)，這或許會(huì)對(duì)模型的擬合效果造成影響。

Haberman和Renshaw（2011）[13]令RH模型中的=1以解決其穩(wěn)定性問(wèn)題，具體簡(jiǎn)化形式如下：

Currie等(2006)[14]在簡(jiǎn)化了RH模型后，建立了APC模型：

該模型能夠很好地?cái)M合美國(guó)的歷史數(shù)據(jù)，也能解決RH模型在上文中提到的穩(wěn)定性問(wèn)題[11]。

1.3 CBD模型及它的拓展模型

針對(duì)高齡人群，Cairns等(2006)[2]提出了一個(gè)基于Logistic轉(zhuǎn)換的CBD模型：

其中，q(x，t)=1-exp(-m(x，t))，指在t年內(nèi)x歲的人死亡的概率，-x為樣本年齡均值，為具有漂移項(xiàng)的雙變量隨機(jī)游走kt=kt-1+μ+cZt，因此該模型也被稱為雙因素死亡率模型。此外，他們?cè)诜治鲋羞€詳細(xì)說(shuō)明了如何利用貝葉斯方法在模擬中包含參數(shù)的不確定性。

之后，Cairns等(2007)[15]進(jìn)一步拓展了CBD雙因素模型：

Cairns等(2008)[12]將原始模型進(jìn)一步簡(jiǎn)化，建立了兩個(gè)模型，一個(gè)模型是令=0，見(jiàn)公式（7）；另一個(gè)模型是令是零，用更復(fù)雜的年齡-出生年效應(yīng)因子替換，見(jiàn)公式（8）：

1.4 Plat模型

Plat(2009)[16]在審查和分析LC系和CBD系等死亡率模型后，建立了四因素死亡率預(yù)測(cè)模型：

其中，αx與Lee-Carter模型中的類(lèi)似；代表各年齡死亡率隨時(shí)間的變化程度；指各年齡段的人死亡率改善水平的差別；是指由于濫用藥物、暴力或酗酒等原因而使低齡人群的死亡率出現(xiàn)波動(dòng)，此處用(-x)+=max(-x，0)來(lái)代替-x)，目的是使死亡率-年齡曲線變動(dòng)趨勢(shì)與以往數(shù)據(jù)相吻合。若僅僅預(yù)測(cè)高年齡組人群死亡率，可剔除，使模型更加簡(jiǎn)化：

γt-x指出生年效應(yīng)，與前文模型所指意義類(lèi)似。

2 隨機(jī)死亡率模型擬合效果的比較分析

2.1 隨機(jī)死亡率模型的選擇

下頁(yè)表1將前文提到的隨機(jī)死亡率模型進(jìn)行了匯總。其中，LC模型是出現(xiàn)最早的隨機(jī)死亡率模型且該模型不包含出生年效應(yīng)；RH模型和APC模型把LC模型進(jìn)一步拓展，但APC模型比RH模型更穩(wěn)定。CBD模型是針對(duì)高齡人群、基于Logistic轉(zhuǎn)換的雙因素模型；將M7模型進(jìn)一步簡(jiǎn)化，可得到M6模型和M8模型；因納入二次年齡效應(yīng)和出生年效應(yīng)兩個(gè)成分，使得M7模型穩(wěn)定性更強(qiáng)；M8模型同為CBD系拓展模型，它包含了年齡-出生年效應(yīng)因子；Plat模型即四因素死亡率預(yù)測(cè)模型。

2.2 模型參數(shù)的估計(jì)方法

本文在進(jìn)行參數(shù)估計(jì)時(shí)，假設(shè)死亡人數(shù)D(x，t)近似服從Poisson，即：

其中，D(x,t)指在t年時(shí)x歲的人的死亡數(shù)量，用E(x,t)指在t年時(shí)x歲的人平均死亡風(fēng)險(xiǎn)暴露人數(shù)，m(x，t)與之前模型類(lèi)似。為了避免空缺數(shù)據(jù)單位對(duì)參數(shù)估計(jì)的影響，本文將提前擬定權(quán)數(shù)而準(zhǔn)許數(shù)據(jù)過(guò)度離散。Yxt指在t年時(shí)年齡為x歲的人的死亡數(shù)量?；赮xt的一階矩和二階矩，可得到關(guān)系式如下：

表1 8個(gè)隨機(jī)死亡率模型

其中，Φ為比例參數(shù)，wxt為權(quán)重函數(shù)，V[E(Yxt)]=E(Yxt)為方差函數(shù)。令數(shù)據(jù)缺失時(shí)的權(quán)數(shù)等于0，反之等于1。為了使模型之間的比較基礎(chǔ)一致，本文將使用死亡率q(x，t)的模型轉(zhuǎn)換成m(x，t)，如下：m(x，t)=-log[1-q(x，ty)]。這樣能夠?qū)Ρ?中的8個(gè)模型都使用m(x，t)來(lái)計(jì)算模型的極大似然估計(jì)值。

對(duì)于一個(gè)給定的模型，要將符號(hào)m(x，t)擴(kuò)展成m(x，t，θ)來(lái)代表參數(shù)之間的依賴性，其中θ表示待估計(jì)的參數(shù)向量，同樣地：

對(duì)上述8個(gè)模型進(jìn)行參數(shù)估計(jì)時(shí)，使用的是極大似然估計(jì)法，具體形式如下：

最后，為了得到各參數(shù)的估計(jì)值，使用牛頓迭代法，其公式如下：

2.3 模型的選擇標(biāo)準(zhǔn)

2.3.1 殘差圖檢驗(yàn)

本文使用了中國(guó)1994—2013年0～89歲的綜合死亡人數(shù)和平均死亡風(fēng)險(xiǎn)暴露人數(shù)數(shù)據(jù)，來(lái)更好地比較所選取的8個(gè)模型的擬合效果。圖2和圖3以殘差圖的形式，在泊松誤差結(jié)構(gòu)假設(shè)下，分別反映了年齡、日歷年和出生年對(duì)死亡率的影響。通常按照殘差分布來(lái)選擇模型。依據(jù)圖2和圖3，可看出8個(gè)模型都捕捉到了時(shí)間效應(yīng)，但是僅僅只有RH、APC、M6、M7、M8以及Plat模型反映出了出生年效應(yīng)。此外，從CBD模型殘差圖中能夠得知，其年齡殘差圖以及出生年殘差圖都呈現(xiàn)了波動(dòng)劇烈的特征，這在一定程度上表明了年齡效應(yīng)以及出生年效應(yīng)并沒(méi)有在其中得到反映，但是從其時(shí)間殘差圖得知，時(shí)間效應(yīng)能夠在該模型中得到有效地反映，因?yàn)槠鋾r(shí)間殘差圖是均勻分布在零軸兩側(cè)；LC模型也未能較好地捕捉出生年效益，因其對(duì)應(yīng)的殘差有輕微的波動(dòng)，但該模型卻很好地捕捉了年齡效應(yīng)和時(shí)間效應(yīng)；從殘差圖可看出，RH模型和APC模型的擬合程度很高，三個(gè)成分的殘差在零軸兩側(cè)均勻分布，但是RH模型的擬合效果的穩(wěn)定性優(yōu)于APC模型。M7模型的殘差圖分布均勻且最接近零軸，因此該模型的擬合程度較高，優(yōu)于M6模型和M8模型；與M7模型相比，雖然Plat模型的殘差分布均勻，但在零軸附近的偏移程度較大，因此該模型對(duì)數(shù)據(jù)的擬合存在一定的偏差。

圖3 M6、M8、M7與Plat模型的殘差圖

2.3.2 AIC和BIC比較法

通常，極大似然估計(jì)值的大小受模型中參數(shù)個(gè)數(shù)多少的影響，參數(shù)個(gè)數(shù)越多估計(jì)值越大，則會(huì)使模型過(guò)度參數(shù)化，可以通過(guò)懲罰過(guò)度參數(shù)化的模型來(lái)避免該問(wèn)題。本文將運(yùn)用貝葉斯信息準(zhǔn)則（BIC）和赤池信息量準(zhǔn)則（AIC）來(lái)觀察添加的每一個(gè)參數(shù)對(duì)模型的極大似然估計(jì)值的影響。就比較標(biāo)準(zhǔn)而言，AIC和BIC考慮到了模型的擬合質(zhì)量和簡(jiǎn)潔度，同時(shí)在比較時(shí)不必考慮模型之間有無(wú)相互嵌套關(guān)系，此外，BIC沒(méi)有假設(shè)先驗(yàn)?zāi)Ｐ偷呐判?。通過(guò)得出表1中的8個(gè)模型的AIC值和BIC值及其大小順序（見(jiàn)表2），能夠發(fā)現(xiàn)RH模型對(duì)中國(guó)的死亡數(shù)據(jù)的擬合程度最高，其次是Plat模型，再次是APC模型。

表2 8個(gè)隨機(jī)死亡率模型的AIC和BIC值及其大小順序（括號(hào)中）

2.3.3 嵌套模型的似然比檢驗(yàn)

嵌套模型是一般模型的特殊形式。例如，在簡(jiǎn)化RH模型基礎(chǔ)上提出的APC模型是其嵌套模型。對(duì)于嵌套模型，通常采用似然比檢驗(yàn)的方法，該檢驗(yàn)的原假設(shè)為嵌套模型的擬合效果好，備擇假設(shè)為更一般的模型擬合效果更優(yōu)。就APC和RH模型而言，設(shè)APC和RH模型的極大似然估計(jì)值分別為和，其參數(shù)估計(jì)個(gè)數(shù)分別為v1=214，v2=304。假設(shè)原假設(shè)成立，極大似然比統(tǒng)計(jì)量是2(-l1)，可知它近似服從卡方分布，自由度d.f.為α 為置信水平），那么拒絕原假設(shè)，得出RH模型的擬合效果更優(yōu)的結(jié)論。

如表3所示，表2中的嵌套模式的模型總共有6對(duì)。通過(guò)表3可以明顯發(fā)現(xiàn)P值都小于α，因而拒絕原假設(shè)，得出一般模型的擬合效果優(yōu)于嵌套模型的結(jié)論。

表3 一般模型與嵌套模型的似然比檢驗(yàn)

2.3.4 參數(shù)的穩(wěn)定性檢驗(yàn)

本文選取了RH模型、APC模型和Plat模型，上述三模型均為BIC值較大的死亡率模型，并使用極大似然估計(jì)法對(duì)年齡0～89歲的人進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，然后分別作出參數(shù)分布圖，如圖4所示。本文選取了1994—2013年和1997—2013年的中國(guó)綜合死亡人口數(shù)據(jù)和綜合平均死亡風(fēng)險(xiǎn)暴露數(shù)據(jù)來(lái)對(duì)上述三個(gè)模型進(jìn)行參數(shù)估計(jì)。1994—2013年以及1997—2013年的數(shù)據(jù)擬合的模型中每一項(xiàng)的分布見(jiàn)圖3，其中，散點(diǎn)使用的是1994—2013年的數(shù)據(jù)，折線使用的數(shù)據(jù)為1997—2013年。令年齡在[0,89]內(nèi)取值,日歷年分別在[1994,2013]和[1997,2013]內(nèi)取值。

圖4 RH、APC、Plat模型的擬合穩(wěn)定性檢驗(yàn)圖

從上述三個(gè)模型的檢驗(yàn)圖中看到它們出生年效應(yīng)顯著，其出生年效應(yīng)曲線在t-x≥1970時(shí)均呈現(xiàn)出下降趨勢(shì)。

參數(shù)是否具有穩(wěn)定性是衡量模型優(yōu)劣的重要指標(biāo)。若模型的穩(wěn)定性較好，則該模型在使用不同時(shí)間段數(shù)據(jù)的情況下，得到的兩組估計(jì)值曲線相吻合。對(duì)于APC、RH和Plat模型，它們的參數(shù)估計(jì)圖在年齡項(xiàng)的擬合上較為接近，且相對(duì)穩(wěn)定，即使在擬合模型參數(shù)時(shí)使用的時(shí)間段較短，其參數(shù)圖也改變不大。RH模型對(duì)于出生年效應(yīng)的擬合效果相對(duì)較差：1997—2013年數(shù)據(jù)擬合的出生年指數(shù)圖是先上升后下降的，而1994—2013年數(shù)據(jù)擬合的指數(shù)圖卻有下降趨勢(shì)。不同于RH模型，APC模型和Plat模型在時(shí)間段較短的情況下，其預(yù)測(cè)趨勢(shì)與原圖線大致吻合，故其擬合效果較優(yōu)，但出生年指數(shù)因數(shù)據(jù)變少，方差變大而擴(kuò)大了其取值范圍。Plat模型出生年指數(shù)范圍由原來(lái)的(-0.2,0.2)擴(kuò)大至(-0.6,0.6)。

3 結(jié)論與建議

本文對(duì)所選取的8個(gè)隨機(jī)死亡率預(yù)測(cè)模型的擬合效果進(jìn)行比較與分析。發(fā)現(xiàn)當(dāng)以殘差圖的形式，在泊松誤差結(jié)構(gòu)假設(shè)下，每個(gè)模型都捕捉到了時(shí)間效應(yīng)，且除了LC模型和CBD模型外都捕捉到了出生年效應(yīng)。研究表明RH模型、APC模型和M7模型擬合程度最優(yōu)，而LC模型和CBD模型擬合程度較弱。就BIC檢驗(yàn)而言，能夠發(fā)現(xiàn)RH模型對(duì)中國(guó)的死亡數(shù)據(jù)的擬合程度最優(yōu)，其次分別是Plat模型和APC模型。就參數(shù)穩(wěn)定性而言，APC模型、RH模型和Plat模型的參數(shù)估計(jì)圖在年齡項(xiàng)的擬合上較為接近，且相對(duì)穩(wěn)定，預(yù)測(cè)結(jié)果較為準(zhǔn)確。因此，在綜合考慮所有的死亡率模型擬合效果后可以得出，APC模型與我國(guó)的人口死亡狀況最相適應(yīng)。

從以上結(jié)果能夠得出，并不存在一個(gè)可以有效解決我國(guó)人口死亡狀況擬合中存在的各種問(wèn)題的隨機(jī)死亡率模型。這不僅在一定程度上反映出難以獲取人的死亡狀況的發(fā)展變化規(guī)律；同時(shí)也提出了進(jìn)一步的要求，需要對(duì)現(xiàn)有的關(guān)于人口死亡率預(yù)測(cè)的方法及模型進(jìn)行優(yōu)化。